考研数学一-194

(总分：150.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：8，分数：32.00)

1.定积分A．π B．

（分数：4.00） A. B. C. D. √

解析：[分析一] 令原式 故应选D. [分析二] 令原式故应选D.

在[分析一]中，我们也可如下计算积分 x=sinθ，dx=sin2θdθ，则

2

的值等于 C． D． 则于是

②[分析二]中实质上是把[分析一]中作两次变量替换合并为一次. 2.设f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导且f″(x)＞0，则A．B．C．D．

（分数：4.00） A. B. √

，h1＞0，h2＞0，有

C. D.

解析：这是比较三个数

的大小问题. 已知单调上升，于是设法转化为比较导数值. 这是可以办到的，只要对上述两个改变

量之比用拉格朗日中值定理：

，其中x-h1＜ξ＜x； ，其中x＜η＜x+h2. 由f′(x)在(－∞，+∞)单调上升 因此选B.

均存在，则

3.设u(x，y)在点M0(x0，y0)处取极小值，并且A．C．

（分数：4.00） A. √ B. C. D.

B． D． 解析：偏导数实质上是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值. 由一元函数取极值的必要条件可得相应结论. 令 (若同理，令 因此，应选A.

4.设α、β、γ均为大于1的常数，则级数A．当α＞γ时收敛. B．当α＜γ时收敛. C．当γ＞β时收敛. D．当γ＜β时收敛.

（分数：4.00） A. B. √

，则x=x0是f(x)的极大值点，于是得矛盾).

是g(y)的极小值点 是f(x)的极小值点 C. D.

解析：这里有三种类型的无穷大量： n(μ＞0)，g(q＞1)，lnn(δ＞0), 其中n→∞它们的关系是 现考察此正项级数的一般项：

这里an～bn(n→∞)，即收敛设 故应选B. 与有同的敛散性，这是极限形式比较原理的敛散性已知.

μ

n

δ

，即α＜γ. 因此，原级数收敛则均为正项级数，an～bn(n→∞)，即的特殊情形. 判断正项级数5.设A．C．

（分数：4.00） A. B. C. D. √

敛散性常用的一种方法是：找出an等价的bn，且B是2阶矩阵，且满足AB=B，k1，k2是任意常数，则B= B． D． 解析：由AB=B有(A -E)B=0，因而B的列向量是齐次方程组(A-E)x=0的解，又 那么齐次方程组(A-E)x=0的基础解系是(-1，1)T，所以应选D. 6.设则三个平面

a1x+b1y+c1z+d1=0， a2x+b2y+c2z+d2=0， a3x+b3y+c3z+d3=0

两两相交成三条平行直线的充分必要条件是

A．秩r(α1，α2，α3)=1，秩r(α1，α2，α3，α4)=2. B．秩r(α1，α2，α3)=2，秩r(α1，α2，α3，α4)=3.

C．α1，α2，α3中任两个向量均线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表出. D．α1，α2，α3中任两个向量均线性无关，且α4可由α1，α2，α3线性表出.

（分数：4.00） A.

B. C. √ D.

解析：三个平面两两相交，说明方程组必无解.

因此r(α1，α2，α3)≠r(α1，α2，α3，α4)，可排除D.

而r(α1，α2，α3)=1，说明三个平面的法向量共线，因此这三个平面必平行或重合，可排除A.

当三个平面两两相交成三条平行直线时，这三个平面的法向量是共面且互不平行的，即(a1，b1，c1)，(a2，b2，c2)，(a3，b3，c3)共面且互不平行，因此由排除法可知，应选C.

7.将一枚均匀的骰子投掷三次，记事件A表示“第一次出现偶数点”，事件B表示“第二次出现奇数点”，事件C表示“偶数点最多出现一次”，则 A．A，B，C两两. B．A与BC. C．B与AC. D．C与AB.

（分数：4.00） A. B. C. D. √

解析：应用条件概率是否与无条件概率相等来判断性. 显然由于又 故A与C不，A不正确. ，而所以. 故A与BC不，B不正确.

且任两行不成比例. 从而秩r(α1，α2，α3)=2. 但当

r(α1，α2，α3)=2时，不能保证任意两个平面不平行，故B是必要条件.

由于P(B|AC)=1≠P(B)，故B与AC不，C不正确. 由于，故C与AB，所以应选D.

8.设总体X～N(μ，4)，据某一容量为16的样本，计算得知总体均值μ的置信度为95%的置信区间Ι=(9.02，10.98). 现对于显著性水平α=0.05，检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，记统计量V=域R应该是 A．

（分数：4.00） A. B. C. √ D.

B．R=V∈Ι.

则检验H0的否定

C．R=|V|＞0.98. D．R=|V|＞1.96.

解析：根据正态总体方差已知关于求期望μ的置信区间公式：满足

P{|U|≤λ|=0.95.

由题设条件可计算出样本均值的观察值为，λ=1.96，σ0=2.

，其中样本统计量U～N(0，1)且λ

在检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0时，选取的统计量

其H0的拒绝域为R={|V|＞0.98}. 应选C.

