扬州市江都区七校联考九年级上期中数学试卷含答案解析

2022-2023江苏省扬州市江都区七校联考九年级（上）期中数学

试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中） 1．下列方程为一元二次方程的是（ ）

A．ax2﹣bx+c=0（a、b、c为常数） B．x（x+3）=x2﹣1 C．x（x﹣2）=3

D．x2++1=0

2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ） A．1条B．2条 C．3条 D．无数条

3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根

4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1.1 1.2 1.3 S2 若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（ ）

A．40° B．45° C．50° D．60°

6．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ） A．（1+x）2=

B．（1+x）2=

C．1+2x=

D．1+2x=

7．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（ ） A．﹣5或1 B．5或﹣1 C．5 D．1

8．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）

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A．8 B．12 C． D．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）

9．一元二次方程（x﹣1）2=4的解为 ．

10．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的方差是 ．

11．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣6x+4=0的两个实数根，则矩形ABCD的周长为 ．

12．已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的外接圆半径R= ． 13．若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为 ．

14．边长为1cm的正六边形面积等于 cm2．

15．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是 ．

16．已知圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为 ．

17．一块△ABC余料，已知AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．

18．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为 ．

三.解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解下列方程 （1）3x2﹣2x﹣1=0

（2）x2﹣5x+3=0（用配方法解）

2 / 22

20．先化简，再求值：（﹣）÷

，其中，a是方程x2+3x+1=0的

根．

21．已知：关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣3=0．

（1）求证：不论k取何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）试说明无论k取何值，方程都不存在有一根x=1的情况．

22．某学习小组想了解南京市“迎青奥”健身活动的开展情况，准备采用以下调查方式中的一种进行调查：①从一个社区随机选取200名居民；②从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；③从该市局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象． （1）在上述调查方式中，你认为最合理的是 （填序号）；

（2）由一种比较合理的调查方式所得到的数据制成了如图所示的频数分布直方图，请直接写出这200名居民健身时间的众数、中位数；

（3）小明在求这200名居民每人健身时间的平均数时，他是这样分析的：

小明的分析正确吗？如果不正确，请求出正确的平均数；

（4）若我市有800万人，估计我市每天锻炼2小时及以上的人数是多少？

23．如图，在平面直角坐标系中，网格中小正方形的边长为1个单位长度，过格点A，B，C作一圆弧．

（1）请写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 ；

（2）过点B画一条直线，使它与该圆弧相切（保留作图过程中的痕迹）；

（3）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格经过 个格点．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．

3 / 22

（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

25．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

26．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积；

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；

（3）若按上述要求施工，同时校长希望长方形花圃的形状与原长方形空地的形状相似，聪明的你想一想能不能满足校长的要求？若能，求出此时通道的宽；若不能，则说明理由．

27．如图1，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2﹣12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限． （1）求⊙M的直径的长．

（2）如图2，将△ONM沿ON翻转180°至△ONG，求证△OMG是等边三角形． （3）求直线ON的解析式．

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28．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．

（1）点O到弦AB的距离为 ；．

（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；

①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系； ②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；

③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．

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2022-2023江苏省扬州市江都区七校联考九年级（上）

期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中） 1．下列方程为一元二次方程的是（ ） A．ax2﹣bx+c=0（a、b、c为常数） C．x（x﹣2）=3

D．x2++1=0

B．x（x+3）=x2﹣1

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数进行验证可得答案． 【解答】解：A、方程二次项系数可能为0，故错误； B、整理后不含2次项，故错误；

C、符合一元二次方程的定义，正确； D、不是整式方程，故错误． 故选C．

2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ） A．1条B．2条 C．3条 D．无数条 【考点】生活中的轴对称现象．

【分析】根据圆的性质：沿经过圆心的任何一条直线对折，圆的两部分都能重合，即可得到经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴，据此即可判断． 【解答】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条． 故选D．

3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式．

【分析】先计算△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4，由于4a2≥0，则4a2+4＞0，即△＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断即可．

【解答】解：△=（﹣2a）2﹣4×（﹣1）=4a2+4， ∵4a2≥0，

∴4a2+4＞0，即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根． 故选A．

4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差S2如下表所示：

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甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 1 1.1 1.2 1.3 S2 若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差．

【分析】先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答． 【解答】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好， 由于S2乙＜S2丙，故丙的方差大，波动大． 故选B．

