第１８卷第６期 ２０１５年１１月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＩ ＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．１８，Ｎｏ．６ ＮＯＶ．，２Ｏ１５ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—１３９９．２０１５．０６．００７ 向量组的线性相关性的若干应用 梁建秀 （山西省晋中学院数学学院，山西晋中０３０６００） 摘 要 对线性相关性在其他教学课程及社会生产实践中的应用进行了研究和探讨． 关键词 向量；线性相关性；应用 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８－１３９９（２０１５）０６－００１３—０３ 中图分类号 Ｏ１５１ Ｓｏｍｅ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ０ｆ Ｌｉｎｅａｒ Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ０ｆ Ｖｅｃｔｏｒ Ｇｒｏｕｐｓ ＬＩＡＮＧ Ｊｉａｎｘｉｕ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｎｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎｚｈｏｎｇ ０３０６００，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｅ ｃｏｎｔｅｎｔｓ ｉｎ Ｈｉｇｈｅｒ ａｌｇｅｂｒａ．Ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｄｏｅｓ ｉｔ ｐｌａｙ ａ ｄｅｃｉｓｉｖｅ ｒｏｌｅ ｉｎ Ｈｉｇｈｅｒ ａｌｇｅｂｒａ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｈａｓ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｂｒａｎｃｈｅｓ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒ ｇｒｏｕｐｓ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｓｏｃｉａｌ ｓｃｉｅｎｃｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｖｅｃｔｏｒ；ｌｉｎｅａｒ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ 在高等代数中，向量组的线性相关性起到了举 足轻重的作用．许多文献［１ 对向量组的线性相关 性的判定及其在高等代数中的重要作用进行了详细 的分析与研究，但研究向量组的线性相关性在其他 性无关． 性质１ 设 ， ，…，口 是 中一组向量，口 ， ａ ，…， 线性相关当且仅当其中至少有一个向量 可由其余 一１个向量线性表示． 性质２ 数域Ｆ上 维向量空间 中任意 个 线性无关的向量都可作为Ｖ的一个基． 性质３ 数域Ｆ上 维向量空间 中每个向量 都可经基唯一线性表示． 性质４ 数域Ｆ上，ｚ维向量空间中任意多于 个向量的向量组一定线性相关． 性质５ 若向量组口 ， 线性表示． 以上只给出本文中所涉及到的有关向量线性相 数学分支和领域中的应用方面的文献甚少．本文将 对其在其他数学课程及社会生产实践中的应用进行 研究和探讨． １ 预备知识 向量组的线性相关性是线性相关与线性无关的 统称，它刻画的是向量空问中向量之间的关系．同 ”，诉线性无关，而向 时，由高等代数［５］中向量空间的定义可知，线性相 关与线性无关的定义并不依赖于向量是数组、方程、 维向量、多项式、还是矩阵．只要这些向量能做加 法和数乘运算并满足八条运算律，那么线性相关与 线性无关的定义就适用． 