，因此对于统计量的拒绝域应为

二、填空题(总题数：6，分数：24.00)

9.设曲线Γ的极坐标方程为r=e，则，在点

（分数：4.00）

填空项1:__________________ （正确答案：解析：Γ的参数方程是 Γ在此点的切线的斜率为

法线的斜率为1，因此Γ在点处的法线方程为

点）

θ

处的法线的直角坐标方程是______.

的直角坐标是

2

10.设y(x)是y′″+y′=0的解且x→0时y(x)是x的等价无穷小，则y(x)=______.

（分数：4.00）

填空项1:__________________ （正确答案：2(1-cosx).）

解析：令P=y′，则得p″+p=0，它的特征方程是λ+1=0，于是通解为y′=P=C1cosx+C2sinx，再积分一次，即得原方程的通解是 y=C1sinx-C2cosx+C3. 下面要定出常数C1，C2，C3. 方法1°由泰勒公式 2

及y(x)～x(x→0)

方法2°由 2

因此y(x)=2(1-cosx)0

11.设Ω是由曲面x+y-z=0与平面z=2围成的空间区域，则

（分数：4.00）

填空项1:__________________ （正确答案：）

2

2

2

的值是______.

解析：[分析一] 选用球坐标，则Ω的球坐标表示：

[分析二] 选用柱坐标变换，且选择先对r积分的顺序. 由于 0≤z≤2，D(z)：0≤θ≤2π，0≤r≤z，

12.设

（分数：4.00）

填空项1:__________________ （正确答案：）

，则______. 解析：简单的放大、缩小法不能解决问题，再看xn是否是某函数在某区间上的一个积分和.

这是 13.已知矩阵

（分数：4.00）

填空项1:__________________ （正确答案：k(-1，1，1)，k≠0为任意常数，）

解析：“特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量，故特征值λ0必是3重根，且秩r(λ0E-A)=2. 由知3λ0=4+(-2)+1，得特征值λ=1(3重). 又

T

在[0，1]上的一个积分和(将区间[0，1]n等分). 因此

只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是______.

T

因为秩r(E-A)=2，因此有a=-2. 此时(E-A)x=0的基础解系是(-1，1，1). 故A的特征向量为k(-1，1，1)，k≠0为任意常数. 特征值有重根时，要会用秩来分析判断问题.

T

14.设随机变量X和Y相互，且都服从正态分布N(0，σ). 已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn(n＞4)是分别来自X和Y的简单随机样本，统计量

（分数：4.00）

填空项1:__________________ （正确答案：2.） 解析：用t分布的典型模式来确定k的值. 由于

又且相互，故 服从自由度为n的t分布，则当时，k=______.

2

由于U与V相互，根据t分布的典型模式知

由题设知， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)

15.设函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0， (Ⅰ)求f(x)；

(Ⅱ)求证：f(x)在(0，+∞)上有界.

（分数：10.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((Ⅰ)题设中等式左端的极限为1型，先转化成 由导数的定义及复合函数求导法得

于是积分得 由，得C=1. 因此 所以f(x)在(0，+∞)上有界.

，即即

∞

，且

(Ⅱ)证法1°因f(x)在(0，+∞)连续，又证法2°当x∈(0，+∞)时显然有可利用熟知的不等式：当时有，即f(x)在(0，+∞)上有下界为证明f(x)在(0，+∞)上也有上界，从而当时. 又当时直接可得，故当x∈(0，+∞)时f(x)＜1成立. 综合得当x∈(0，+∞)时0≤f(x)＜1成立，)

解析：①若用洛必达法则求极限 这是不正确的.

因为这是最后一步用到了f′(x)的连续性：确.

②题(Ⅱ)的证法1°用到了结论：设f(x)在(a，b)连续，又有界. (对无穷区间结论类似). 16.计算二重积分

（分数：10.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(D如图，关于x轴对称其中D1=D∩{y≥0}.

方法1°在Oxy直角坐标系中先x后y的积分顺序(不必分块) 其中，两圆周的交点是) 解析：由定积分的几何意义，知图形的面积得

方法2°作极坐标变换，并选用先对θ积分后对r积分的顺序. x+y=2x的极坐标方程是r=2cosθ，于是D1的极坐标表示是

方法3°作极坐标变换后，若选择先对r积分的顺序，则D1要分块表示：

2

2

但题中只假设f(x)在(0，+∞)可导，因此，此解法不正

极限，则f(x)在(a，b)上

，其中D为x+y=1，x+y=2x所围中间一块区域.

2222

于是 于是

其中，x+y=1与x+y=2x的交点 17.设u=u(x，y)由方程组

2222

对应的，于是

u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 所确定，其中f，g，h对各变量有连续的偏导数，且求

（分数：10.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这里有5个变量，3个方程，因而确定3个因变量，其余两个为自变量. 按题x，y为自变量，于是u，z，t均为因变量. 由第二、第三个方程知，z与t只是y的函数，因此对y求偏导数，由复合函数求导法得

方程②，③是以 代入①) 为未知数的二元线性方程组，因系数行列式不为零有唯一解，即

与 解析：隐函数求导时，首先由方程式的个数及变量的个数确定因变量与自变量的个数(因变量的个数=方程式的个数)，再按题意具体地确定因变量与自变量，然后再用复合函数求导法. 在本题中用下标表示求偏导数可把结果写得简洁一些，即

18.设xOy平面第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点足：弧段，y′(x)＞0. 又M(x，y)为Γ上任意一点，满

的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为(Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件； (Ⅱ)求曲线Γ的表达式.

