2019年高考数学总复习：两角和与差的三角函数

1．(2018·山东师大附中模拟)(tan10°－3)sin40°的值为( ) A．－1 C．1 答案 A

解析 (tan10°－3)·sin40°＝(

sin10°sin60°－sin50°

－)·sin40°＝·sin40°＝

cos10°cos60°cos10°·cos60°

B．0 D．2

2sin40°·cos40°sin80°

－＝－＝－1.

cos10°cos10°

π4π

2．(2018·广东珠海期末)已知tan(α＋)＝2，tan(β－)＝－3，则tan(α－β)＝( )

55A．1 5

C. 7答案 D

4ππ

解析 ∵tan(β－)＝－3，∴tan(β＋)＝－3.

55πππ

∵tan(α＋)＝2，∴tan(α－β)＝tan[(α＋)－(β＋)]

555

ππ

tan（α＋）－tan（β＋）552－（－3）

＝＝＝－1.故选D.

ππ1＋2×（－3）

1＋tan（α＋）tan（β＋）55

ππ3

3．(2018·湖南永州一模)已知sin(α＋)＋cosα＝－，则cos(－α)＝( )

63622A．－

31C．－

3答案 C

πππππ31

解析 由sin(α＋)＋cosα＝－，得sin(α＋)＝－，所以cos(－α)＝cos[－(α＋)]

6333623π1

＝sin(α＋)＝－. 33

4．(2017·山东，文)函数y＝3sin2x＋cos2x的最小正周期为( ) π

A. 2

2019年高考数学总复习：两角和与差的三角函数

5B．－

7D．－1

22B. 31D. 3

2πB. 3

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C．π 答案 C

解析 ∵y＝3sin2x＋cos2x＝2(

D．2π

π2π31

sin2x＋cos2x)＝2sin(2x＋)，∴T＝＝π.故选C. 2262

5．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于( ) π

A. 3πC. 6答案 A

解析 由已知得tanA＋tanB＝－3(1－tanAtanB)， ∴

tanA＋tanB

＝－3，即tan(A＋B)＝－3.

1－tanAtanB

2πB. 3πD. 4

π

又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，0sin47°－sin17°cos30°

＝( )

cos17°

3 2

1B．－

2D.3 2

A．－1C. 2

答案 C

解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°， sin30°cos17°1

∴原式＝＝sin30°＝. 2cos17°

7．(2018·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A.2 C．2 答案 C

解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.

cos10°

8．(2018·湖北中考)4sin80°－＝( )

sin10°A.3 C.2 答案 B

B．－3 D．22－3 B.3 D.5

2019年高考数学总复习：两角和与差的三角函数 第 2 页 共 8 页

解析 4sin80°－

cos10°4sin80°sin10°－cos10°2sin20°－cos10°

＝＝＝

sin10°sin10°sin10°

2sin（30°－10°）－cos10°

＝－3.故选B.

sin10°

2πππ4

9．(2018·四川自贡一诊)已知cos(α＋)＝，－<α<0，则sin(α＋)＋sinα＝( )

352343A．－

533C. 5答案 A 解析 ∵cos(α＋α－

2π4π2221)＝，－<α<0，∴cos(α＋π)＝cosαcosπ－sinαsinπ＝－cos3523332

33

B．－ 3D.

5

π34314333

sinα＝，∴sinα＋cosα＝－.∴sin(α＋)＋sinα＝sinα＋cosα＝3(252253222

143sinα＋cosα)＝－.故选A.

25

π5π5ππ

10．(2018·湖南邵阳二联)若tancos＝sin－msin，则实数m的值为( )

12121212A．23 C．2 答案 A

π5π5πππ5π5ππππ1

解析 由tancos＝sin－msin，得sincos＝sincos－msincos，∴121212121212121212122msin

π5πππ

＝sin(－)＝sin，解得m＝23. 612123

B.3 D．3

π111．(2013·课标全国Ⅱ，理)设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝________．

42答案 －10

5

π1＋tanθ111

解析 由tan(θ＋)＝＝，得tanθ＝－，即sinθ＝－cosθ.

4331－tanθ210

将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得cos2θ＝1.

9

3101010

因为θ为第二象限角，所以cosθ＝－，sinθ＝.所以sinθ＋cosθ＝－. 10105sin（3α－π）cos（3α－π）

12．化简：＋＝________.

sinαcosα答案 －4cos2α

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－sin3α－cos3αsin3αcosα＋cos3αsinαsin4α

解析 原式＝＋ ＝－＝－ sinαcosαsinαcosαsinαcosα4sinαcosα·cos2α

＝－＝－4cos2α.

sinαcosα13

13．求值：－＝________．

sin10°sin80°答案 4

13

2（cos10°－sin10°）22cos10°－3sin10°

解析 原式＝＝

sin10°cos10°sin10°cos10°4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）4sin（30°－10°）

＝＝＝4.

2sin10°cos10°sin20°1

14．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________．

31答案

3

1

解析 ∵(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos2αcos2β－sin2αsin2

31β＝.

3

1

∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝.

31

∴cos2α－sin2β＝. 3

15．(2017·北京，理)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关1

于y轴对称．若sinα＝，则cos(α－β)＝________．

37

答案 － 9

解析 方法一：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以17

cos(α－β)＝cos(2kπ＋π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－[1－2×()2]＝－.