定义【５ 设、，是数域Ｆ上的向量空间，对于Ｖ 中一组向量ａ ， ｚ，…， ，若存在一组不全为零的 数 ｌ， ２，…， ，使得 １ １＋ ２ ２＋…＋Ａｒｉａ 一０， 则称 １，口２，…， 线性相关，否则称口１， 收稿日期：２０１４—０４—１０ 量组 ，口 ，…， ，， 线性相关，则 可由口 ，口２，…， 关的部分性质Ｉ５］，其它更多性质和结论参见有关高 等代数教程．在文献［６］中，通过研究线性方程组的 解集大小与方程的个数的关系，引入了向量线性相 关和线性无关的概念． 一，Ⅱ 线 ２ 利用向量组的线性相关性求根式方程 的解 基金项目：山西省高等学校教学改革项目（Ｊ２０１３０９９） 作者简介：梁建秀（１９７０－－），女，山西盂县人，硕士，副教授，主要从—例１ 求￣／ 干＿＝丽— 一一 ＋￣／ 千 雨＝＝＝ 事高等代数教学及种群生态数学模型的研究．Ｅ ｉｌ： Ｌｊｘ６９６９＠１６３．ｃｏｒｎ √ｚ 一３ｘ＋１３的实数解 ． 解 注意到 １４ 高等数学研究 ２０１５年１１月 ｚ ＋Ｘ＋１，２ｘ。＋ｚ＋５，ｚ 一３ｘ＋１３ 满足 注意到ｎ。＋６。≠。，所以（：）和（ ）线性无 一７（ｚ。＋Ｘ＋１）＋４（２ｘ。＋Ｘ＋５）一 ｚ 一３ｘ＋１３ （１） 由性质ｌ可知 Ｘ ＋ｚ＋１，２ｘ ＋Ｘ＋５，ｚ 一３ｘ＋１３ 线性相关．现在令 一￣／ｚ。＋ｚ＋１ 一√２ ＋ ＋５ Ｗ一￣／ 一３ｚ＋１３ 则有 “＋ 一硼 （２） 由式（１）知，即 一７ｕ。＋４ｖ ＝Ｗ。 （３） 将式（２）带人式（３）得 一７ｕ ＋４ｖ ＝＝＝（ ＋ ）。 对该式化简并整理有 （口一２ｕ）（３ｖ＋４ｕ）一０ （４） 又当ｚ为实数时，ｚ ＋ｚ＋１与２ｘ ＋ｚ＋５也都是实 数，且３ｖ＋４ｕ＞０，所以仅当 一２ｕ一０时，式（４）才 成立，即 而一２ 对该式两边平方并整理有 ２ｘ０＋３ｘ一１—０ 解得 ｚ一－－——３＋ ，Ｆｆ 一经检验，它是原方程的解．故得原方程的全部实数解 为ｚ：－——３—＋ ￣ｆｆ—一． 本题将ｘ。＋Ｘ＋１，２ｘ ＋ｚ＋５， 一３ｘ＋１３作 为向量，有效利用它们之间的线性相关性简化了解 题步骤，避免了常规运算的繁琐性． ３ 利用向量组的线性相关性求不定积分 例２Ⅲ 求不定积分 工：ｆＪ ｎＣ Ｏｓ 十０ｓｌｎ２７ ｄ （ｎ ＋ｂｚ≠０） ．解 先考虑如下两种特殊情况． （１）当（Ａ，Ｂ）一（以，６）时，显然原式Ｉ 一 ＋ Ｃ。，其中Ｃ。为积分常数． （２）当（Ａ，Ｂ）一（６，一ｎ）时，易知原式 Ｉ２一ｉｎ Ｊ ａＣＯＳＸ＋ｂｓｉｎｘ Ｊ＋Ｃ２ 其中Ｃ 为积分常数． 以下考虑一般情况，此时可利用向量组的线性 相关性和以上两种特殊情况计算出原积分． 关，从而由性质２，３可设 （会） （ ） （ ） 即 （ （ ） 利用觅拉默法解该方程组得 意 ａＡ＋ｂＢ ｂＡ—ａＢ 一 ’患。＝＝＝ 由于 Ｉ：ｆ＝＝ＩＪ ．Ａｃａｃｏｓｘｏｓｘ ｑ十－￣ｘｄｂｓｌｒｌｘ ｄｘ一 — Ａ ｃ 。 ｓｘ ｄｚ ｑ．＿［＂ Ｂ ｓｉｎｘｄｚ Ｊ。 十６ 。ｎｚ若令 ，（ｚ）一 Ｃ Ｏ Ｓ＝Ｘ ＿，ｇ（ｚ）一 ｓｌｎ ＝ｘ ＿则 ｌ（口，（ ）＋ｂｇ（ｘ））ｄｘ—Ｉ ｆ（ （ｚ）一日ｇ（ｚ））ｄｚ— 。 从而有 ＝ｊ’（ （ ）－－［－Ｂｇ（ｚ））ｄｚ一 ．ｒｃ，ｃｚ，，ｇｃｚ （会）ｄ 一 ｃ厂ｃ ，ｇ ｃｚ （ 一ｂ ）（ ）ｄ．ｚ一 －ｆ（ （ｚ）＋ （ｚ）， （ｚ）一昭（ ））（ ） 一 惫 ．ｒ（ａ厂（ｚ）＋ （ｚ））ｄｚ＋ 是 －ｆ（ （ ）－ａｇ（ｚ）ｄ 一 ＋ 利用向量组的线性，相关性使该不定积分的计算变 得简单、直观，更易于学生接受． ４ 向量组的线性相关性在空间解析几何中 的应用 命题１ 两向量共线当且仅当它们线性相关． 命题２ 三向量共面当且仅当它们线性相关． 例３ 讨论：在直角坐标系的三维几何空间中， ４点０（０，０，０），Ａ（１，２，１），Ｂ（４，一１，５），Ｃ（１１，４， １３）是否在同一个平面上？ 