带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析

一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析

1.运动特点

带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场，其轨迹是一段圆弧． 2．圆心的确定

(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心． (2)常用的两种方法

①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－5所示，图中P为入射点，M为出射点)．

图8－2－5 图8－2－6

②已知入射点、入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－6所示，P为入射点，M为出射点)．

(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动

①直线边界(进出磁场具有对称性，如图8－2－7)

②平行边界(存在临界条件，如图8－2－8)

图8－2－7 图8－2－8

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③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图8－2－9)

图8－2－9

3．半径的确定

(1)做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图．

(2)运用几何知识(勾股定理、正余弦定理、三角函数)通过数学方法求出半径的大小． 4．运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示： ααt＝T(或t＝T)． 360°2π

例：扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆．其简化模型如图8－2－10所示：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直于纸面．一质量为m、电量为－q、重力不计的粒子，从靠行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角θ＝30°.

(1)当Ⅰ区宽度L1＝L、磁感应强度大小B1＝B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t；

(2)若Ⅱ区宽度L2＝L1＝L、磁感应强度大小B2＝B1＝B0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h；

(3)若L2＝L1＝L、B1＝B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件．

图8－2－10

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【解析】 (1)如图甲所示，设粒子射入磁场Ⅰ区的速度为v，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R1，由动能定理和牛顿第二定律得

图甲

1

qU＝mv2①

2v2

qvB1＝m②

R1

B1＝B0

由几何知识得 L＝2R1 sin θ③

联立①②③式，代入数据得 1B0＝

L

2mU④ q

设粒子在磁场Ⅰ区中做圆周运动的周期为T，运动的时间为t 2πR1T＝⑤

v2θt＝T⑥ 360°

联立②④⑤⑥式，代入数据得 πLt＝

3

m.⑦ 2qU

(2)设粒子在磁场Ⅱ区做圆周运动的半径为R2，由牛顿第二定律得 v2

qvB2＝m⑧

R2

由几何知识可得

h＝(R1＋R2)(1－cos θ)＋Ltan θ⑨ 联立②③⑧⑨式，代入数据得 2

h＝(2－3)L.⑩

3

(3)如图乙所示，为使粒子能再次回到Ⅰ区，应满足R2(1＋sin θ) - 3 -

图乙

联立①⑧⑪式，代入数据得 3B2>L

mU3(或B2≥2qL

mU)．⑫ 2q2mUπL

q3

m 2qU

1

【答案】 (1)

L2

2－3L (2)33(3)B2> L

mU3

或B2≥ 2qLmU 2q

●拓展

带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度l＝10 cm，如图8－2－11所示． (1)求带电粒子离开磁场时的速度和偏转角；

(2)求带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离．

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【解析】 粒子所受的洛伦兹力F＝qvB＝8.7×1014 N，远大于粒子所受的重力G＝1.7×1026

N，因此重力可忽略不计．

(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s.

－

－

v2

由qvB＝m得轨道半径

r

1027×3.2×106mv1.7×

r＝＝ m＝0.2 m －qB1.6×1019×0.17

－

由图可知偏转角θ满足 l0.1

sin θ＝＝＝0.5，故θ＝30°.

r0.2

2πm

(2)带电粒子在磁场中运动的周期T＝，

qB

30°1

可见带电粒子在磁场中运动的时间t＝()T＝ T

360°123.14×1.7×1027πm－

t＝＝ s＝3.3×108 s －196qB6×1.6×10×0.17

－

离开磁场时偏离入射方向的距离 d＝r(1－cos θ)＝0.2×(1－

3－

) m＝2.7×102 m. 2

－

－

【答案】 (1)3.2×106 m/s 30° (2)3.3×108 s 2.7×102 m

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