【初中数学】人教版九年级下册27.1 图形的相似(练习题)

人教版九年级下册27.1 图形的相似(188)

1.我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同，就把它们叫做相似体．

如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比𝑎∶𝑏,设𝑆甲，𝑆乙分别表示这两个正方体的表面积,则

(𝑏),又设𝑉甲，𝑉乙分别表示这两个正方体的体积,则𝑉=𝑏3=(𝑏).

乙

𝑆甲𝑆乙

=6𝑏2=

6𝑎2

𝑎2

𝑉甲

𝑎3

𝑎3

(1)下列几何体中,一定属于相似体的是 .

A.两个球体 B.两个圆锥体 C.两个圆柱体 D.两个长方体

(2)请归纳出相似体的3条主要性质：

①相似体的一切对应线段(或弧长)的比等于 ； ②相似体表面积的比等于 ； ③相似体体积的比等于 . 2.若𝑎∶𝑏=2∶3,则下列各式正确的是（） A.2𝑎=3𝑏

B.3𝑎=2𝑏

C.𝑎=3 𝑏

2

D.

𝑎−𝑏𝑏

= 3

1

3.用放大镜看四边形𝐴𝐵𝐶𝐷．若四边形的边长被放大为原来的10倍,则下列结论正确的是（）

A.放大后的∠𝐵是原来的10倍 C.两个四边形的对应角相等

B.两个四边形的对应边相等 D.以上选项都不正确

4.如图，宽与长的比是√5−1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着2丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，分别取𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点𝐸，𝐹，连接𝐸𝐹；以点𝐹为圆心，以𝐹𝐷为半径画弧，交𝐵𝐶的延长线于点𝐺；过点𝐺作𝐺𝐻⊥𝐴𝐷，交𝐴𝐷的延长线于点

𝐻．则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

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A.矩形𝐴𝐵𝐹𝐸 B.矩形𝐸𝐹𝐶𝐷 C.矩形𝐸𝐹𝐺𝐻 D.矩形𝐷𝐶𝐺𝐻

5.如图,已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐵=1,在𝐵𝐶上取一点𝐸,沿𝐴𝐸将△𝐴𝐵𝐸向上折叠,使点𝐵落在𝐴𝐷上的点𝐹处．若四边形𝐸𝐹𝐷𝐶与矩形𝐴𝐵𝐶𝐷相似,求𝐴𝐷的长．

6.如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的长𝐴𝐵=30，宽𝐵𝐶=20.

(1)如图①，若沿矩形𝐴𝐵𝐶𝐷四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形

𝐴𝐵𝐶𝐷与𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′相似吗？请说明理由；

(2)如图②，当𝑥为多少时，图中的两个矩形𝐴𝐵𝐶𝐷与𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′相似？ 7.在一幅比例尺是1∶100000的地图上,测得𝐴,𝐵两地间的距离为3.5厘米,那么

𝐴,𝐵两地间的实际距离为 米．

8.下列四组图形中,一定相似的是（） A.正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.两个菱形

D.两个正五边形

9.若图所示的两个四边形相似，则∠𝛼的度数是（）

A.60∘ B.75∘ C.87∘ D.120∘

10.一个多边形的边长依次为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边长为

24,则这个多边形的最短边长为（）

A.6 B.8

𝐴𝐷

2

C.10 D.12

11.如图,若△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵，且𝐴𝐶=3，𝐷𝐸=10，则𝐵𝐶= ．

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12.如图,在长8cm、宽4cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分),使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形的宽为 cm．

13.如图,六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹与六边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′相似． 求：

(1)相似比； (2)∠𝐴和∠𝐵′的度数；

(3)边𝐶𝐷,𝐸𝐹,𝐴′𝐹′,𝐸′𝐷′的长．

14.下列各选项中的两个图形是相似图形的是（） A.

B.

C.

D.

15.下列图形是相似图形的是（） A.两张孪生兄弟的照片

B.一个三角板的内、外三角形

D.在同一棵树上摘下的两片树叶

C.行书中的“美”与楷书中的“美”

16.下列各组线段(单位：𝑐𝑚)中,是成比例线段的是（） A.1,2,3,4

B.1,2,2,4

C.3,5,9,13

D.1,2,2,3

17.已知𝑎,𝑏,𝑐,𝑑是成比例线段,其中𝑎=5𝑐𝑚,𝑏=3𝑐𝑚,𝑐=6𝑐𝑚,则线段𝑑= cm．

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参

1

(1)【答案】A

(2)【答案】相似比；相似比的平方；相似比的立方

2.【答案】:B

3.【答案】:C

4.【答案】:D

5.【答案】:由题意知，四边形𝐴𝐵𝐸𝐹是正方形．设𝐴𝐷=𝑥．∵𝐴𝐵=1, ∴𝐹𝐷=𝑥−1,𝐹𝐸=1.∵四边形𝐸𝐹𝐷𝐶与矩形𝐴𝐵𝐶𝐷相似, ∴𝐹𝐷=𝐴𝐵,即𝑥−1=1,

