实验力学(第二章)

第2章 结构相似性

在实验应力分析中常常需要使用模型，其主要原因是：

1、 有些实验应力分析方法必需采用模型，例如光弹性实验（除贴片法外）；

2、 某些新设计或正在设计的结构，实物（原型）尚未加工出来，如果加工模型比实物要容易，价格低廉，则可通过模型实验来比较设计方案及校核设计是否合理；

3、 对某些特殊结构不能在原型上进行测试，例如特别小的零件，必需在放大后的模型上进行测试。但是采用模型来代替原型时，必需方法正确，否则就得不到正确结果。

一般模型实验需解决下列二个问题：

1． 合理的选择模型的材料、尺寸、载荷以及实验方法；

2． 将模型测量所得的结果正确地进行处理，以解决实际问题

量纲分析和相似理论是研究模型与原型之间规律的基础理论，在模型实验时必需应用这些理论来解决上述问题，有关量纲分析与相似理论已有许多著作进行了详细介绍，因此本章不准备对这些理论进行详细的论述及严格的推导，仅准备介绍一些基本概念以及有关实验应力分析的模型设计和数据处理方法。

§2－1量纲分析的基本概念

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任何一个物理量都是用测量单位和以此单位度量该物理量所得的倍数来表示，例如一物体的长度为 5米，其中“米”即为长度测量的单位，“5”是此长度以“米”为单位度量时所得的倍数，可以写成：

L= 5「米］

测量单位与被度量的物理量必须是同一类型，例如长度只能用米、厘米……等来度量，而不能用分、秒……等时间单位来度量，但同一类型的测量单位大小可以不同，例如米为厘米的100倍，因此用厘米来代替米时，度量同一长度时所得的倍数为米度量所得之数的100倍，即：

L= 5「米］=5[100厘米]=500[厘米]

因此，同一类型的测量单位可以互相转换，为了有一个共同的比较标准，各个国家以及国际上对测量单位建立了各种度量标准，这些标准已为大家所熟悉，这里不再重复。

从上所述，可知测量单位有两种意义：一是表示被度量物理量的类型；另一是表示度量单位的大小。为了便于分析，我们把度量物理量的类型称为该物理量的量纲，同一类型的量具有相同的量纲，例如4米、5厘米……等虽然它们的大小不同，但是均表示长度，属于同一种类型的量，因此它们的量纲相同。我们常用下列符号来表示各种不同的量纲，长度的量纲为[L]，力的量纲为[F]，时间的量纳为「T］，质量的量纲为［M」。

在实际现象中，物理量之间的关系是遵循一定的自然规律，在数学上可用方程式来表示，因此各量纲之间有一定关系，如选定一组彼此的量纲作为基本单位，则其它量纲的单位可由基

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本单位导出。例如根据牛顿第二定律，作用力F、质量m和加速度a有下列关系：

F＝ ma

若选定质量m、时间T和长度L为基本单位，则力F的单位可由上式导出：

F=[ML/T2]

由基本单位导出的量纲单位称为导出单位。基本单位不是固定不变的，任何一组彼此并可以导出其它单位的单位都可以作为基本单位。在力学系统中常采用下列二组单位作为基本单位，

一组以长度、质量和时间的单位作为基本单位，称CGS制，其量纲单位分别以[L]，[M]和[T]表示；

另一组以长度、力和时间的单位作为基本单位，称为K、M、S制，其量纲单位分别以[L]、[F]和[T]表示。其它力学量的量纲单位可由基本方程导出，如表2—1所列：

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由表2-1可以看出，采用不同基本单位时，导出单位的量纲表达式不同，但量纲本身性质并未改变。在实验应力分析中一般采用三个基本单位，就能导出表中所列的其它单位，对于静力系统，因与时间无关，故只有二个基本单位，但在热应力研宪中需增加温度基本单位。因此基本单位的数量要根据问题性质而定。

