人教版高中数学必修系列：8.4双曲线的几何性质(第二课时)

§8.4.2 双曲线的简单几何性质（二） ●教学目标

（一）教学知识点

1.求双曲线的标准方程.

2.双曲线的比值（第二）定义. 3.双曲线的准线及其方程. （二）能力训练要求

1.使学生掌握求适合条件的双曲线的标准方程的方法. 2.使学生理解双曲线的比值定义，双曲线准线的定义.

3.使学生掌握双曲线的准线方程，并能应用准线方程判定双曲线的焦点位置. （三）德育渗透目标

通过同一事物的不同表现形式，使学生透过现象认清本质，对学生进行对立统一观点的教育.

●教学重点

双曲线的比值定义，双曲线的准线及其方程. ●教学难点

双曲线标准方程的应用. ●教学方法 指导学生自学法

通过学生自学的实践，使学生在自学中掌握方法，提高自己获取知识的能力，及分析问题、解决问题的能力.

●教具准备 投影片两张

第一张：课本P111例2及图8—17（1）（记作§8.4.2 A） 第二张：课本P112例3（别画图）（记作§8.4.2 B） ●教学过程 Ⅰ.课题导入

［师］上节课，我们学习了双曲线的简单几何性质，请同学们分析一下性质的具体内容

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并回答9y-16x=144的范围.实轴和虚轴的长、离心率、半焦距的大小、焦点和顶点坐标、渐近线方程.

y2x21 ［生甲］先将双曲线方程9y2-16x2=144化成标准方程

916∴y≥3或y≤-3.

5,半焦距为c=5，焦点坐标为（0，5）、（0，33-5），顶点坐标为（0，3）、（0，-3），渐近线方程y=±x.

4实轴长为2a=6，虚轴长为2b=8,离心率为e=

（学生的回答，也许会因实轴的位置发生变化而导致焦点、顶点坐标出错，特别是渐近线方程容易仿照y=±

bax的形式，将a、b的值代入写出，老师要及时更正，并再次强调指

出怎样正确地写出双曲线的渐近线方程）

［师］好！生甲的回答完全正确，他（她）注意了实轴位置的变化，并且注意了焦点、顶点始终在实轴上，正确地写出了焦点、顶点坐标，特别地是双曲线.他（她）并没有机械地照搬渐近线方程的形式.从问题的回答来看，足见他（她）对渐近线的意义有了比较深刻的理解.我们每一位同学都要理解性质的意义，准确地把握双曲线的各个性质.下面，我们来看几个例子.

Ⅱ.讲授新课 ［师］（打出投影片§8.4.2 A，教师读题）

分析指导：本题是一个有实际意义的题目，解这类题的关键是什么？ ［生］（由于课下已经做了预习，或者平时的知识积累，学生一般能答上来）解此类问题的关键是将其抽象成数学问题.

［师］好！具体怎样做呢？

［生］选择适当的坐标系，将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. ［师］好！下面我们来选择坐标系，求双曲线的方程.同学们考虑一下，坐标系怎样选取呢？

［生］解决问题怎样简单就怎样选取.

［师］好！这遵循了简单性原则，只要不违背题意能解决了问题，就是使问题越简单越好！哪位同学来做一下？

［生乙］建立坐标系xOy如图，使最小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合，这时上下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且 |CC′|=13×2 m,|BB′|=25×2 m.

［师］为什么要使最小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合呢？

［生乙］最小圆的直径实质上就是双曲线的实轴长，圆心O是AA′的中点，这样建系，充分考虑了双曲线的对称性.

［师］好！这样一来，实际问题就抽象成了数学问题，并且实际问题中的条件反映在了建立的坐标系上，下面就是求方程的问题了，请一位同学接着做下去.

x2y2［生丙］设双曲线方程为221(a＞0,b＞0)

ab∵点C坐标为（13，y）

∴点B坐标为（25，y-55） ∵点B、C在双曲线上

252(y55)21 ① ∴2212b132y21 ② 122b2联立①②，解之

5b(舍去负值) 125b(55)2225代入①得21221

12b由②得y=

化简整理，得19b+275b-18150=0 即b≈25(舍去负值)

2

x2y21 ∴所求双曲线方程是：

144625［师］生丙同学设出双曲线方程之后，抓住了求解的关键.即设法求出a、b的值，并

2

且在求b的过程中，充分利用B、C点在曲线上，其坐标必满足曲线方程这一重要条件，对C点的坐标设而不求，这种做法很好，希望引起同学们的注意，因为C点的纵坐标y是多少，

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并不是我们关心的，我们所关心的，即确定双曲线的方程的a、b的值.

下面，我们再来看另外一个题目（打出投影片§8.4.2 B，教师读题）

［师］这种类型的题，我们已经做过，或许同学们还记忆犹新，下面，请一位同学来黑板上做，其余同学在下面完成.

［生］解：根据题意得

2

2

(xc)2y2a2xcc a化简整理得 22222222(c-a)x-ay=a(c-a)

222

设c-a=b,方程化为

x2y221（a＞0,b＞0） 2ab［师］这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别是2a、2b的双曲线.

由此例可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=

c (ea＞1)时，这个点的轨迹是双曲线（这是双曲线的比值定义，前面给出的双曲线的定义称为距离定义，再与椭圆的比值定义比较一下，可知区别仅在e的取值范围）.定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.

a2x2y2对于双曲线221，相应于焦点F（c,0）的准线方程是x=，根据双曲线的对

caba2称性，相应于焦点F′（-c,0）的准线方程是x=-. c与中心在原点、焦点在x轴上的准线比较，两种曲线的标准方程在形式上有什么特点？ ［生］中心在原点、焦点在x轴上的椭圆、双曲线，其准线方程是完全一致的.

［师］请同学们考虑一下，中心在原点、焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？ Ⅲ.课堂练习

课本P113练习2、3、4

2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在x轴上，两顶点的距离是8，e=

5. 4(2)焦点在y轴上，焦距是16，e=

4. 3x2y2x2y21 (2)1 答案：（1）1693628x2y21的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程. 3.求以椭圆85x2y21 答案：354.等轴双曲线的一个焦点是F1（-6，0），求它的标准方程和渐近线方程.

x2y21;渐近线方程为y=±x. 答案：

1818Ⅳ.课时小结

本课时我们讨论了双曲线标准方程的求法，特别是具有实际意义的问题的求解方法，其关键是把它抽象成数学问题，将已知条件转化成数学语言，进而求得解答.给出了双曲线的比值定义，准线方程，请注意：中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线有两条准线，且都垂直于实轴，关于虚轴对称，对于双曲线的掌握，重在六线（两轴、两渐近线、两准线）四点（两焦点、两顶点），四个不变量（a、b、c、e），对于椭圆的掌握，重在四线（两轴、两准线）六点（两焦点、四个顶点）四个不变量(a、b、c、e)，对这两种曲线的特征，要通过对比，区别它们的异同，连同a、b、c三者之间的关系准确把握.

Ⅴ.课后作业

课本P114习题8.4 3、4、7、8 ●板书设计 §8.4.2 双曲线的简单性质（二） 例2的解答（学生板书） 例3的解答（学生板书） 双曲线的比值定义： 练习 小结