第1节 函数及其表示 教案

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章在高考中一般为2～3个客观题. 2.考查内容 高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握．主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图象，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图象与性质，分段函数求函数值等. 3.备考策略 (1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用. (2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理. 第一节 函数及其表示

[最新考纲] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

1

1．函数与映射的概念 两集合A，B 对应关系f：A→B 函数 设A，B是非空的数集 映射 设A，B是非空的集合 如果按照某种确定的对应关系f，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)，x∈A x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 映射f：A→B 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．

[常用结论]

1．常见函数的定义域

2

(1)分式函数中分母不等于0.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0.

(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．

π

(7)y＝tan x的定义域为x|x≠kπ＋2，k∈Z.





2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

4ac－b2

(2)y＝ax＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为，＋∞；当a

4a

2

4ac－b2

. ＜0时，值域为－∞，

4a

k

(3)y＝x(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (3)函数是一种特殊的映射．( )

(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、教材改编

1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，

3

则函数y＝f(x)的图象可能是( )

A B C D

B [由函数定义可知，选项B正确．] 2．函数y＝2x－3＋3

A.2，＋∞ 3

C.2，3∪(3，＋∞) 2x－3≥0，C [由题意知

x－3≠0，3

解得x≥2且x≠3.]

3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( ) A．y＝(x＋1)2 x2

C．y＝x＋1

3

B．y＝x3＋1 D．y＝x2＋1

1

的定义域为( ) x－3

B．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)

3

B [y＝x3＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.] x2＋1，x≤1，

4．设函数f(x)＝2

，x＞1，x

2

则f(f(3))＝________.

24131322 [f(3)＝3，f(f(3))＝f3＝3＋1＝9＋1＝9.]

9

5．已知函数f(x)＝2x＋1，若f(a)＝5，则实数a的值为________． 12 [由f(a)＝5得解得a＝12.]

2a＋1＝5，

4

考点1 求函数的定义域

已知函数解析式求定义域

已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

1.(2019·济南模拟)函数y＝xln(2－x)的定义域为( ) A．(0,2) C．(0,1]

B．[0,2) D．[0,2]

B [由题意知，x≥0且2－x＞0， 解得0≤x＜2， 故其定义域是[0,2)．] 2．函数f(x)＝

1

的定义域为________．

log2x2－1

1

0，2∪(2，＋∞) [要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1＞0，即log2x＞111

0，或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜2，故所求函数的定义域是∪(2，＋∞)．] 2

[逆向问题] 若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________． 9－ [∵函数f(x)＝2ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}． ∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}． 可知a＜0，不等式化为a(x－1)(x－2)≥0， 5

即ax2－3ax＋2a≥0. b＝－3，－3a＝ab，∴即32a＝b，a＝－2.9∴a＋b＝－2.] 求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定

要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接．(如T2)．

抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

已知函数f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是

________．

0≤x＋1≤4，

[1,3] [由题意知

0≤x－1≤4，解得1≤x≤3.

故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．]

[逆向问题] 已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________． [－1,2] [因为y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]

6

函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值

范围．(如本例[逆向问题])

3x2

1.函数f(x)＝1－x＋lg(3x＋1)的定义域是( ) 1A.－3，1 11C.－3，3 

1

B.－3，＋∞ 1

D.－∞，3 

x＜1，1－x＞0，

A [由题意可知解得1

3x＋1＞0，x＞－3，

1

∴－3＜x＜1，故选A.]

fx＋1

2．函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]，则函数g(x)＝的定义域为

x－1________．

[－2,1)∪(1,2 018] [∵函数f(x－1)的定义域为[0，2 020]，∴－1≤x－1≤2 019.

∴要使函数g(x)有意义，则 －1≤x＋1≤2 019， x－1≠0，

解得－2≤x≤2 018且x≠1.

∴函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]．]

3．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．

[－2,2] [∵函数f(x)＝

x2＋ax＋1的定义域为R，

∴a2－4≤0，即－2≤a≤2.] 考点2 求函数的解析式

求函数解析式的4种方法及适用条件

7

(1)待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．

(2)换元法

对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．

(3)配凑法

由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

(4)解方程组法

1

已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等

式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

(1)[一题多解]已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)． [解] (1)法一：(待定系数法)

因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5， 4a＝4，

所以4a＋2b＝－6，

a＋b＋c＝5，

a＝1，

解得b＝－5，

c＝9，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法二：(换元法)

8

t－1

令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝2，

t－1t－1

－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(t)＝4

22所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法三：(配凑法)

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

(2)(解方程组法) 由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x， 2x＋1－2－x

即f(x)＝.

3

2x＋1－2－x

故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．

3

谨防求函数解析式的2种失误

(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．

(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．

如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．

x1 1.如果fx＝1－x，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( ) 1

A.x

B.1 x－1

2

9

C.

1 1－x1D.x－1

11

B [(换元法求解)令x＝t，得x＝t(t≠0且t≠1)，

1t

1

(t≠0且t≠1)， t－1

∴f(t)＝

1－t

∴f(x)＝

1＝1

(x≠0且x≠1)．] x－1

1＋xx2＋11

＝2＋，则f(x)＝( ) 2．已知f

xxxA．(x＋1)2 C．x2－x＋1

B．(x－1)2 D．x2＋x＋1

1＋xx2＋11x＋12x＋12

＝2＋＝－C [(配凑法求解)f＋1，所以f(x)＝x－x

xxxxx＋1.]

