第31届中国数学奥林匹克竞赛题

江西 鹰潭

第一天（2015年12月16日 8：00－12：30）

1、设正整数a1,a2,,a31,b1,b2,,b31满足： ⑴a1a2a312015,b1b2b312015； ⑵a1a2a31b1b2b31. 求S|aibi|的最大值.

i131

2、如图，凸四边形ABCD中，K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA上的点，满足：

AKDABLABCMBC，，，KBBCLCCDMDDADNCD. NAAB延长AB、CD交于E点，延长AD、BC交于点F，设AEF的内切圆在边AE、AF上的

CEF的内切圆在边CE、切点分别为S、T；

CF上的切点分别为U、V.

证明：若K、L、M、N四点共圆，则S、T、U、V四点共圆.

3、设p是奇素数，a1,a2,,ap是整数，证明以下两个命题等价： ⑴存在一个次数不超过

p1的整系数多项式f(x)，使得对每个不超过p的正整2数i，都有f(i)ai(modp).

pp1⑵对每个不超过的正整数d，都有(aidai)20(modp)，这里下标按模

2i1p理解，即apnan.

第二天（2015年12月17日 8：00－12：30）

4、设整数n3，不超过n的素数共有k个，设A是集合{2,3,,n}的子集，A的元素个数小于k，且A中任意一个数不是另一个数的倍数.

证明：存在集合{2,3,,n}的k元子集B，使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数，且B包含A.

5、在平面中，对任意给定的凸四边形ABCD，证明：存在正方形A'B'C'D'（其顶点可以按顺时针或逆时针标记），使得A'A，B'B，C'C，D'D，且直线AA'，BB'，CC'，DD'经过同一个点.

6、一项赛事共有100位选手参加，对任意两位选手x,y，他们之间恰比赛一次且分出胜负，以xy表示x战胜y，如果对任意两位选手x,y，均能找到某个选手序列u1,u2,,uk，k2，使得xu1u2uky，那么称该赛事结果是“友好”的.

⑴证明：对任意一个友好的赛事结果，存在正整数m满足如下条件：

对任意两位选手x,y，均能找到某个长度为m的选手序列z1,z2,,zm（可以有重复），使得xz1z2zmy.

⑵对任意一个友好的赛事结果T，将符合⑴中条件的最小正整数m记为m(T)，求m(T)的最小值.