例谈几种几何图形分类讨论的方法

例谈几种几何图形分类讨论的方法

作者：顾靖楠

来源：《科教导刊》2010年第03期

摘要在一些几何问题中,条件的不明确性会导致出现几种不同的结果,这就需要对问题进行分类讨论。而要分类讨论,就必须要找到一个合适的角度。本文就等腰三角形、平行四边形、梯形等几个常见图形谈谈如何分类讨论,从什么角度分类讨论。 关键词几何图形 分类讨论 角度 中图分类号:G633.6文献标识码:A

1等腰三角形的分类讨论

例1已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1,其中一次函数的图像经过(a,b),(a+1,b+k)两点。 (1)求反比例函数的关系式;

(2)如图,已知点A是上述两函数图像的交点,且在第一象限,则在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,求出P点坐标。 解:(1)由题意得 ∴K=2,

即反比例函数的关系式为y= (2)过A,作AH⊥x 由题意得得=2x-1 2x2-x-1=0, ∴x1=1,x2=-, ∵A在第一象限, ∴A(1,1),∴OA=,

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使△AOP为等腰三角形有三种情况: ①以点A作为等腰三角形的顶点 此时,AO=AP=,∴OP=2OH=2(三线合一), ∴P(2,0),如图P1;

②以点O作为等腰三角形的顶点 此时,OA=OP=, ∴P(,0)或P(-,0), 如图P2,P3;

③以点P作为等腰三角形的顶点 此时,PA=PO, ∵A(1,1),

∴不难看出此时的点P正好和点H重合, ∴P(1,0)如图P4.

综上,存在点P使△AOP为等腰三角形,P(2,0)或P(,0)或P(-,0)或P(1,0)

评析:本题中没有具体明确等腰三角形的腰和底,故要分类进行讨论,又因为当等腰三角形的顶点确定时腰就确定,因此我们遇到这类问题,可以从等腰三角形的顶点这个角度进行分类讨论。

2平行四边形的分类讨论

例2如图,已知抛物线y=x2-6x+5的图像交x轴与点A、点B,顶点坐标为C,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D坐标为多少? 解:由y=x2-6x+5可得,抛物线的顶点坐标 C(3,-4),

令y=0,则x2-6x+5=0,x1=1,x2=5

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即A(1,0),B(5,0),

以点A、B、C、D为顶点的平行四边形要分三种情况: ①以作为一条对角线的平行四边形

如图平行四边形ABCD1,则AC=D1B,AD1=BC,而AC=BC, ∴AC=D1B=AD1=BC, ∴平行四边形ACBD1为菱形, 点C与点D1关于x轴对称,∴D1(3,4) ②以AC作为一条对角线的平行四边形 如图平行四边形ACBD2, 则AB∥CD2且AB=CD2=4, ∴D2(-1,-4)

③以BC作为一条对角线的平行四边形 如图平行四边形ACBD3, 则AB∥CD3且AB=CD3=4, ∴D3(7,-4)

综上,D(3,4)或D(-1,-4)或D(7,-4).

评析:本题中已知平行四边形的三个顶点、、,显然在线段,,中只能选取两条边作为这个平行四边形的边,但又没有具体明确是哪两条边,故要分类进行讨论。在分类讨论过程中,若用两条边来分类显然比较麻烦,所以想到,两条边作为平行四边形的边,剩下的那条线段必定是平行四边形的对角线,因此选择从平行四边形的对角线这个角度进行分类讨论。 3梯形的分类讨论

例3已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点在直线y=x-1上,且过点A(4,0)。 (1)求这个抛物线的解析式;

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(2)设抛物线的顶点为P,在抛物线上是否存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出B点的坐标;(下转第124页)(上接第122页)若不存在,请说明理由. 解:(1)由题意抛物线y=ax2+bx过点(0,0)、(4,0), 该抛物线的对称轴为x=2, 将x=2代入y=-x-1得y=-2, ∴抛物线顶点坐标为(2,-2), ∴抛物线解析式为y=a(x-2)2-2, 将点(0,0)代入得:a=,

∴抛物线解析式为y=(x-2)2-2,

(2)使四边形OPAB为梯形要分三种情况: ①OA作为梯形的一底边,

则PB∥OA,显然此时过点P且平行与OA的直线和抛物线的交点只有点P,故这种情况不可能,舍去;

②OP作为梯形的一底边,

则AB∥OP,显然此时过点A且平行与OP的直线和抛物线有两个交点,故这种情况成立,如图梯形OPAB1.

直线OP过O(0,0),P(2,-2), 故直线OP的解析式为:y=-x, ∵AB∥OP,

∴直线AB的解析式可设为y=-x+m, ∵直线AB过(4,0),

∴直线AB的解析式为y=-x+4,

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③PA作为梯形的一底边,

则PA∥OB,显然此时过点O且平行与PA的直线和抛物线有两个交点,故这种情况成立,如图梯形OPAB2

直线PA过A(4,0),P(2,-2), 故直线PA的解析式为:y=x-4, ∵PA∥OB,

∴直线OB的解析式可y=x,

综上:在抛物线上存在点B,使四边形OPAB为梯形,B(-2,6)或B(6,6)

评析:本题中没有具体明确梯形的底和腰,故应当分类讨论。梯形的一个重要特点是上下两底平行,那么可以利用这一重要特点,从梯形的底这个角度进行分类讨论。