线性系统的频域分析总结

五．线性系统的频域分析法

5-1 频率特性

1． 频率特性的基本概念 理论依据

定理：设稳定线性定常系统G(s)的输入信号是正弦信号x(t)Xsint，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，表示为

c(t)Y()sin[t()]。

幅频特性：|G(j)|，输出信号与输入信号幅度的比值。描述幅度增益与频率的关系； 系；

相频特性：G(j)，输出信号的相角与输入信号相角的差值。描述相移角与频率的关频率特性：G(j)，幅频特性和相频特性的统称。

传递函数G(s)



频率特性G(j)1. 幅频特性 A(ω) G(jω)

|G(j)|。

G(j)相频特性 ψ(ω) G(jω) 指数表达式G(jω)= A(ω)ejφ(ω)

频率特性的物理意义是：

当一频率为ω的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比； 或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。 2.频率特性的几何表示法(图形表示方法)

图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。

a)

幅相频率特性曲线

幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、奈氏曲线等。横轴为实轴，纵轴为虚轴，当频率从零变到无穷大时，G(j)点在复平面上留下频率曲线。曲线上的箭头表示频率增大的方向；

极坐标形式：直角坐标：

实轴正方向为相角零度线，逆时针方向为角度的正角度，顺时针为负角

度。

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幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅值和相角的对应关系。

b)

对数频率特性曲线

对数频率特性曲线又称伯德(Bode)图。伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下对应的两幅图中；横轴为频率轴，单位是弧度，对数刻度；幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，20log|G(j)|，

单位是分贝db，均匀刻度；相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以用弧度)，均匀刻度。

对数幅频特性图

对数相频特性图

采用对数分度优越性：1把串联环节的幅值由相乘变为和的形式。 2。可以展宽低频率段，压缩高频率段。 对数幅相曲线

对数幅相曲线又称尼科尔斯图。将幅频特性和相频特性绘制在同一幅图中，纵轴为对数幅度增益轴，单位是分贝db，均匀刻度；横轴为相移轴，单位是度，均匀刻度。

5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线绘制

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反馈控制系统的开环传递函数通常易于分解成若干典型环节串联，了解典型环节的频率特性，有助于掌握系统的开环频率特性。

1

典型环节：

典型环节的频率特性及幅相曲线：K0，T0，01； 1.1 放大环节G(s)K和对应的非最小相位环节GF(s)K；

|G(j)||GF(j)|K，G(j)0，GF(j)180； 1.2 积分环节G(s)1/s和微分环节G(s)s；

|G(j)|1/，G(j)90；和|G(j)|，G(j)90； 1.3 惯性环节G(s)1/(Ts1)和对应的非最小相位环节GF(s)1/(Ts1)；

11G(j)，GF(j)；

1jT1jT|G(j)||GF(j)|(1T22)1/2，G(j)arctanT，

GF(j)180arctanT；

2

1.1 1.2 1.3

2.1 积分环节1/s；

1.4 1.5 比例环节K(K0)；

1 (反向环节)； 1/(Ts1) (T0)； 1/(T2s22Ts1) (T0,01)； Ts1 (T0)； T2s22Ts1 (T0,01)；

1.3惯性环节1/(Ts1) (T0)；

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221.4振荡环节1/(Ts2Ts1) (T0,01)

低频时的对数幅频曲线是一条0分贝的直线。

高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线。

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1.5一阶微分环节Ts1 (T0)；

低频时的对数幅频曲线是一条0分贝的直线。

高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为+20分贝/十倍频程的直线。

221.6二阶微分环节Ts2Ts1 (T0,01)；

同振荡环节 1.7微分环节s

非最小相位环节，环节的零点或极点在S平面的右半部。

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非最小相位环节的相角绝对值大于最小相位环节 最小相位环节和非最小相位环节的区别。