量纲表示了各种物理量的类型，因此表示物理量之间关系的方程式，其各项的量纲必须相同，否则便会出现如长度与时间相加……等错误结论，所以方程式必须是量纲的齐次方程。我们可以利用这个概念，在一个物理现象中，如果知道影响该现象的有那些物理量，便可导出该现象中一些物理量之间的关系式。例如有一质量为m的物体，在半径r处以线速度V作匀速圆周运动，求该物体的离心力F。设F为以m、r、V为底数幂的乘积，即：

xyz FmrV

上式x,y,z为未知量，根据表2－1（CGS制）可得：

21[F][MLT][V][LT]，[r][L]，[M][M] ，

则前式可写成：

2xy1z[MLT][(M)(L)(LT)]

可改写成：

2xyzz [MLT][MLT]

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根据方程中各项量纲必需相同（齐次），则必须使，

x=1，y+z=1，-z=-2

解得

x=1，y=-1，z=2

代入（3—1）式得：

m2Vr

Fmr1V2上式即是匀速圆周运动物体离心力的公式。从上例中可看出，参与匀速圆周运动离心力公式的物理量有四个，而可选取的基本单位有三个，可得三个方程式，x，y，z三个未知量可解。因此，如可选取的基本单位为n个，参与现象的全部物理量为n+1个，则未知量可解。若参与现象的全部物理量多于n＋1个，则未知数用上面方法不能解出，这个问题将在本章第四节中讨论。

§2－2相似理论

在模型实验时，我们要求模型能替代实物（原型），并且从模型实验测得的数值可按一定比例换算为实际问题所需的相应数值，这就必须使模型实验与实际问题具有相同的物理量，并且用同一关系方程来表示，其相对应的同类量成常数比。因此，模型实验中的每一个同类量按一定常数比进行转变，转变后仍保持原有的关系方程，这样就可获得实际问题所需的数值。

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自然界有许多相似系统，最简单的是几何相似。如果模型所有尺寸按照原型相对应尺寸用同一个比例常数确定出来，则此模型与原型为几何相似，例如两三角形的各相应边按同一比例增大或缩小，则此两三角形相似。角度是两个线性尺寸的比率，因此两几何图形对应边具有相同比例时，其角度相等。在我们经常遇到的物理现象中，往往包含许多因素，如几何尺寸、力、速度、边界条件……等，要使两个现象相似，除了几何相似外，还要使参与该现象中的所有物理量都相似，并且保持原有的关系方程，因此各物理量彼此有关，并互相制约，保持一定的关系。

相似理论就是用来解决上述诸问题，判别两个相似现象的必要和充分条件，以及两个相似现象所需遵循的法则。

下面介绍相似理论的三个基本定理。

一、相似第一定理

相似第一定理主要是阐明两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似系数，不同类物理量的相似系数可以不同，但是由于相似现象具有相同的关系方程，因此相似系数之间存在一定的关系，现举例说明之。

设有两个彼此相似的现象，可用同一个方程式来表示，如牛顿第二定律的数学表达式，即作用力F等于质量M与加速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：

Fma (2-2)

对于第一个现象

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''' Fma (2-3)

对于第二个现象

'''''' Fma (2-4)

若此两现象各物理量之间存在下列关系：

'''''''''mCmaCaFCFmaF (2-5)

其中CF,Cm,Ca为常数，分别为力、质量和加速度的相似系数，将上面关系式代入（2－4）式，得：

CFF'CmCam'a'

'上式表明，若两现象转变时不破坏原有方程式，则必须使CFCmCa，如a增大2倍(即Ca2)，

'

m'增大 3倍（即Cm3），则F必需增大 2 x 3= 6倍（即CFCmCa），令：

CiCF/CmCa 2-6

若此两现象相似，必须使：

CiCF/CmCa1 2-7

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因此相似系数之间存在着一定的关系，上式表明其中两个相似系数任意选定后，第三个相似系数必须由上式决定，因此上式是判别现象相似的条件，称为相似“指标”。由此，相似第一定理可用文字表达如下：