1−√5√5解得𝑥1=1+,𝑥2=(舍去), 22

√5经检验𝑥=1+是原方程的解且符合题意, 2√5∴𝐴𝐷=1+ 2

𝐸𝐹

𝐴𝐷

1

𝑥

【解析】:由题意知，四边形𝐴𝐵𝐸𝐹是正方形．设𝐴𝐷=𝑥．∵𝐴𝐵=1, ∴𝐹𝐷=𝑥−1,𝐹𝐸=1.∵四边形𝐸𝐹𝐷𝐶与矩形𝐴𝐵𝐶𝐷相似, ∴𝐹𝐷=𝐴𝐵,即𝑥−1=1,

1−√5√5解得𝑥1=1+,𝑥=(舍去), 222

√5经检验𝑥=1+是原方程的解且符合题意, 2√5∴𝐴𝐷=1+ 2

𝐸𝐹

𝐴𝐷

1

𝑥

7.【答案】:3500

8.【答案】:D

【解析】:正方形与矩形,虽然角度相等,但是边不一定成比例,故不一定相似,故𝐴项不正确．正方形与菱形,虽然对应边成比例,但对应角度不一定相等,故不一定相似,故𝐵项不正确．两个菱形,虽然对应边成比例,但对应角度不一定

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相等,故不一定相似,故𝐶项不正确．两个正五边形对应角度相等,对应边成比例,两个图形相似,故𝐷项正确．故选𝐷

9.【答案】:C

【解析】:根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠𝛼=360∘−60∘−138∘−

75∘=87∘.故选C

10.【答案】:B

11.【答案】:15

【解析】:∵△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐶𝐵， ∴𝐴𝐷𝐷𝐸𝐴𝐷2

𝐴𝐶=𝐵𝐶．又𝐴𝐶=3，𝐷𝐸=10， ∴𝐵𝐶=15

12.【答案】:2

【解析】:设留下的矩形的宽为𝑥cm． ∵留下的矩形与原矩形相似, ∴𝑥4

4=8,解得𝑥=2, ∴留下的矩形的宽为2cm 13

(1)【答案】∵六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹与六边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′相似,𝐵𝐶与𝐵′对应边,

∴𝐵𝐶1212

𝐵′𝐶′=5,即相似比为5．

(2)【答案】∵六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹与六边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′相似, ∴∠𝐴=∠𝐴′,∠𝐵=∠𝐵′． 又∵∠𝐴′=90∘,∠𝐵=150∘, ∴∠𝐴=90∘,∠𝐵′=150∘.

(3)【答案】∵六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹与六边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′相似, ∴𝐴𝐹𝐸𝐹𝐸𝐷𝐶𝐷𝐵𝐶

𝐴′𝐹′=𝐸′𝐹′=𝐸′𝐷′=𝐶′𝐷′=𝐵′𝐶′． 由𝐴𝐹𝐵𝐶

𝐴′𝐹′=𝐵′𝐶′,𝐴𝐹=4cm,

得4125

𝐴′𝐹′=5, ∴𝐴′𝐹′=3(cm)． 由𝐸𝐹𝐵𝐶

𝐸′𝐹′=𝐵′𝐶′,𝐸′𝐹′=4cm,

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𝐶′是人教版九年级下册27.1 图形的相似(188)

得

𝐸𝐹4

=

12

, ∴ 𝐸𝐹=5

𝐵𝐶

485

(cm)．

由𝐸′𝐷′=𝐵′𝐶′,𝐸𝐷=5cm,

得𝐸′𝐷′=5, ∴𝐸′𝐷′=12(cm)． 由𝐶′𝐷′=𝐵′𝐶′,𝐶′𝐷′=3cm, 得

𝐶𝐷3𝐶𝐷

𝐵𝐶

5

12

25

𝐸𝐷

=

12

, ∴𝐶𝐷=5

365

365

(cm)．

5

25

即𝐶𝐷=

cm,𝐸𝐹=

485

cm,𝐴′𝐹′=cm,𝐸′𝐷′=cm 312

14.【答案】:D

15.【答案】:B

16.【答案】:B

17.【答案】:5 【解析】:∵𝑎,𝑏,𝑐,𝑑是成比例线段,∴𝑏=𝑑,即3=𝑑,∴𝑑=

𝑎

𝑐

5

6

185

18

(cm)

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