高中数学 2.1.2指数函数及其性质(2)精讲精析 新人教A版必修1

精讲部分

学习目标展示

（1）掌握指数函数的图象及性质（2）掌握指数函数的性质比较大小（3）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法 衔接性知识

1. 请画出指数函数f(x)ax(a0且a1)的图象并，说明这些图象过哪个定点。 2. ①当x0时，2xx②当x0时，()1；当x0时，2x1；

1.

1211；当x0时，()x2基础知识工具箱 指数函数的图象和性质 函数名称 解析式 定义域 值域 指数函数 f(x)ax(a0且a1) R (0,)，即ax0 a1 0a1 图象 奇偶性 单调性 性质 函数值分布 指数函数是非奇非偶函数 在R上是增函数 在R上是减函数 1(x0)0ax1(x0) 1(x0)2.51(x0)0ax1(x0) 1(x0)0.26典例精讲剖析

例1. 比较大小：（1）1.7

与1.73.6 （2）0.80.12与0.8 （3）1.70.3与0.93.1

1

（4）0.162.1、1.62.3与0.40.2 （5）3.72.4、3.62.4与3.62.1

解：（1）1.71，y1.7x在(,)是增函数，2.53.6，1.72.51.73.6 （2）00.81，y0.8x在(,)是减函数

0.122.6，0.80.120.82.6

（3）1.70.31.701，00.93.10.901，1.70.30.93.1

（4）0.162.10.1601，0.40.20.401，01.62.31.601，1.62.3最小

0.162.1(0.42)2.10.44.20.41.2，0.162.10.41.21.62.3

3.72.43.72.4372.4370()()()1，而3.72.40、3.62.40，3.72.43.62.4 （5）2.43.63.63636又3.62.43.62.1，所以3.72.43.62.43.62.1

例2．求下列式中的实数x的值： （1）24xx1 （2）a3x1a2x4(a0,a1)

2x2解：（2）不等式可化为：22x，

21，x2x2，即x2，故实数x的范围为(,2)

（2）当a1时，3x12x4，x3，故实数x的范围为[3,) 当0a1时，3x12x4，x3，故实数x的范围为(,3] 例3．求下列函数的定义域和值域： （1）y21x4|x|xx1 （2）y() （3）y422

23解：（1）使解析式有意义，得x40，x4 ∴定义域为(,4)(4,) 设t11t，则y2， 又t，t0 x4x4y2t是t的增函数2t1且2t0，即y0且y1

所以函数y21x4的值域为(0,1)(1,)

（2）定义域为为R

2

t设t|x|，则y()，t|x|，t0，

2322y()t是t的减函数，()t1

332|x|所以函数y()的值域为[1,)

3(3) 定义域为为R

y4x2x12(2x)222x2，设2xt，则yt22t2(t1)21

t2x，t0，所以t1时，ymin1 故y4x2x12的值域为[1,)．

1

例4. 已知f(x)＝x＋a是奇函数，求a的值及函数值域．

2－1

[分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(－x)＝－f(x)恒成立，可求得a值．其值域可借助基本函数值域求得．

[解析] ①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．

11111

即－[x＋a]＝－x＋a，∴2a＝－－x－x＝1，∴a＝.

2－12－12－12－12②∵2－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)

11111111x∵u＝2－1>－1且u≠0，∴<－1或>0，∴x＋<－或x＋>

uu2－1222－12211

∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)

22

xx（选讲）例5．已知方程9233k10有两个实数解，试求实数k的取值范围．

xx2[错解] 令t3，则原方程可化为t2t3k10※，

2要使原方程有两个实数解，则(2)4(3k1)0，解得k2 3所以实数k的取值范围为(,2]. 3x[辨析] 换元后t30，原方程有两个实数解，则关于“新元”t的方程※应有两

个正数解，而0，只能保证方程※有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．事实上，当方程※有两个负根时，原方程无解．

x2[正解]法1． 令t3，则t0.原方程有两个实数解，即方程t2t3k10有

两个正实数解，则

3

(2)24(3k1)0x1x220，解得1x2 x1x23k1033所以实数k的取值范围为(123,3]

法2．由已知，得k13(3x)2233x13，令t3x，则

k13t223t1313(t1)223，t3x，t0，

k(t)1223(t1)23在(0,1]上递增，在[1,)上递减,kmaxk(1)3由方程9x23x3k10有两个实数解，可知 yk与y123(t1)23在t0时有两个交点或者相切（如图）

而k(0)13，所以13k223，即所以实数k的取值范围为(,3] 精练部分

A类试题（普通班用）

1. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8

，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b [答案]D

[解析]考察函数y＝0.8x，∴0.80.9

＜0.80.7

＜1.又1.20.8

＞1，∴c＞a＞b. 2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( ) 1A．y2x B．y＝2x－1 C．y＝2x＋1

D．y(122)x

[答案] D

11[解析] 在A中，∵1

x≠0，∴2x1，所以函数y2x的值域是{y|y>0，且y≠1}．在B中，∵2x－1≥0，∴2x－1≥0，所以函数y＝2x－1的值域是[0，＋∞)．

4

在C中，∵2＋1>1，∴2＋1>1，所以函数y＝2＋1的值域是(1，＋∞)．

2x在D中，由于函数y()的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2－xxxx122x2x也就可以取一切实数，所以()取一切正实数，即函数y()的值域为(0，＋∞)，

1212故选D.