5．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（ ）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【考点】圆周角定理；垂径定理．

【分析】首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD的度数．

【解答】解：连接OB， ∵∠A=50°，

∴∠BOC=2∠A=100°， ∵OB=OC， ∴∠OCD=∠OBC=故选：A．

=40°．

6．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ） A．（1+x）2=

B．（1+x）2=

C．1+2x=

D．1+2x=

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

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【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．

【解答】解：设平均每天涨x． 则90%（1+x）2=1， 即（1+x）2=

，

故选B．

7．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（ ） A．﹣5或1 B．5或﹣1 C．5 D．1 【考点】换元法解一元二次方程．

【分析】设a=x2+y2，原方程变为（a+1）（a+3）=8，进一步化为一般形式，利用因式分解求得方程的解即可．

【解答】解：设a=x2+y2，原方程变为（a+1）（a+3）=8， 整理得a2+4a﹣5=0 （a﹣1）（a+5）=0 解得：a=1，或a=﹣5， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2=1． 故选：D．

8．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）

A．8 B．12 C． D．

【考点】圆的综合题．

【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．

【解答】解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，

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即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，

过C作CM⊥AB于M，连接AC，

则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB， ∴5×CM=4×1+3×4， ∴CM=

，

=

，

∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+∴△PAB面积的最大值是×5×

=

，

故选：C．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）

9．一元二次方程（x﹣1）2=4的解为 x1=3，x2=﹣1 ． 【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】根据直接开方法求一元二次方程的步骤先进行开方，得到两个一元一次方程，再分别求解即可．

【解答】解：（x﹣1）2=4， x﹣1=±2，

x1=3，x2=﹣1．

故答案为：x1=3，x2=﹣1．

10．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的方差是

．

【考点】方差；加权平均数．

【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算． 【解答】解：∵这组数据的平均数是5， ∴（4+4+5+x+6+6+7）÷7=5， 解得：x=3

则这组数据的方差是： [2×（4﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+2×（6﹣5）2+（7﹣5）

2

]=．

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故答案为：

．

11．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣6x+4=0的两个实数根，则矩形ABCD的周长为 12 ．

【考点】根与系数的关系；矩形的性质．

【分析】利用根与系数的关系得出两根和为6，即是矩形ABCD的两邻边长，然后利用周长计算公式求得答案即可．

【解答】解：∵设矩形ABCD的两邻边长分别为α、β是一元二次方程x2﹣6x+4=0的两个实数根， ∴α+β=6，

∴矩形ABCD的周长为6×2=12． 故答案为：12．

12．已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的外接圆半径R= 6.5 ． 【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．

【分析】利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为13，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三形外接圆半径． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12， ∴根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为

=13；

∴其外接圆半径长为6.5； 故答案是：6.5．

13．若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为 x=﹣2 ．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a﹣2b+c=0，即可得出答案． 【解答】解：当把x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a﹣2b+c=0， 即方程一定有一个根为x=﹣2， 故答案为：x=﹣2．

14．边长为1cm的正六边形面积等于

cm2．

【考点】正多边形和圆．

【分析】求得边长是1的等边三角形的面积，正六边形的面积是等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．

【解答】解：边长是1的等边三角形的面积是：则正六边形的面积是：故答案是：

．

×6=

cm2．

，

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15．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是 30°或150° ． 【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．

【分析】连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数． 【解答】解：连接OA、OB， ∵AB=OB=OA， ∴∠AOB=60°， ∴∠C=30°，

∴∠D=180°﹣30°=150°． 故答案为：30°或150°．

16．已知圆锥的母线长为30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为 10 ．

【考点】弧长的计算．

【分析】已知圆锥的母线长为30即展开所得扇形半径是30，弧长是

=20π，圆锥

的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是20π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解即可． 【解答】解：弧长=

=20π，

根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长得 2πr=20π， 解得：r=10．

该圆锥的底面半径为10．

17．一块△ABC余料，已知AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 9π ． 【考点】三角形的内切圆与内心．

【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，然后利用面积法求得圆的半径，最后利用圆的面积公式求解即可．