对于彼此相似的现象其相似指标为1

将（2-5）诸关系式代入（2－7）式，可写成另一种形式，即：

F/m''a''F'/m'a''' 2-8

上式表示彼此相似现象中的各物理量之间有一定关系，如去掉上式的上标则可写成一般形式，令

KF/ma 2-9

上式称为相似判据。从（2-8）式中可以看出，对所有相似的现象，其相似判据是相同的，它是一个不变量，可用Kidem（idem即同一个数值意思），因此我们可以利用相似判据，来确定两个相似现象中的物理量之间的关系。

相似第一定理可用文字归纳如下：

对于彼此相似的现象，其相似指标为1或其相似判据为一不变量。

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应该注意相似系数与相似判据的不同之处，相似系数在两个相似现象中是常数，但对第三个与此两个现象互相相似现象中，具有不同数值，而相似判据则在所有互相相似的现象中是一个不变量。

二、相似第二定理

如前所述，描写物理现象的方程式必须是量纲的齐次方程，因此我们用与方程各项相同量纲去除以方程的各项，则该方程式可变为无量纲综合数群的方程形式。相似第二定理指出互相相似的现象中，其相似判据可不必利用相似指标来导出，只要将方程转变为无量纲方程形式，无量纲方程各项即为相似判据。因表示现象备物理量之间的关系方程式，均可转变为无量纲方程形式，因此都可以写出相似判据方程式。现举例说明之：

设有一等截面直杆，两端受有一对偏心的轴向力P，其偏心距为L，则此杆件外侧面的应力

，可由下式表示。

PLPWF

其中W为抗弯截面模数，F为杆件截面的面积。

因上式各项的量纲相同，如以其中一项除以方程各项，即可得无量纲方程形式。现以除上式各项得：

PLPWF

1 25

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PLP上式各项均无量纲，其中W和F即为相似判据，证明如下：

如对此杆件有两相似现象，其各物理量之间关系如下

''''''''C'W''CWW'F''CFF'PCPLCLPL ， ，，， （2-12）

其中CP,CL,C,CW,CFO。、OL、Oc、O。、O。为各同类量的相似系数。

对第一现象

P'L'P'1''''WF

对第二现象

P''L''P''1''''''''WF

将（2-12）诸关系式代人（2-14）式得

CPCLP'L'CPP'1''''CCCCWF WF

由上式可见，如使此两现象相似，必须使

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C1CPCL1,CCWC2CP1CCF （2-16）

上两式可作为相似条件，和相似第一定理一样可表达为彼此相似的现象其相似指标为1。

把（3－12）诸关系式代人上式，得相似判据：

P''L''P'L'P''P''''''''''''W FF （2-17） W上两式去掉上标写成一般形式

PLPK2W F

K1上式表明无量纲方程的各项就是相似判据，彼此相似现象的判据为不变量。

相似第二定律用文字可表达如下：

表示一现象各物理量之间的关系方程式，都可转换成无量纲方程，无量纲方程的各项即是相似判据。因此表示一现象各物理量之间的关系方程式，都可写成相似判据方程：

相似第二定律亦可称为定理，定理的一般形式将在后面讨论。

三、相似第三定理

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相似第一、第二定理明确了相似现象的性质，它们是在假定现象相似为已知的基础上导出的，但是没有绘出相似现象的充分条件。相似第三定理指出，在物理方程相同的情况下，如两个现象的单位条件相似，亦即从单值条件下引出的相似判据若与现象本身的相似判据相同，则这两个现象一定相似。

