人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题含答案

第七章 三角形

【知识要点】 一．认识三角形

1．关于三角形的概念及其按角的分类

定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2．三角形的分类：

①三角形按角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系〔判断三条线段能否构成三角形的方法、比拟线段的长短〕 根据公理“两点之间，线段最短〞可得： 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 3．与三角形有关的线段：三角形的角平分线、中线和高 ．．

三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；

三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个局部；

三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。 注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；

②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；

③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的部；直角三角形有一条高在三角形的部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。〔三角形的三条高〔或三条高所在的直线〕交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高〔所在的直线〕的交点在三角形的外部。〕 4．三角形的角与外角

〔1〕三角形的角和：180°

引申：①直角三角形的两个锐角互余；

②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； ③一个三角中至少有两个角是锐角。 〔2〕三角形的外角和：360° 〔3〕 三角形外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和；——常用来求角度

②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的角。——常用来比拟角的大小 5.多边形的角与外角

多边形的角和与外角和〔识记〕 正n边形 角和 外角和 每一个角3 180° 360° 60° 4 360° 360° 90° 5 0° 360° 108° 6 720° 360° 120° 8 1080° 360° 135° 10 1440° 360° 144° 12 1800° 360° 150° 15 2340° 360° 158° (n2)180360或180 nn每一个外角120° 90° 72° 60° 45° 36° 30° 22° 180(n2)180360或 nn. . word.zl-

.. -

〔1〕多边形的角和：〔n-2〕180° 〔2〕多边形的外角和：360° 引申：〔1〕从n边形的一个顶点出发能作〔n-3〕条对角线；

〔2〕多边形有

n(n3)条对角线。 2〔3〕从n边形的一个顶点出发能将n边形分成〔n-2〕个三角形； ※6．镶嵌

〔1〕同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进展平面镶嵌；

〔2〕正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进展平面镶嵌； 〔1〕同一种任意三角形、任意四边形可以进展镶嵌。 【典型例题】 三角形的分类

例题1：具备以下条件的三角形中，不是直角三角形的是〔 B 〕。

A：∠A+∠B=∠C B：∠A=∠B= ∠C C：∠A=90°-∠B D：∠A-∠B=90 例题2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，那么顶角的度数为( D )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°

3如图，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；〔280°〕

1 40?24 图4

练习：

1、如图，以下说法错误的选项是( A )

A、∠B >∠ACD B、∠B+∠ACB =180°－∠A C、∠B+∠ACB <180° D、∠HEC >∠B

2、假设一个三角形的一个外角小于与它相邻的角，那么这个三角形是( C ). A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 三角形的角和、外角和相关的计算与证明

例题1：假设三角形的三个外角的比为3：4：5，那么这个三角形为〔 B 〕． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 例题2：等腰三角形的一个外角为150°，那么它的底角为_______. 练习：

1、如图，假设∠AEC=100°，∠B=45°，∠C=38°，那么∠DFE等于( A ) A. 125° B. 115° C. 110° D. 105° 2、如图，∠1=______. A A_ _ DH_ 3 E_ 80 _ 2_ F_  140 _ 150 _ 1_ 50 _1 _ C_ E B_ BC_题2 图 _3题 图 _ 1题图 4题图

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D.. -

3、如图，那么∠1=______,∠2=______,∠3=______, 4、等腰三角形的一个外角是120°，那么它是( C )

A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形

5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个角的和为180°，那么与这个外角相邻的角的度数为( C ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

6、三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，那么它的最大角的度数( D ). A. 90° B. 110° C. 100° D. 120° 例7. 如图〔1〕所示，△

中，

的平分线交于点

，

求证：.

〔1〕 〔2〕 〔3〕

变式1：如图〔2〕所示，△

中，角

和外角

的平分线交于点

，

求证：.

中，外角

的平分线交于点

，

变式2：如图〔3〕所示，△

求证：分析：此题△

.

