发展学生几何直观的实践与思考

案例发展学生几何直观的实践与思考直观是一种有洞察力的感知，而几何直观是利用图形洞察问题本质的一种策略，一种思想。借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，帮助学生直观地理解数学。怎样才能让学生打破自己固有的思维模式，自觉运用几何直观，这需要教师有目的地引导。一、以形助数，渗透几何直观众所周知，数和形是数学两个最主要的研究对象。正如著名数学家华罗庚所言，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合千般好，数形分离万事休”。为此，在实际教学中，教师应有意识地运用几何直观来表征数量关系，让学生体会其优越性，并逐步养成借助几何直观分析问题的好习惯。比如，我们发现，目前常用的几个版本的教材在“倒数的认识”时，都没有借助直观来帮助学生理解倒数的内涵。教材通常从定义“乘积为1的两个数互为倒数”出发，根据原有知识“0乘任何数的积均不能为1”或“1除以0是不允许的，因为0不能作除数”，从而推断0没有倒数。基于此，在实际教学中，引导学生利用面积模型，通过画长（正）方形，借助直观来理解互为倒数的两个数之间的结构关—面积为1的长方形，其长和宽互为倒数（如系——图1）。想要找到0的倒数，就需要构造一个面积为1，而且宽为0的长方形，显然这是不存在的。假设存在这样的长方形，长究竟是多少，其面积才是1呢？当宽为0时，长就会无穷大，此时长方形就变成1122121伊1=1整数有倒数袁1的倒数是它本身遥0.52伊0.5=121伊2=1250伊渊钥冤屹1小数有倒数遥分数渊真分数尧假分数尧带分数冤都有倒数遥0没有倒数遥250渊钥冤S=1图1了一条直线，它还能称作是长方形吗？即使是一条直线，而线是没有宽度的，直线的面积可不可能是0？种种悖论推断出宽为0的长方形，无论长是多少，都不可能面积为1，直观证实了0没有倒数。简洁的图形，不仅呈现了抽象的算式，还直观呈现了严密的逻辑思维过程，帮助学生多角度理解倒数的意义。在此基础上，循着这一“几何直观”的路数，便有了关于“倒数”一课的进一步思考。借助面积模型，让抽象的倒数在直观的长方形中得以显现，如果把面积为1的不同长方形，叠加在一起，就会发现长和宽之间具有大小制约关系，如果将互为倒数的长和宽构造成一个数对，这些数对将会在平面坐标系中呈现反比例函数的图2图像（如图2）。这样的数形结合除了几何直观，还蕴含了极限的数学思想，使数学思维向深处生长。105

案例二、以数说形，发展几何直观过程中，学生进一步感悟数形结合思想的优越性，体会几何直观的价值，享受成功的喜悦，建立自信。当我们引领学生探究几何问题，或指导学生用几何图形来描述数学问题时，应当配以数据，用数四、重视想象，形成直观表象来刻画形的大小，使直观的图形更显精确。在探究“等底等高的平行四边形面积相等”这直观是手段，直观的目的是为了更好地理解抽一规律时（如图3），如果没有数据，大部分的学生象的知识。随着学生年级的升高，抽象思维能力的会认为第三个平行四边形的面积大。教学时先引增强，应逐渐减少学生对直观演示的依赖性，发展导学生计算下列各平行四边形的面积，然后通过学生的空间想象能力和抽象思维能力。平移发现规律，并总结揭示规律。这样的过程，有在教学《长方体长、宽、高的认识》时，教师可以效地培养了学生的空间观念，提高了学生的几何让学生利用细木条和橡皮泥制作一个长方体的框直观能力。架，通过小组合作，发现长方体棱的特征；然后设计“拆棱想象”活动，至少必须保留哪几条棱，才能想出原来长方体的大小呢？学生一边想象，一边交流，最后达成共识：相交于一个顶点的三条棱不能再去图3掉，由此引出长、宽、高的概念。在此基础上，通过问题导向，引导学生在头脑中建构三者之间的联系，三、借助画图，拓展几何直观形成表象。如“任何一个面的长和宽与相邻面的长、宽之间有什么关系”“任何一个面的长和宽与长方线段图是理解数量关系形象化、视觉化的工体的长、宽、高之间有什么关系”“长方体的棱发生具。借助线段图直观表达题中量与量之间的关系，变化时，面的大小也随之变化，哪些面变了，哪些面可以达到化繁为简、化难为易的目的，变“看不见”没有变”等。通过这样地想象、交流，不仅让学生认为“看得见”，不仅能帮助学生理清数量之间的关识了长方体的长、宽、高，而且还明白了长方体的大系，还能帮助学生拓宽解题思路。小是由长、宽、高所决定的，更有利于学生进一步理比如，四年级的学生要解决“一个双层书架，上解长方体的特征，有利于学生直观想象能力和空间层书的本数是下层的3倍。如果从上层搬60本到观念的发展。下层，那么两层书的本数正好相等。原来上、下层各培养学生的几何直观的目的，就是要让学生有有多少本”等和倍、差倍等问题时，往往束手无策、这样的意识：在遇到不好理解的问题时，自觉想到无从下手，如果学生具有借助几何直观来帮助分析用几何直观来助力，利用图形直观地表征数量关的解题策略，通过画线段图（如图4），从而让不易系，从而获得解决问题的思路。学生从“感性”走向理解的数量关系一目了然，问题迎刃而解。在这一“理性”的发展过程中，他们的几何直观能力和数学思维也在自然生长。揖本文系重庆市教育科学野十三五冶规划2017年度规划重点有经费课题野小学数学素养课堂的理论与实践研究冶的阶段成果铱（文/刘媛圆重庆市渝中区枣子岚垭小学）图4