所谓单值条件，是指一个现象区别于一群现象的那些条件。属于单位条件的因素有：系统的几何特性，对所研究的对象有重大影响的介质特性，系统的初始条件和边界条件等。

（一）几何相似：在几何相似系统中，任何相应点（i点）的坐标应满足

xpi xMiCL （P 实物，M模型）

（二）时间相似：在随时间变化的过程中，每一时刻都对应着一批确定的物理量。由于其总是在相同的时间基础上进行的，因此必须保持不变的时间比例关系

tpi tMiCt

（三）物理参数的相似：对于弹性结构有影响的物理参数，有弹性模量E、泊松比密度等，在模拟时，应满足下列比例关系

Ep EMCEppCC M M

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（四）初始条件的相似：物理现象一方面取决于该现象的本质，另一方面也取决于它的初始条件，因此模拟时必须满足初始条件的相似，而且其相似比例尺应与过程中的比例尺相一致。

（五）边界条件的相似：在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，显然还要满足边界条件相似，例如四周固支的板与四周简文的板，其处理方法是不同的。

在物理方程相同的条件下，单值条件决定所研究过程中各物理量的大小。这时，单值条件相似就成为相似的充分条件。

应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分方程同样适用，例如微分符号dx，我们可以看成x2x1，因此dx与x具有同样的物理意义，在确定相似系数与相似判据时可不考虑微积分符号。

§ 2－3用方程式分析结构相似

对于物理量之间的关系方程式已经知道的问题，应用相似理论可以很容易求得模型与原型的相应物理量之间的关系式，从而从模型测得实验结果，再换算成原型的相应数值。

'q例如如图2－l所示一个受单位长度均布载荷 的简支梁，其挠度y, 弯矩M和应力。（梁的

上、下表面弯曲应力）的方程式如下：

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yq'x24EI(L32Lx2x3) Mq'x2(Lx) q' x2W(Lx)

式中 E——梁的弹性模量；

I——截面惯性矩；

W——抗弯截面模数。

如设模型M与原型P诸物理量有下列关系式。

yMCyyp

MMCMMp MCp

q'MCq'qp xMCxxp EMC4EEp

IMCLLp

W3MCLWp

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LMCLLp

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上面诸关系式中，下标M为模型，下标P为原型。若模型与原型相似，根据相似第一定理，相似指标等于 1，从方程（2－19）中可得：

C1Cq;CECy1,

C2Cq;CLCM21,

C3Cq;CLC1

相应的相似判据方程：

'2'q'qLqK1K2K3EyM L

因相似判据在模型与原型中有相同数值，因此根据上面三个相似判据方程式，可得模型与原型诸物理量之间关系式：

q'EMyp'yMEqMpq'LPMp'M2qMLM;

2从上式可知，若要使模型中应力与原型中应力相等，则模型实验时要使

LMq'Lpq'M， 即 CqCLq，

Epq''q若要使模型与原型的挠度相等，则从上式的第一式中可以看出，必须使MEM.

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q''EpqEM因 , 是模型与原型材料的弹性模量，不能任意选择，所以必需选择M比值，使其Ep等于EM

在结构计算中，经常会遇到微分方程式，利用边界条件来求解时十分困难，而我们应用相似理论可以很容易建立判据方程，利用判据方程可得模型与原型之间诸物理量之间关系，用模型测得结果换算成实际需要数值，所以用方程式来分析结构的相似条件，在这类问题中更有实际价值，在本章第五节中将给出例子。

§ 3－4用量纲分析法分析结构相似（定理）

若一个问题中诸物理量之间的关系方程式未知，而只知道参与该问题现象有那些物理量，此时要采用量纲分析的方法，来求模型与原型物理量之间的关系式。

下面我们先介绍量纲分析中的定理。假定一现象中有n个物理量，则其关系方程式可表示如下：

f(x1,x2,,xn)0 (2-23)

此方程可用级致形式表示：

Nx aii1,x2i,,xni)0bk (2-24)

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式中N为无量纲数。因为方程式必须是量纲的齐次方程，因此以其中任一项