3．已知f(x)ax(a0且a1)，且f(2)f(3)，则实数a的取值范围是_______

4．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大a2，求实数a的值

[解析] 注意进行分类讨论

(1)当a>1时，f(x)＝ax为增函数，此时f(x)2

max＝f(2)＝a，f(x)min＝f(1)＝a， ∴a2

－a＝a2，解得a＝32

>1. (2)当0min＝f(2)＝a

∴a－a2

＝a2，解得a＝12

∈(0,1)

综上所述：a＝31

2或2

. 5．已知函数f(x)ax2(x0)的图象经过点14，9

，其中a0且a1. (1)求a的值；(2)求函数yf(x)(x0)的值域．

解析：(1) yf(x)函数图象过点(4,1)，所以a219，∴a193， (2) f(x)(1)x2(x0)，由x0，得x22，∴0(1x212133)(3)9 ∴函数yf(x)(x0)的值域为(0,9]

B类试题（3+3+4）（尖子班用）

1. 已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8

，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b [答案]D

[解析]考察函数y＝0.8x，∴0.80.9

＜0.80.7

＜1.又1.20.8

＞1，∴c＞a＞b. 2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( ) 1A．y2x B．y＝2x－1 C．y＝2x＋1

D．y(12x2)

5

[答案] D

1

[解析] 在A中，∵≠0，∴2x1，所以函数y2x的值域是{y|y>0，且y≠1}．

11x在B中，∵2－1≥0，∴2－1≥0，所以函数y＝2－1的值域是[0，＋∞)． 在C中，∵2＋1>1，∴2＋1>1，所以函数y＝2＋1的值域是(1，＋∞)．

2x在D中，由于函数y()的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2－xxxxxxx122x2x也就可以取一切实数，所以()取一切正实数，即函数y()的值域为(0，＋∞)，

1212故选D.

11

3．已知实数a，b满足()a＝()b，下列五个关系式：①023⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [答案] B

1x1x[解析] 作y＝()，y＝()图象，作y＝t与两曲线相交，

23比较横坐标大小．

当01时，可得a23解析： ∵f(2)f(3)，aa，0a1，∴实数a的取值范围是(0,1) 5．如果函数f(x)(12a)在实数集a上是减函数，那么实数a的取值范围是_______ 解析：根据指数函数的概念及性质求解． 由已知得，实数a应满足xx12a011，解得0a，所以实数a的取值范围是(0,)

2212a1a6．函数f(x)＝a(a>0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，则a的值为________．

2

6

[答案] 32或1

2

[解析] 注意进行分类讨论

(1)当a>1时，f(x)＝ax为增函数，此时f(x)2

max＝f(2)＝a，f(x)min＝f(1)＝a， ∴a2

－a＝a32，解得a＝2

>1. (2)当0∴a－a2

＝a12，解得a＝2

∈(0,1)

综上所述：a＝32或1

2

. 7．若函数f(x)ax1(a0且a1)，的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．解析：当a1时，f(x)在[0,2]上递增，

∴f(0)0，即a010a212，∴a3.又a1，∴a3，f(2)2

当0a1时，f(x)在[0,2]上递减，

∴f(0)2a0f(2)0，即12a210，它无解，从而a＝3.

8．已知函数f(x)ax2(x0)的图象经过点14，9

，其中a0且a1.

(1)求a的值；(2)求函数yf(x)(x0)的值域．

解析：(1) yf(x)函数图象过点(4,1)，所以a2199，∴a13， (2) f(x)(1x21x2113)(x0)，由x0，得x22，∴0(3)(3)29 ∴函数yf(x)(x0)的值域为(0,9] 9．若函数y＝

a·2x－1－a2x－1

为奇函数．

(1)求a的值；(2)求函数的定义域． 解：∵函数y＝

a·2x－1－a12x－1

，∴y＝a－

2x－1

. （1）由奇函数的定义，可得f(x)f(x)0

7

即a12x1a1210，2a12x12x0，即1xa2

（2）y1212x1，2x10，即x0 函数的定义域为(,0)(0,)

10．已知1x2，求函数f(x)323x19x的值域． 解：f(x)323x19x(3x)263x3.令3xt， 则yt26t3(t3)212.∵1x2，∴

13x9. ∴当t3，即x1时，y取得最大值12；当t9，即x2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24.∴函数f(x)的值域为[－24,12]．

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