第十五讲 最短路线问题

最短路线 在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问

题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

典型例题

例[1] 假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？

甲A 乙图1

B A 甲B 乙图2

分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公

路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最

近的点，但是乙村到C点就较远了。

反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路AB的D点又远了。 因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

解 用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？

1 2 4 2 1 3

分析 选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？一笔画

路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问

题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。

1 为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路

2 4 2 1 1 2 4 2 1 3

线。 1

图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为： （a） 3×4=12（千米） （b） 3×2＋2×2=10（千米） （c） 2×4=8（千米） （d） 3×2＋4×2=14（千米）

2 3

( a )

4 2 1 3

1 2 ( b )

4 2 1 3

( c )

图4

( d )

当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找出最合理的路线了。

解 邮递员应按图4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为： （1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4 =20＋18＋8 =46（千米）

例[3] 图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？

北

小明家

学校

分析 为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。

小明家

A B E

F F F

D E

我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到E处，就有先到A或先到D的两种走法，正好是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点，则有3条路线，又正好是两个对角上标的数1+2的和。

标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和，正好等于下右角上的数。

解 从小明家到学校有13条不同的路线。如图7所示。

M

1 D 北

小明家 A 1 2 E 2 B 1 3 F 5 N

C 1 4 G 9 K

学校 4 H 13 图7

小结 寻找最短路线，不应该走“回头路”。要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，既要做到不重复数，也不漏数。对比较复杂的图形，可以借助图表来寻找路线。