NSx1S,x2S,,xnS(s项）除各项得无量纲方程式：

abk

1NiaiaSbbkkx1,x2iS,,xniS0NS

NiNS令AiaiaS BibibS, KikikS ,

1Tix1x2ixniBTi 则上式可写成

Bii0 (2-25)

如果上式中有m个互相的物理量可作为基本单位，为方便起见设x1,x2,,xm。为基本单位，xm1,xm2,,xn 导出单位，因此我们可建立n-m个无量纲数群，称为项：

1xm1x1a1x21xn1

xm2x1a2x22xm1

BB2

nmxnx1anmx2Bnmxm1m

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以上诸式分子和分母的量纲相同，因此均为无量纲项，代入（2－26）式得：

nmKi1Gi2Hi1Tix1ix2ixmi(x1a1x11x1)(1)Gi(x1a2x12x1)(2)Hi(x1anmx1nmx1)(nm)Ki0ABF

因x1,x2,,xm为基本单位，彼此无合并可能，上式又是无量纲方程，因此x1,x2,,xm的指数总和为零，如：

x1所以上式可写成

Aia1Gia2HianmKix011

HiKi1Ti1Gi2nm0 (2-30)

或

f1(1,2,nm)0 由此定理可表达如下：

所有的量纲齐次方程均可化作无量纲综合数群之和的形式，无量纲数群项的数目为nm个，其中n为方程中不同物理量的数目。m表示彼此可作基本单位的物理量数目。

根据相似第二定理，无量纲方程的各项为相似判据，因此项可作为相似判据，nm个项可建立nm个相似判据方程。

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现在我们应用定理来解上节所提到的受均布载荷简支梁的例题，经分析可知梁中应力与载荷、弯矩以及梁的尺寸有关，和弹性模量无关，因此表示应力的方程为；

'f(q,M,L) (2-32)

共有四个物理量，它们的量纲分别为：

2'1:[FL]q:[FL]; M:[FL]; L:[L] ;

上诸式表明，此四个物理量只能有两个基本单位，因此有4－2=2个项，任选两个例如 M和 L作基本单位，则项可如下写出：

1MaLbFL2F1aFaLaLbLab2 (2-33)

q'2cdML FL1F1ccb1ccdFLLL (2-33)

1和2为无量纲项，因此要满足此条件，必须使：

1a0

ab20

1c0

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cd10

解上列诸式得a1 b3 c1 d2，则

1L3Mq'L22M (2-34)

项即为相似判据，因此从上两式可得到模型与原型物理之间的关系式：

pLp3 从上两式中可得：

MpMLM3MM

q'pLMp'MqMLp3 (2-35)

Mpq'pLp3q'ML2MM (2-36)

此两式即为上节用方程式分析所得结果。

同时经分析梁的挠度可用下列方程式表示：

'yf(q,M,L,E) (2-37)

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上方程中有两个基本单位，5个物理量，因此可有三个项，选M和L为基本单位

则：

LL1ab3ab~aabMLFLLFa

yEFL2F1c4cd~ceacd2MLFLLL (2-38)

q'FL1F1e5cf~eefef1MLFLLL

5和2项相同，用上面相同方法解得：

EL3q'L2y453M M (2-39) L

从上三式中可得

q'pyEMyp'yMqMEp (2-40)

此即上节用方程式分析所得的有关挠度的关系式。因此采用量纲分析的方法，可在不知方程式的情况下，求得模型与实物的诸物理量之间的关系式，但必需正确选择有关物理量。

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§2－5弹性结构中的相似性

一个各向同性的弹性结构，在微小变形时，可以应用弹性力学的15个基本方程和三个边界条件（在动力问题中还有六个起始条件），可解出全部的应力和变形。但是对某些问题(如复杂的空间问题等）采用数学方法对方程求解往往是很困难的，如果我们利用这些方程和边界条件建立相似判据方程，把模型上测量所得的结果，可以方便的换算成实物（原型）所需数值。