【解答】解：∵AB=8cm，BC=15cm，AC=17cm， ∴AC2=AB2+BC2．

∴△ABC为直角三角形．

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设△ABC的内切圆的半径为r，则

．

解得：r=3．

∴圆的最大面积是9π． 故答案为：9π．

18．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为

． ，即

【考点】轨迹．

【分析】根据OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式即可．

【解答】解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N， ∴四边形ONPM是矩形， 又∵点Q为MN的中点，

∴点Q为OP的中点，又OP=2， 则OQ=1， 点Q走过的路径长=故答案为：

．

=

．

三.解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解下列方程 （1）3x2﹣2x﹣1=0

（2）x2﹣5x+3=0（用配方法解）

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先利用配方法得到（x﹣）2=

，然后利用直接开平方法解方程．

【解答】解：（1）（3x+1）（x﹣1）=0， 3x+1=0或x﹣1=0， 所以x1=﹣，x2=1；

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（2）x2﹣5x=﹣3，

x2﹣5x+（）2=﹣3+（）2， （x﹣）2=x﹣=±所以x1=

20．先化简，再求值：（

﹣

）÷

，其中，a是方程x2+3x+1=0的

， ，

，x2=

．

根．

【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=[

+

]÷

=（==

•

+）•

，

∵a是方程x2+3x+1=0的根， ∴a2+3a=﹣1， 则原式=﹣．

21．已知：关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣3=0．

（1）求证：不论k取何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）试说明无论k取何值，方程都不存在有一根x=1的情况． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．

【分析】（1）根据△=[﹣（k+2）]2﹣4×4×（k﹣3）=（k﹣6）2+16＞0，即可得出无论k取何值，关于x的方程 4x2﹣（k+2）x+k﹣3=0都有两个不相等的实数根；

（2）把x=1代入原方程坐标得出：4﹣（k+2）+k﹣3=﹣1≠0，即可证明无论k取何值，方程都不存在有一根x=1的情况．

【解答】（1）证明：∵△=[﹣（k+2）]2﹣4×4×（k﹣3）=（k﹣6）2+16＞0， 所以不论k取何值时，方程总有两个不相等实数根；

（2）证明：把x=1代入原方程左边得：4﹣（k+2）+k﹣3=﹣1≠0， 所以无论k取何值，方程都不存在有一根x=1的情况．

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22．某学习小组想了解南京市“迎青奥”健身活动的开展情况，准备采用以下调查方式中的一种进行调查：①从一个社区随机选取200名居民；②从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；③从该市局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象． （1）在上述调查方式中，你认为最合理的是 ③ （填序号）；

（2）由一种比较合理的调查方式所得到的数据制成了如图所示的频数分布直方图，请直接写出这200名居民健身时间的众数、中位数；

（3）小明在求这200名居民每人健身时间的平均数时，他是这样分析的：

小明的分析正确吗？如果不正确，请求出正确的平均数；

（4）若我市有800万人，估计我市每天锻炼2小时及以上的人数是多少？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；加权平均数． 【分析】（1）根据调查方式要合理，即可得出答案；

（2）根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数即可得出答案； （3）根据加权平均数的计算公式列式计算即可；

（4）用总人数乘以每天锻炼2小时及以上的人数所占的百分比即可得出答案． 【解答】解：（1）①、②两种调查方式具有片面性，故③比较合理； 故答案为：③．

（2）1出现的次数最多，出现了94次，则众数是1小时； ∵共有200个数，所以中位数是第100、101个数的平均数， ∴中位数是2小时；

（3）不正确，正确的平均数： =

（4）根据题意得：

800×（52+38+16）÷200=424（万人），

答：我市每天锻炼2小时及以上的人数是424万人．

=1.88（小时）．

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23．如图，在平面直角坐标系中，网格中小正方形的边长为1个单位长度，过格点A，B，C作一圆弧．

（1）请写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 （2，0） ；

（2）过点B画一条直线，使它与该圆弧相切（保留作图过程中的痕迹）；

（3）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格经过 8 个格点．

【考点】切线的判定；坐标与图形性质；垂径定理．

【分析】（1）利用网格特点，画弦AB和BC的垂直平分线，根据垂径定理得到它们的交点坐标即为D点坐标；

（2）作直线BD，然后利用网格特点，过点B画该圆弧所在圆的圆心D的坐标直线EF垂直于BD即可；

（3）⊙D的半径为，在x轴上方可得到4个满足条件的格点，利用对称可得到在x轴下方有4个格点满足条件．

【解答】解：（1）该圆弧所在圆的圆心D的坐标为（2，0）； （2）如图，EF为所作；

（3）⊙D经过的格点有（（0，1），（0，﹣1），（1，2），（1，﹣2），（3，2），（3，﹣2），（4，1），（4，﹣1）． 故答案为（2，0），8．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．