最小相位环节:在右半S平面既无极点，也无零点的环节。 非最小相位环节：在右半S平面有极点和零点的环节。 最小相位环节:只具有最小相位环节的系统。

非最小相位环节：至少有一个非最小相位环节的系统。

对于最小相位环节，其传递函数有单一的幅值曲线唯一确定。而非最小相位环节不是这样。

最小相位环节，其幅值特性和相角特性唯一对应。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的频率范围上给定，则，相角曲线被唯一确定。（这个结论对非最小相位系统不成立。）

绘制bode图的步骤：

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放大倍数K的求法：

奈氏稳定判据：

(1) 幅角原理(保角原理)

设F(s)是复变量S的单值有理函数， Γ是S平面上的一条不经过F(s)的极点和零点的闭合曲线。S平面上的点s沿曲线Γ顺时针运动一周，它(Γ曲线)在F(s)平面上的象轨迹是一条闭合曲线ΓF，曲线ΓF包围F(s)平面原点的圈数为

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RPZ，

式中 P是曲线Γ包围的F(s)极点个数；Z是曲线Γ包围的F(s)零点个数；R>0表示曲线ΓF逆时针包围原点R次，R<0表示曲线ΓF顺时针包围原点R次，R=0表示曲线ΓF不包围原点；

简要说明：S平面上的点s在F(s)平面上的象为F(s)，现主要关注相角变化情况，

F(s)(szj)(spi)。

在s沿曲线Γ顺时针运动一周，(sx)的值因x的位置不同而不同；若x被曲线Γ包围变化值为2，否则变化值为0。

j1i1mnF(s)(szk)(spl)。

则有F(s)2(PZ)，因逆时针一周为2，所以得RPZ。 (2) 复变函数F(s)的选取

已知开环传递函数G(s)的闭环系统的特征多项式为F(s)1G(s)，另一种形式为

k1l1ZP点也就是开环的极点未作限制，对闭环系统稳定性有影响。 F(S)具有以下特点：(1) F(s)的零点=闭环极点

(2) F(s)的极点=开环极点 (3) F(s)的零、极点数目相同 (4) F(s)和G(s)H(s)只差常数1

(3) S平面闭合曲线Γ的选取

A(s)B(s)，

A(s)要求闭环系统稳定，则闭环极点，即F(s)的零点必须都在S平面的左半部；F(s)的极

F(s)在S平面上选取的闭合曲线Γ为：包围整个S平面右半部的闭合曲线Γ；若在原点处有开环极点，闭合曲线以无穷小半径的右半圆弧绕过原点，对应的象是半径无穷大的圆弧，弧度为k，k为在原点处的极点个数； 若在虚轴上有共轭极点，同样以无穷小半径的右半圆弧绕过极点。

因为F(s)的零点都在S平面的左半部，所选取的闭合曲线Γ只包围F(s)在S平面右半部的极点，也就是在S平面右半部的P个开环极点。 (4) 绘制开环传递函数G(s)的闭合曲线ΓG

由于所选取的闭合曲线Γ在S平面上关于实轴对称，则闭合曲线ΓG在G(s)平面上也关于

实轴对称。通常，只需绘制:0的半条ΓG曲线。(即幅相曲线，Nyquist曲线。) (5) 闭合曲线ΓG包围原点的圈数计算

根据半闭合曲线ΓGH可获得ΓF包围原点的圈数R，设N为ΓGH 穿越（-1，j0）点左侧负实轴的次数，N+表示正穿越的次数和（从上向下穿越），N-表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则

R=2N=2(N+-N-)

奈氏判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是闭合曲线ΓGH不穿过（-1，j0）点，且逆时针包围临界点（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。即，R=P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部根个数：Z=P-R=P-2N

对数频率稳定判据： 设P为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是

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ψ(ωc)≠（2k+1）π，k=0，1，2，…和L（w）〉0时，Γψ曲线穿越（2k+1）π线的次数满足

N=N+-N-

Z=P-2N=0

稳定裕度：

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