２０１０ ＮＯ ０４ ． Ｃｈｌｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖｓｔｉｏｎ ＨｅｒａｌＯ 理论前沿 浅谈排列组合教学中数学思维方法的培养 王瑞华 （河北邢台学院初等教育学院 河北邢台０５４００１） 摘要：排列舡合是中学数学的重要内容之一，应用广泛，涉及知识面广，由于条件复杂多样，其解题方法较为独特灵活，是培养学生袭学 思想方法和发展学生思堆能力的好素材。 关键词：排列组合 数学思维 培养 解决问题 中图分类号；Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７３—９７９５（２０１ ｏ）ｏ２（ａ）一９１１ ８—０１ 排列组合在数学内容中是较为重要的 部分，不仅应用广泛，涉及知识面广，而且是 ５８个三棱锥，因每一个三棱锥的６条棱共可 组成三对异面直线，故共有１７４对异面直线。 区别在于白球、黑球是否可辨别（即视为相 同还是不同）。 学习概率统计知识以及高等数学有关分支 利用转化与化归的思想，可使复杂或 的准备知识，由于条件复杂多样，其解题方 不易解决的排列组合问题化为熟悉或容易 法较为独特灵活，是培养学生数学思想方法 解决的问题 关键是找到解决问题的突破 和发展学生思维能力的好素材。特别是新教 口，将问题进行等价转化。 材中对于数学思想的渗透贯穿于这一章节 的始终，本文浅谈在排列组合教学时可以对 ３归纳思维方法 学生进行以下数学思维方法的培养。 归纳是由特殊概括成一般的一种思维 方法。在排列组合中，应用归纳思想始终贯 １分类 分步思维方法 穿于本章内容的始末。排列数公式、组合数 解决排列组合问题的基本依据是：分类相 公式、二项式定理及二项式定理的性质２等 加，分步相乘，有序排列，无序组合．这就要求 推导得出都用了归纳思想。虽然在具体的 我们在解决该类问题时，选择合适的角度和 推导过程中用的是不完全归纳法，但这些 恰当的切入点，把原问题分解为几个小问题， 结论均可用数学归纳法来加以证明。 各个突破。用分类讨论的思想方法解决。 例血明：平面上有ｎ条直线，两两相交， 例ｌ：今有２个红球，３个黄球，４个白球， 共有 ：个交点？ 同色球不加以区分，将这９个球排成一列有 证：当ｎ＝２，３，４时结论成立。 几种不同的排法？ 假设当ｎ＝Ｋ一１时，结论成立。即Ｋ条直 分析：第一步从９个不同的位置中选２ 线有个ｃ；一 交点 个放上两个相同的红球，共有ｃ 种放法， 那么当ｎ＝Ｋ时，第Ｋ条直线与前Ｋ一１条 第二步从余下的７个不同位置中３个，放上３ 直线中的每一条直线都有一个交点，共Ｋ一 个相同的黄球，共有Ｃ：种放法，第三步，在 １个交点，加上前面的ｃ 个交点，则共有 剩余４个位置放上４个相同的自球，共有ｃ： ｃ ２种放法。由分步计数原理得： １＋（Ｋ—１）＝ ＋（ ～１）＝ 彳 ｃ ２×ｃ ３×Ｃ ４＝１２６０， ＝９ ７ ４ 。Ｃ：个交点，结论成立。 例２：将５个新生分配到３个班中，每班至 少一人，有几种不同的分法？ ４逆向思维方法 分析：先将５个学生分成三堆有两类， 有些问题从正面去探求，较为复杂，若 Ｃ １Ｌ ２ｄＬ，２ 调换解题角度，逆向思维，问题便简单易解。 ｌ、ｌ、３分堆有Ｃ种，ｌ、２、２分堆有— 例：大街上有编号为ｌ，２，３，４…，ｌ０ 种，再排列到３个班里有Ａ：种，因此共有 的十盏灯，若关掉其中三盏灯，但不能同时 ，１１ ２ ２ 关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端 （ｃ：＋ ）×Ａ；种。 的路灯，那么不同的关灯方式有多少种？ 通过分析本题若从正面去探求，较为 ２转化与化归思维方法 复杂，若调换解题角度，变为在７个亮灯中 有些排列组合问题，乍看感觉无从下 间６个空隙插入３个关掉的灯，易得关灯 方式为：Ｃ ３：２０种 手，通过分析条件和结论的联系，可适当转 换思维角度，找到等价转化的途径，于是可 化难为易，给人一种“耳目一新”的感觉。 ５构建模型思维方法 数学模型就是将某种事物的特征的数 例：连结平行六面体的８个顶点的所有 量关系借助某种数学语言而建立的一种数 直线中，一共可组成多少对异面直线？ 学结构。它将某一种对象或某种过程，用数 分析：本题正面求解或反面考虑虽然可 学概念、公式或逻辑关系在数量上加以描 行，但容易重复或遗漏．结合立体几何知识可 述。解决排列组合应用问题中也经常用到 知，三棱锥的每组相对棱相互异面，每一个三 数学建模思。问题模型化，常常可以使问题 棱锥的６条棱共可组成三对异面直线，因而可 更加系统，容易解决。 将问题转化为以平行六面体的８个顶点为顶 例１：（１）５个不同的白球、３个不同的黑 点，共可组成三棱锥的个数的计算问题。 球，排成一排，有多少种排列方法？ 解：从平行六面体的８个顶点中任取４ （２）５个相同的白球、３个不同的黑球，排 ＾ 个，有ｃ；种取法，其中４点共面的有１２种（６ 成一排，有多少种排列方法？ （３）５个相同的白球、３个相同的黑球，排 个表面平行四边形，６个对角面平行四边 成一排，有多少种排列方法？ 形）．将不共面的４点构成一个三棱锥，共有 不难发现他们的结果各不相同，本质 ８ 中国科教创新导刊Ｃｈｉｎａ Ｅｃｌｕｏａｔｌｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 例２：某城市新建的一条道路上有ｌ２只路 灯，为节约用电而不影响照明，可以熄灭其中 三盏灯，但是两端的灯不能熄灭，也不能熄灭 相邻的两盏灯，熄灯方法共有多少种？ 直接考虑比较困难，但我们稍加变化， 即能转化成我们熟悉的排列问题，即：９个 相同的Ａ租３个相同的Ｂ排成一列，要求Ｂ不 排在两端，也不相邻，此时只需将Ｂ插入到９ 个Ａ中即运用插空法可解决。 以上两例，都反映出构建模型、转化问 题背景常常能变陌生为熟悉，大大增强我 们解题的信心，也能够使我们所学习的知 识更加系统有序。 ６分析与综合思维方法 无论是学习数学基础知识，还是进行 数学解题，分析和综合的应用都是非常普 遍的。对排列组合而言，条件复杂多样，分 析综合尤为重要，无论采用什么方法解题， 首先要分析题目。 例：６名运动员站在６条跑道上准备参 加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站 在第二道，乙必须站在第五或第六道，则不 同排法种数共有多少种？ 首先通过分析知道，由于甲、乙站道有 条件要求，故需把甲、乙考虑为特殊元素， 首先安排这两个特殊元素，①先安排乙，不 同站道方式为ｃ ，②甲不同站道方式为 Ｃ １，然后排其它４个，可得不同站道方式为 ｃ ×Ｃ ×Ａ：＝１４４。 总之，现代的数学教育观，数学学习的 目的，已经开始从掌握“数学知识和技能 向 着掌握“解决问题的一般方法 即 数学式地 思维”的方向转变，思想方法是数学学习和 研究的“核心”和“灵魂”，它并不是抽象的东 西，而是以数学知识和数学问题为载体的具 体的实实在在的内容，同时又能指导解决许 许多多类似的数学问题，因此是有本质的、 概括的、指导的意义。在教学中，教师在教学 中应十分重视数学思想方法的挖掘和渗透， 并且切实让学生领悟和掌握这些数学思 想、方法，并能用于其它学科和解决实际问 题，让学生在学习后能终身受益。 参考文献 【１］万国太．解排列组合应用题中的思维障 碍浅析…．数学教学研究，２００１（６）． ［２］付秋根．排列组合的教学与数学思想的 渗透【Ｊ】．井冈山医专学报，２００８（１）． ［３莫小平．３】在排列与组合问题教学中应注 意的几个问题【Ｊ】。科技信息，２００９（２６）． 【４］夏云．排列组合教学心得【Ｊ】．考试周刊， ２００９（２）．