【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；

（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．

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【解答】（1）证明：连结AE，如图， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°， ∴AE⊥BC， 而AB=AC， ∴BE=CE；

（2）连结DE，如图， ∵BE=CE=3， ∴BC=6，

∵∠BED=∠BAC， 而∠DBE=∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴

=

，即

=，

∴BA=9， ∴AC=BA=9．

25．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

【考点】切线的判定；扇形面积的计算．

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．

【解答】（1）证明：连接OC，交BD于E， ∵∠B=30°，∠B=∠COD， ∴∠COD=60°， ∵∠A=30°，

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∴∠OCA=90°， 即OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°， ∴∠OED=∠OCA=90°， ∴DE=BD=∵sin∠COD=∴OD=2，

在Rt△ACO中，tan∠COA=∴AC=2

，

﹣

=2

﹣

．

，

， ，

∴S阴影=×2×2

26．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积；

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；

（3）若按上述要求施工，同时校长希望长方形花圃的形状与原长方形空地的形状相似，聪明的你想一想能不能满足校长的要求？若能，求出此时通道的宽；若不能，则说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可； （3）根据题意得：

=

，求得a值后即可判定是否满足要求．

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【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；

（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40， 解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去）， 答：所以通道的宽为5米；

（3）假设能满足要求，则

=

，

解得：a=0，

因为a=0不符合实际情况，所以不能满足其要求．

27．如图1，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2﹣12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限． （1）求⊙M的直径的长．

（2）如图2，将△ONM沿ON翻转180°至△ONG，求证△OMG是等边三角形． （3）求直线ON的解析式．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）首先解一元二次方程的得出OA，OB的长，进而得出OM的长； （2）利用翻折变换的性质得出MN=GN=3，OG=OM=6，进而得出答案；

（3）首先求出CM的长，进而得出CN的长，即可得出OC的长，求出N点坐标，即可得出ON的解析式．

【解答】解：（1）解方程x2﹣12x+27=0， （x﹣9）（x﹣3）=0， 解得：x1=9，x2=3， ∵A在B的左侧， ∴OA=3，OB=9， ∴AB=OB﹣OA=6， ∴OM的直径为6；

（2）由已知得：MN=GN=3，OG=OM=6，

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∴OM=OG=MN=6，

∴△OMG是等边三角形．

（3）如图2，过N作NC⊥OM，垂足为C， 连结MN，则MN⊥ON， ∵△OMG是等边三角形． ∴∠CMN=60°，∠CNM=30°， ∴CM=MN=×3=， 在Rt△CMN中， CN=∴

∴N的坐标为

设直线ON的解析式为y=kx， ∴∴

，

．

， =

，

，

=

，

∴直线ON的解析式为

28．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°． （1）点O到弦AB的距离为 1 ；．

（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；

①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系； ②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；

③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．

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【考点】翻折变换（折叠问题）；垂径定理．

【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1．

（2）①证明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直径；证明∠P A′B=90°，即可解决问题． ②证明∠A′B P=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长即可解决问题．

③直接写出α的取值范围即可解决问题．

【解答】解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C； ∵OA=OB，

则∠AOC=∠BOC=×120°=60°， ∵OA=2， ∴OC=1． 故答案为1．

（2）①∵∠AOB=120° ∴∠APB=∠AOB=60°，

∵∠PBA=30°， ∴∠PAB=90°，

∴PB是⊙O的直径，

由翻折可知：∠P A′B=90°， ∴点A′在⊙O上．

②由翻折可知∠A′B P=∠ABP， ∵BA′与⊙O相切， ∴∠OB A′=90°， ∴∠AB A′=120°，

∴∠A′B P=∠ABP=60°； ∵∠APB=60°，

∴△PAB为正三角形， ∴BP=AB；如图， ∵OC⊥AB，

∴AC=BC；而OA=2，OC=1， ∴AC=，

∴BP=AB=2．

③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

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4月13日

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