解 可以将４点０，Ａ，Ｂ，Ｃ共面转化为讨论 ３个几何向量 Ａ＝（１，２，１），Ｂ一（４，～１，５），Ｃ＝（１１，４，１３） 第１８卷第６期 梁建秀：向量组的线性相关性的若干应用 １５ 是否线性相关问题，而由 ３（１，２，１）＋２（４，一１，５）一（１１，４，１３） 完成生产任务． 向量组的线性相关性在其它领域也有较广泛的 知，Ａ，Ｂ，ｃ线性相关，因此４点０，Ａ，Ｂ，Ｃ在同一 个平面上． 应用，文献［９］就电压增量的线性相关性在电路测 试中的应用作了深入研究，此外向量的线性相关性 也广泛应用在化学、医学等学科中． 参考文献 推论 对于三维几何空间中任何４个或４个以 上的向量一定共面（可由性质４得知）． ５ 利用向量组的线性相关性解决生产安排问题 Ｉ－１１罗秀芹，董福安，郑铁军．关于向量组线性相关性的学习 探讨ｉ－ｊ３．高等数学研究，２００５，８（５）：１８—２０． Ｆ２３刘桂珍．判定向量组线性相关的常用方法［Ｊ］．凯里学院 学报，２００７，２５（３）：３－５． ［－３３朱春钢．向量组线性相关性的教学方法与技巧［Ｊ］．高等 数学研究，２０１０，４（１３）：１１９—１２１． Ｅ４３艾秦瑞，李娟．线性相关性在线性代数中的应用［－ｊ－］．牡 丹江师范学院，２０１１（２）：１１－１２． ｔ－ｓ］张禾瑞．高等代数［－Ｍ－］．４版．北京：高等教育出版社， １９９９：２１７－２１９． ［－６－１李尚志．从问题出发引入线性代数概念ｌ－Ｊ］．高等数学研 口 ：：＝［ ］，口ｚ一［ ］，口ｓ一［０］， 一［ ｉ］ 究，２００６，９（５）：６－９． ［７］同济大学数学系．线性代数及其应用［Ｍ］．北京：高等教 育出版社，２００８：１１７一ｌｌ８． ［－８１阎慧臻．线性代数及其应用Ｉ－Ｍ］．北京：科学出版社， ２０１２：２０． ［９］汪鹏，杨士元．电压增量的线性相关性在电路测试中的 应用Ｉ－Ｊ３．清华大学学报，２００７，４７（２）：１２４５—１２４８． ｏ●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜）●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜）●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜）●＜＞●＜＞●＜＞●ｏ●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●（＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜＞●＜）●＜＞●＜＞●（＞●＜＞● （上接第１１页） Ｆ（ｚ）≥Ｆ（口）一０（ｚ Ｅ Ｉ－ａ，６］）即得Ｆ（６）≥０，证毕． ｌｉｍ厂（ｚ）一０，结论仍然成立． … 本文通过对一个定积分不等式问题进行推广， 得到了几个推广命题，这是引导学生积极思考，培养 学生学习兴趣和创新思维的一种途径和方法．教学 类似地可证当０＜Ｐ＜１时，不等号反向成立． 等号成立当且仅当Ｆ （ｚ）三０（ｚ Ｅ［ｎ，５－１），当且仅 当 （ｚ）三０或Ｇ（ｚ）三０（ｚ Ｅ［ｎ，６］），即当且仅当 ｒ 过程中，如能结合一些有代表性的典型问题引导学 生积极进行思考和推广，将对培养和提高学生的创 新思维具有很好的促进作用． 参考文献 厂（ｚ）三０或厂（ ）三ｌ ｇ（￡）ｄｔ（ Ｅ［口，６］）． Ｊ ａ 注３ （１）若条件“当 ∈［ｎ，６］时，有０＜ ｆ （ｚ）≤ｇ（ｚ）”改为“当．２７ Ｅ［ｎ，６］时，有ｆ （１ｚ）≥ ｇ（ｚ）”，而其它条件不变，结论中对应不等号反向成立． （２）若命题４中的区间［口，６］改为无穷区间 ［ａ，＋Ｏ＜Ｄ），结论仍然成立． （３）若命题４中的区间［ｎ，６］改为无穷区间 （一。。，＋。。）或（一。。，６），且厂（ｎ）一厂（一。。）＝＝＝ Ｅ１３冯贝叶，许康，候晋川编译．历届ＰＴＮ美国大学生数学 竞赛试题集（１９３８—２００７）ＥＭ３．哈尔滨：哈尔滨工业大 学出版社，２００９：３３４—３３５． ［－２１匡继昌．常用不等式ＥＭ１．４版．山东：山东科学技术出 版社，２０１０：７０８．