13．已知f(x)满足2f(x)＋fx＝3x，则f(x)＝________.

11

2x－x(x≠0) [(解方程组法求解)∵2f(x)＋fx＝3x，①

131

把①中的x换成x，得2fx＋f(x)＝x. ②



1

＝3x，2fx＋fx31

2f＋fx＝xx，

联立①②可得

1

解此方程组可得f(x)＝2x－x(x≠0)．]

4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式． [解] (待定系数法求解)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

10

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 2a＋b＝b＋1，1所以解得a＝b＝2.

a＋b＝1，11

所以f(x)＝2x2＋2x(x∈R)． 考点3 分段函数

求函数值

解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属

于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．

1x＋

x－2，x＞2，合肥模拟)已知函数f(x)＝ (1)(2019·

x2＋2，x≤2，

( )

1

A．－2 B．2 C．4 D．11

log3x，x＞0，

(2)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝x(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，

a＋b，x≤0f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )

A．－2 B．2 C．3 D．－3

(1)C (2)B [(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋C.

(2)由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5， ① f(－1)＝a－1＋b＝3， ② 1

联立①②，结合0＜a＜1，得a＝2，b＝1，

1

＝4.故选3－2

则f(f(1))＝

11

log3x，x＞0，x

所以f(x)＝

1

＋1，x≤0，2

－3

1

则f(－3)＝2＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.]



求分段函数的函数值的策略

(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．

(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

[教师备选例题] 2cos πx，x≤0，4已知函数f(x)＝则f3的值为( ) fx－1＋1，x＞0，35A．－1 B．1 C.2 D.2 4122π1B [依题意得f3＝f3＋1＝f－3＋1＋1＝2cos－3＋2＝2×－2＋2＝1.故选B.] 求参数或自变量的值 解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的

值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．

2x－2，x≤1，

(1)已知函数f(x)＝－log2x＋1，x＞1，且f(a)＝－3，则f(6－a)

＝________.

12

x2＋2x＋2，x≤0，

(2)设函数f(x)＝2若f(f(a))＝2，则a＝________.

－x，x＞0.3

(1)－2 (2)2 [(1)当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3，无解； 当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8， 解得a＝7，

3

所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－2.

(2)当a＞0时，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝2(a＝0与a＝－2舍去)．当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．故a＝2.]

求解本题的关键是就a的取值讨论f(a)的情形，另本题也可作出f(x)

的图象，数形结合求解，即f(a)＝0或f(a)＝－2，从而求得a的值．

分段函数与方程、不等式问题

解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间

进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．

－

2x，x≤0，

(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0，

的取值范围是( )

A．(－∞，－1] C．(－1,0)

B．(0，＋∞) D．(－∞，0)

D [当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，

13

x＋1<0，

结合图象可知，要使f(x＋1)2xx＋1≥0，

或所以2x<0，

本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思

考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况．

[教师备选例题] x＋1，x≤0，1设函数f(x)＝x则满足f(x)＋fx－2＞1的x的取值范围是2，x＞0________． 11－4，＋∞ [根据分段函数的性质分情况讨论，当x≤0时，则f(x)＋fx－211＝x＋1＋x－2＋1＞1，解得－4＜x≤0.当x＞0时，根据指数函数的图象和性质以1及一次函数的性质与图象可得，f(x)＋fx－2＞1恒成立，所以x的取值范围是1－4，＋∞.] 2x，x＞0，44 1.已知f(x)＝fx＋1，x≤0，则f3＋f－3的值等于( ) A．－2 B．4 C．2 D．－4 484B [由题意得f3＝2×3＝3，

24412f－3＝f－3＝f3＝2×3＝3， 44所以f3＋f－3＝4.]



2x，x≤0，

2．已知函数f(x)＝则使f(x)＝2的x的集合是( )

|log2x|，x＞0，

1A.4，4 



B．{1,4}

14

1C.1，4 

1

D.1，4，4 

|log2x|＝2，2x＝2，1

A [由f(x)＝2得①或②由①知无解．由②得x＝4

x≤0x＞0.或x＝4.故选A.]

x－4，x≥2，

3．(2019·深圳模拟)已知函数f(x)＝2则不等式f(x)＜0的

x－4x＋3，x＜2.解集是________．

(1,4) [不等式f(x)＜0等价于 x＜2，x≥2，

或

2x－4＜0x－4x＋3＜0，即2≤x＜4或1＜x＜2， 故不等式f(x)＜0的解集为(1,4)．]

课外素养提升① 数学抽象——函数的新定义问题 以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．

【典例】 (2019·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：

①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3； 1③h(x)＝3；④φ(x)＝ln x.

其中是一阶整点函数的是( ) A．①②③④ C．①④

B．①③④ D．④

x

15

C [对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；

对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；

1对于函数h(x)＝3，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它

不是一阶整点函数，排除B.故选C.]

[评析] 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．

【素养提升练习】 1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

x

C [由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．]

2．若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )

A．f(x)＝cos x C．f(x)＝x2－2x

B．f(x)＝sin x D．f(x)＝x3－2x

D [A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x

16

＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±2，满足题意，故选D.]

17