二项式系数的性质教案

1、

认知目标：使学生通过观察杨辉三角的特点，找出二项式 系数

的排列规律，从而掌握二项式系数的性质； 2、

能力目标：通过与二项式系数有关问题的计算和证明，培养学生计

算能力和分析能力；

3、德育目标：通过对杨辉三角的介绍，培养学生的爱国主义情操。

重点：二项式系数的性质 难点：二项式系数性质的运用 教学方法：引导、观察、发现教学法 教学手段：多媒体教学 教学过程：

一、复习提问，导入新课 1、 2、

什么叫二项式定理？

二项式展开式的通项公式是什么？它表示的是第几项？

二、新课讲解：

1、 师生共同展开下列各式

(a+b) 1

0

(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 „„ „„

(a+b)n Cn0 Cn1 „ Cnr-1 Cnr „ Cnn-1 Cnn (a+b)n+1 Cn+10 Cn+11 Cn+12 „ Cn+1r „ Cn+1n Cn+1n+1

学生阅读，教师导读P179第十行～第十四行并提问： （1） 上面右表称为什么？ （2） 杨辉是我国什么时期的人？ （3） 杨辉的发现比欧洲要早多少年？

投影展示

（1）上面右边二项式系数表称为杨辉三角；

（2）杨辉是我国宋朝时的数学家，他于1261著《详解九章算法》，在其中详细列出了这样一张图表，并指出这个方法出于更早期的《释锁算术》；

（3） 欧洲一般都认为这是帕斯卡于15年发明的，所以称这个图形

为“帕斯卡三角”。 （4） 杨辉简介（见课件）。

2、 质

学生观察二项式系数，教师引导学生（课件演示）发现下 列性

（1）除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两个数之和，即 Cn+1r =

Cnr-1 + Cnr

（2）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，

由组合数的性质

Cnr=Cnn-r 亦可得出这上点；

(3)如果二项式的幂指数是偶数2n, 那么二项展开式有（2n+1）个奇数项，且中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数2n-1，那么二项展开式有2n个偶数项,且中间两项的二项式系数相等且最大.

3、性质应用举例

例1 求（1+x）8的展开式中二项式系数最大的项。

解：已知二项式幂指数是偶数8，展开式共有9项，依二项式系数性质，

中间项的二项式系数最大，所要求的项为T5=C84x4=70x4 例2 求证： Cn0+Cn1+„„+Cnm+„„+Cnm=2n 证明：运用（1+x）n的展开式

（1+x）n=Cn0+Cn1x+„„+Cnmxm+„„+Cnnxm 设x=1,则

2n=Cn0+Cn1+„„+Cnm+„„+Cnn

注：本例说明，如果集合S含有n个元素，那么这个集合共有2n个子集（包括空集）

例3 求证：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的

二项式系数之和。

证明：在展开式（a+b）n=Cn0+Cn1an-1+„„+Cnman-mbm+„„+Cnnbn中

令a=1,b=-1,那么得

（1-1） n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+„„+(-1)nCnn

整理后得：0=(Cn0+Cn2+„„)-（Cn1+Cn3+„„） 所以 Cn0+Cn2+„„=Cn1+Cn3+„„ 即所证命题成立。

三、学生练习，巩固新知

P180 练习 1、2、3、4、5 说明：注意第1题与第2题的区别

四、学生归纳，教师总结

1、

对于杨辉三角所揭示的二项式系数的三个性质，我们不仅要记

住它的结论，还要注意它的应用； 2、

例1求的是二项式系数最大的项，要注意区别二项式系数与项

的系数（如练习题的第1题与第2题）； 3、

例2是（1+x）n展开式的一种应用，实际上也可理解为求个元素的所有子集的个数。

五、布置作业

P180 习题10-3 8、9、10 六、备注：本课时附有自制课件。

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