39

1

方法二：因为sinα＝>0，所以角α为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，

322

可取其终边上一点(22，1)，则cosα＝，又(22，1)关于y轴对称的点(－22，1)在角

312222

β的终边上，所以sinβ＝，cosβ＝－，此时cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝33322117

×(－)＋×＝－.当角α为第二象限角时，可取其终边上一点(－22，1)，则cosα＝

3339

2019年高考数学总复习：两角和与差的三角函数 第 4 页 共 8 页

221－，因为(－22，1)关于y轴对称的点(22，1)在角β的终边上，所以sinβ＝，cos

33222222117β＝，此时cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×＋×＝－.综上可得，

3333397cos(α－β)＝－. 9

2sin46°－3cos74°

16．(2018·广东深圳测试)＝________．

cos16°答案 1 解析

2sin46°－3cos74°2sin（30°＋16°）－3sin16°cos16°

＝＝＝1.

cos16°cos16°cos16°

π5α1

17．(2018·江苏泰州中学摸底)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan＝.

21322(1)求cosα的值； 5

(2)证明：sinβ>.

133

答案 (1) (2)略

5

α12tan2×

22α14

解析 (1)∵tan＝，∴tanα＝＝＝.

221232α1－（）1－tan22sinα4＝，π3

∴cosα3又α∈(0，)，解得cosα＝.

2522sinα＋cosα＝1.

π3π

(2)证明：由已知得<α＋β<.

22512

∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.

13134

由(1)可得sinα＝，

5

53124635

∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝×－(－)×＝>.

1351356513

18.(2018·江苏南京调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是31025

，点B的纵坐标是. 105(1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值． 答案 (1)－

3π5

(2)

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310解析 因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，所以由任意角的三角1031010

函数的定义可知cosα＝，从而sinα＝1－cos2α＝.

101025

因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，

5255

所以sinβ＝，从而cosβ＝－1－sin2β＝－.

55

310510252

(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×(－)＋×＝－.

10510510(2)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαcosβ＝105310252×(－)＋×＝. 1051052

π3π3π

因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，所以α＋β＝. 224

1．(2017·江西九江模拟)计算sinA．0 C．2 答案 B

πππππ1π3π

解析 sin－3cos＝2(sin－cos)＝2sin(－)＝2sin(－)＝－2.故选B.

121221221212343ππ4

2．(2017·南京金陵中学期中)已知α∈(π，)，且cosα＝－，则tan(－α)等于( )

2A．7 1

C．－

7答案 B

3433

解析 因为α∈(π，π)，且cosα＝－，所以sinα<0，即sinα＝－，所以tanα＝.

253

1－41π1－tanα

所以tan(－α)＝＝＝.

4371＋tanα

1＋4

3．已知过点(0，1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( ) 7A．－

35C. 7

7B. 3D．1 1B. 7D．－7

ππ

－3cos的值为( ) 1212

B．－2 D.2

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答案 D

tanα＋tanβ1

解析 由题意知tanα＝2，tanβ＝－.∴tan(α＋β)＝＝31－tanαtanβ

1

2－3

＝1. 1

1－2×（－）3

4．在△ABC中，“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的( ) A．必要不充分条件 C．充分不必要条件 答案 C

解析 充分性：在△ABC中，A＝π－(B＋C)，∴cosA＝－cos(B＋C)． 又∵cosA＝2sinBsinC，即－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC. ∴cos(B－C)＝0，∴B－C＝

π

，∴B为钝角． 2

B．充要条件

D．既不充分也不必要条件

必要性：若△ABC为钝角三角形，当A为钝角时，条件不成立． 5．4cos50°－tan40°＝( ) A.2 C.3 答案 C

解析 4cos50°－tan40°＝

4sin40°cos40°－sin40°

cos40°

B.2＋3

2

D．22－1

2sin80°－sin40°2sin100°－sin40°2sin（60°＋40°）－sin40°＝＝＝

cos40°cos40°cos40°31

2×cos40°＋2×sin40°－sin40°

22＝＝3.故选C.

cos40°

ππ1＋sinβ

6．(2014·课标全国Ⅰ，理)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )

22cosβπ

A．3α－β＝

2π

C．2α－β＝

2答案 C

ππππ1＋sinβ

解析 ∵α，β∈(0，)，∴－β∈(－，0)，∴α－β∈(－，)．∵tanα＝，

2222cosβ∴

sinα1＋sinβ

＝. cosαcosβ

π

B．3α＋β＝ 2π

D．2α＋β＝

2

即sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα. 化简得sin(α－β)＝cosα.

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π

∵α∈(0，)，∴cosα>0，sin(α－β)>0.

2

πππ

∴α－β∈(0，)，得α－β＋α＝，即2α－β＝，故选C.

222

7．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________． 答案 1

tan（18°－x）＋tan（12°＋x）3解析 ∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝，

31－tan（18°－x）tan（12°＋x）∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x) ＝

3

[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]， 3

3

[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1. 3

∴原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3×8．(2015·广东，文)已知tanα＝2. π

(1)求tan(α＋)的值；

4

sin2α

(2)求2的值．

sinα＋sinαcosα－cos2α－1答案 (1)－3 (2) 1

π

tanα＋tan

4π2＋1

解析 (1)tan(α＋)＝＝＝－3.

4π1－2×1

1－tanαtan

4

sin2α2sinαcosα

(2)2＝2 sinα＋sinαcosα－cos2α－1sinα＋sinαcosα－（2cos2α－1）－1＝

2sinαcosα2tanα2×2

＝2＝1. 2＝2sinα＋sinαcosα－2cosαtanα＋tanα－22＋2－2

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