（分数：10.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程 Y-y(x)=y′(x)(X-x)，

其中(X，Y)是切线上点的坐标，在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距

又弧段的长度为，按题意得

①

这是积分、微分方程，两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：

，即 又由条件及①式中令x=0得

，y′(0)=1. 因此得初值问题

②

问题①与②是等价的.

(Ⅱ)下面求解②. 这是不显含x的二阶方程，作变换p=y′，并以y为自变量得

由时改写成将上面两式相减 再积分得其中 ③

则③就是所求曲线，的表达式.)

为新的未知函数，y为自变量，

解析：不显含x的二阶方程y″=f(y，y′)的解法是：降阶法——以将代入方程即可降阶.

19.设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 求f(x，y).

（分数：10.00）

在全平面与路径无关，且

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((Ⅰ)，即 在全平面与路径无关 积分得f(x，y)=siny+C(x). (Ⅱ)求f(x，y)转化为求C(x).

方法1°f(x，y) dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx

即 sint+2tcost+C(t)=2t. 因此f(x，y)=siny+2x-sinx-2xcosx. 方法2°取特殊路径如图所示，由于

即 C(t)=2t-sint-2tcost. 因此f(x，y)=siny+2x-sinx-2xcosx.

) 解析：

20.已知A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，其中α1，α2，α3，α4是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的通解是k(1，0，-3，2)，证明α2，α3，α4是齐次方程组Ax=0的基础解系.

（分数：11.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由解的结构知n-r(A)=1，故秩r(A)=3. 又由*

T

*

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

得α1-3α3+2α4=0.

*

*

因AA=|A|E=0，即A(α1，α2，α3，α4)=0，故α2，α3，α4都是Ax=0的解，

由α1=3α3-2α4与r(A)=3有A=(α1，α2，α3，α4)=(3α3-2α4，α2，α3，α4)→0，α2，α3，α4)，可知α2，α3，α4线性无关.

由r(A)=3得r(A)=1，那么n-r(A)=3. 综上可知，α2，α3，α4是Ax=0的基础解系.) 解析：

21.设n阶实对称矩阵A满足A=E，且秩r(A+E)=k＜n. (Ⅰ)求二次型xAx的规范形；

(Ⅱ)证明B=E+A+A+A+A是正定矩阵，并求行列式|B|的值.

（分数：11.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((Ⅰ)设λ为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，即Aα=λα，α≠0，则Aα=λα由于A=E，从而(λ-1)α=0. 又因α≠0，故有λ-1=0，解得λ=1或λ=-1. 因为A是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是 那么矩阵A的特征值为：1(k个)，-1(n-k个). 故二次型xAx的规范形为(Ⅱ)因为A=E，故

2T

2

2

2

2

2

2

3

4

T

2*

*

*

B=E+A+A+A+A=3E+2A.

所以矩阵曰的特征值是：5(k个)，1(n-k个). 由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵，因此B是正定矩阵，且|B|=5·1=5.) 解析：

22.设X，Y是两个离散型随机变量，X只取-1和1两个值，y只取-1，0，1三个值，已知EX=0.2，EY=0.25，PX=-1，1，=1=0.2，PX=1，Y=-1=0.1，PY =-1=0.2.试求X与Y的联合概率分布与它们的协方差.

（分数：11.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(首先我们列出X与Y的联合概率分布结构表(见表)，表中未知的Pij待求.

根据联合分布与边缘分布间的关系及数学期望定义容易求出表中Pij(i=1，2，j=1，2，3)各值，对照表，具体计算如下：

1)p11=p·1-p21=0.2-0.1=0.1； 2)又 k

n-k

k

234

p13+p23=p·3，即3)EX=-p1·+p2·=0.2，又p22=p·2-p12=0.35-0.1=0.25.

于是p12=p1·-p11-p13=0.4-0.1-0.2=0.1,

从上述计算结果可得X与Y的联合概率分布(见表)为

EXY=(-1)(-1)×0.1+(-1)×1×0.2+1×(-1)×0.1+1×1×0.25=0.05, 于是cov(X，Y)=EXY-EXEY=0.05-0.2×0.25=0.) 解析：

23.设随机变量Xi～N(0，1)，i=1，2且相互，令机变量Y1与Y2的概率密度．

（分数：11.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：((Ⅰ)因X1与X2且同服从标准正态分布N(0，1)，故(X1，X2)的联合概率密度为 当y≤0时，P{Y1≤y}=0；当y＞0时， 于是Y1的概率密度为

(Ⅱ) ，试分别计算随

当y≤0时，FY2(y)=P{Y2≤y}=0； 当y＞0时， 于是Y2的概率密度为

) 解析：