下面根据弹性力学基本方程及边界条件来求弹性结构的相似判据方程，设弹性结构中诸物理量的相似系数为：

LpLM

CLppCM M

ppMM ------- 应变相似系数；

C

CupuMvpvMwpwM ---------- 位移相似系数；

CpM --------------- 柏松比相似系数；

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CEEpEM ------------- 弹性模量相似系数

CffpfM ------------ 体积力相似系数；

CqqpqM -------------- 分布载荷相似系数。

一、由平衡微分方程求相似判据

平衡微分方程如下所列，对于原型有：

xpxypypzxpzp xpfxp0

xyp xpzxpypypyzpzpfyp0 (2-41)

xpzypypzpzpfzp0

上三式中求得相似判据均相同，因此可用其中任一式来求相似判据。同时微分符号不改变物理意义，因此可以不考虑微分符号，将有关相似系数代入第一式，得：

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CxMxyMzM()CffxM0yMzM CLxM (2-42)

其相似指标为：



C1CC1LCf 则相应的相似判据为；



K1Lf = idem 原型和模型的应力换算关系为：

Lpfp

pMLMfM 上式即为由平衡微分方程得到的应力换算公式。

若不考虑体积力的作用，则（2-42）式变为：

C C(xMxyMLxMyzM)0MzM 40

(2-46)

(2-44)

(2-45)

(2-43)

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C上式表示CL=任意常数都能符合相似条件，因此不考虑体积力的平衡微分方程，对C。和CL无制约关系，只要其它条件相似，模型中的应力与原型中应力保持相似。

二、由位移方程求得相似判据

位移方程如下所列，对于原型有：

upxpvpypwpzp

upypxp,

yp,

zp

wpxpupzp

xypvpxp,

yzpvpzpwpyp,

zxp (2-47)

上六式求得相似判据均相同，可取任一式进行换算，由第一式可得相似指标（与上面相同方法）：

CCl1C (2-48)

C2相似判据：

L

K2idem (2-49)

模型与原型的换算关系：

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pMpLMMLp (2-50)

三、由应力和应变关系来得相似判据

应力和应变关系如下，对于原型有：

1[xpp(ypzp)]Ep

xp

yp1[ypp(xpzp)]Ep

zp1[zpp(xpzp)]Ep (2-51)

xyp1xypGp

yzp1zypGp

zxp1zxpGp

上六式所得相似判据一样，将有关相似系数代人上任一式，可得相似指标：

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C3CCE1C

C4CCE1CC (2-52)

要同时满足上二式，必需使

C1，即

pM，因此在模型试验中要使模型与原型相似，模

型材料的泊松比必须与原型材料的泊松比相同，否则将带来误差。

pM假设

C1(即),则相似判据：

Eidem (2-53)

K3,4模型与原型的换算关系：

EppEMM (2-)

pM四、由边界条件求得相似判据

边界条件如下所列，对于原型有：

qxpxplxypmzxpn

(2-55)

qypyxplypmyzpn

qzpzxplzypmzpn

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相似判据

C5CqC1

K5qidem

pmqpqm

上面q 为单位面积上的载荷，如果是集中力，需要变化

Pp PM梁上的分布载荷，

qpL2pqmL2M

qpL2pq'p'2qqLMmM

如果模型与原型相似，则各物理量满足K1~K5诸相似判据。整理可得弹性结构相似的条件下的各量关系：不考虑体力时

qpqm

pm 44

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pMEppEMM pLMMLpqpEMLMpMqMEpLp

pM ---〉

说明：

pm1、 如果要模型与原型相似，泊松比应该相等对不同的问题不同。

，如果不相等，则将有误差，其误差

2、 前面是针对力边界条件条件而得，对于位移边界条件

pLpp mLMm

pEpLp*p*ELmmMM p*pLMM*MLp

p*p*M

M**p,M其中，分别为原型与模型在边界上的位移

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