的角平分线和外角平分线，从而想到可利用三角形角平分线的性质，三角形的角

和定理以及外角与角的关系证题。

解答：如图〔1〕，∵在△又∵

中，

，

的平分线交于点

∴

变式1：∵

是△

的一个外角，∴

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.. -

∵平分，平分，且是△的外角，

∴，即

∴

变式2：在△ 在△ ∵ ∴

中，平分

，且中，

三点共线，

，同理可证

∴

∴

例5. ：如图，在△交于

，求

中，，分别是边上的高，相

的度数。

分析：由可求解答：∵∴设∴∴∵

为

边上的高，∴，那么

，解得

，

在△

中，故先求

和

。

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.. -

∴在同理∴在△

中，

中，

例题1：假设一个多边形的角和与外角和相等，那么这个多边形是〔 A 〕 A． 三角形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 例题2：以下说法错误的选项是〔 A 〕

A．边数越多，多边形的外角和越大 B．多边形每增加一条边，角和就增加180° C．正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小 D．六边形的每一个角都是120° 例题3：一个多边形角和与其中一个外角的总和为1360°这个多边形的边数为 9 . 例题4：一个多边形的每一个外角都是24°，那么此多边形的角和〔 B 〕 A．2160° B．2340° C．2700° D．2880° 练习：

1．一个多边形角和是10800，那么这个多边形的边数为 〔 B 〕

A、 6 B、 7 C、 8 D、 9 2．一个多边形的角和是外角和的2倍，它是〔 C 〕

A、 四边形 B、 五边形 C、 六边形 D、 八边形 3．一个多边形的边数增加一倍，它的角和增加( A ) A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n·180

4、假设一个多边形的角和与外角和相加是1800°，那么此多边形是( B ) A、八边形 B、十边形 C、十二边形 D、十四边形

5、正方形每个角都是 _90°_____，每个外角都是 ___90°____。

6、多边形的每一个角都等于150°，那么从此多边形一个顶点出发引出的对角线有9 条。 7、正六边形共有___9____条对角线，角和等于____720°______，每一个角等于__120°_____。 8、角和是1620°的多边形的边数是 _11_____。

9、如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是__15____边形。

10、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的角和___180°或360°_。 11、一个多边形的角和与外角和之比是5∶2，那么这个多边形的边数为__8____。

12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的角和为2520°,那么原多边形有_15或16或17___条边。 13.一个十边形中九个角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个角为150 度. 考点六：镶嵌

例题1：装饰大世界出售以下形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。假设只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有〔 B 〕 A.○1○2○3 B. ○1○2○4 C.○2○3○4 D. ○1○3○4

例题2：边长相等的以下两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是( B )

A.正方形与正三角形 B.正五边形与正三角形 C.正六边形与正三角形 D.正八边形与正方形

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.. -

练习：

1. 以下正多边中，能铺满地面的是〔 B 〕

A、正方形 B、 正五边形 C、 等边三角形 D、 正六边形 2. 以下正多边形的组合中，不能够铺满地面的是( D ).

A.正六边形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八边形和正方形 D.正五边形和正八边形 3. 用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有( B )种. A、1 B、2 C、3 D、4

4. 某装饰公司出售以下形状的地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形.假设只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有( C )种. A、1 B、2 C、3 D、4

5. 小家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购置另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，那么小不应购置的地砖形状是( C ) A、正方形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十二边形

6. 用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_3__个正三角形和_2__个正四边形。 7. 如图，第n个图案中有白色地砖_〔4n+2〕____块. 3第 个_ 1第 个_ 第 2?个_ 8.多边形的角和与某一个外角的度数总和为

，求多边形的边数。

分析：利用多边形的角和公式来求，另外此题隐含边数为正整数这个条件。 解答：设边数为，这个外角为

，那么

，依题意有：

∴

∵为正整数，∴〔又∵

，∴

〕必为180的倍数。

，∴

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