4.3带电粒子在磁场中运动之圆形磁场边界问题

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考点 圆形磁场边界问题

考点 “粒子沿径向射入圆形磁场”边界问题

特点：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。对称性：入射点与出射点关于磁场圆圆心与轨迹圆圆心连线对称，两心连线将轨迹弧平分、弦平分，圆心角平分。

1. 如图所示，一半径为R的圆内有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，CD是该圆一

直径．一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，自A点沿指向O点方向垂直射R

入磁场中，恰好从D点飞出磁场，A点到CD的距离为2，根据以上内容( C )

A. 可判别圆内的匀强磁场的方向垂直纸面向里 B. 不可求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径

C. 可求得粒子在磁场中的运动时间 D. 不可求得粒子进入磁场时的速度

2. 如图所示，为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速度为v

的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则( A )

A. 带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1 B. 带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1 C. 带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为2∶1 D. 带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为1∶2

3. 如图所示，半径为R的绝缘筒中为匀强磁场区域，磁感应强度为B、磁感线垂直纸面向

里一个质量为m、电荷量为q的正离子，以速度v从圆筒上C孔处沿直径方向射入筒内，如果离子与圆筒碰撞三次(碰撞时不损失能量，且时间不计)，又从C孔飞出，则离子在磁场中运动的时间为 ( AC )

A．2πR/v

B．πR/v

C．2πm/qB

D．πm/qB

4. 如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m，电

荷量为q的正电荷(重力忽略不计)以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为( B )

5. 如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都相同的带电

粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动时间越长的带电粒子( )

A． 速率一定越小 B． 速率一定越大

C． 在磁场中通过的路程越长 D． 在磁场中的周期一定越大

6. 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直

于纸面向里的匀强磁场，如图11所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交

点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出.

q

(1) 请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷m；

(2) 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少 v3

【答案】 (1)负电荷 Br (2)3B

3πr3v

7. 如右图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等

2

大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0．10 T，磁场区域半径r＝33 m，左侧区圆心为O1，磁场向里，右侧区圆心为O2，磁场向外．两区域切点为C．今有质量m＝3．2×10

－26

kg．带电荷量q＝1．6×10

－19

C的某种离子，从左侧区边缘的A点以速度v＝106 m/s

正对O1的方向垂直磁场射入，它将穿越C点后再从右侧区穿出．求： (1) 该离子通过两磁场区域所用的时间．

(2) 离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大（侧移距离指垂直

初速度方向上移动的距离） 【答案】（1）×106 s （2）2 m．

－

8. 如图所示，有一对平行金属板，两板相距为．电压为10V；两板之间有匀强磁场，磁感

应强度大小为B0=，方向与金属板面平行并垂直于纸面向里．图中右边有一半径R为、圆心为O的圆形区域内也存在匀强磁场，磁感应强度大小为B?3T，方向垂直于纸3面向里．一正离子沿平行于金属板面，从A点垂直于磁场的方向射入平行金属板之间，沿直线射出平行金属板之间的区域，并沿直径CD方向射入圆形磁场区域，最后从圆形区域边界上的F点射出．已知速度的偏向角?=(1) 离子速度v的大小； (2) 离子的比荷q/m；

(3) 离子在圆形磁场区域中运动时间t．

?3 ，不计离子重力．求：

9. 如图所示，在两个水平平行金属极板间存在着向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强

磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为E=2×106N/C和B1=，极板的长度l=3m，3间距足够大．在板的右侧还存在着另一圆形区域的匀强磁场，磁场的方向为垂直于纸面向外，圆形区域的圆心O位于平行金属极板的中线上，圆形区域的半径R=3m．有一3带正电的粒子以某速度沿极板的中线水平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场区域后速度方向偏转了60°，不计粒子的重力，粒子的比荷

q=2×108C/kg．求： m(1) 粒子的初速度v；

(2) 圆形区域磁场的磁感应强度B2的大小；

(3) 在其它条件都不变的情况下，将极板间的磁场Bl撤去，为使粒子飞出极板后不能

进入圆形区域的磁场，求圆形区域的圆心O离极板右边缘的水平距离d应满足的条件．

【答案】（1）v=2×107m/s， （2）B2= （3）d

考点 “粒子不沿半径方向射入圆形磁场”边界问题

特点：入射点与出射点关于磁场圆圆心与轨迹圆圆心连线对称，两心连线将轨迹弧平分、弦平分，圆心角平分。

【例题】如图所示是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径为R的绝缘圆柱形筒内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向平行于轴线向外．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔M、N，现有一束速率不同、比荷均为k的正、负离子，从M孔以α角入射，一些具有特定速度的离子未与筒壁碰撞而直接从N孔射出(不考虑离子间的作用力和重力)．则从N孔射出的离子( )

kBR

A． 是正离子，速率为cosα kBR

B． 是正离子，速率为sinα kBR

C． 是负离子，速率为sinα kBR

D． 是负离子，速率为cosα

【解析】 带负电的粒子向上偏转，必与筒壁碰撞，若带正电，根据左手定则，离子向下偏，才有可能未与筒壁碰撞而直接从N孔射出，从N孔射出的运动轨迹如图所示，MO′与入射速度垂直，OO′为MN的垂直平分线，MO′与OO′的交点为圆周运动Rv2

的圆心O′，由几何关系，可知r＝sinα，由qBv＝mr，可得vkBR

＝sinα，B项正确，其他选项错误． 【答案】B

10. 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径．一带正

电的粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t.若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)( D )

A．3t t t D．2t

11. 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一不计重力

的带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v，当速度方向与ab成30°角时，粒子从b点射出，在磁场中运动时间为t；若相同的带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为（ A ）

A．

3v 2

B．1v

2 D．3v

6C．2v

312. (2016·全国卷Ⅱ，18)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴

平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( A )

13. （多选）如图所示，在半径为R的圆形区域内有一磁感应强度方向垂直于纸面向里的

匀强磁场，一质量为m且带正电的粒子(重力不计)以初速度v0从圆形边界上的A点正对圆心射入该磁场区域，若该带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为3R，则下列说法中正确的是( AC )

A． 该带电粒子在磁场中将向右偏转

B． 若增大磁场的磁感应强度，则该带电粒子在磁场中运动的轨迹半径将变大 3

C． 该带电粒子在磁场中的偏转距离为2R 3πR

D． 该带电粒子在磁场中运动的时间为v

0

14. 如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，

方向垂直于纸面向外．一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射R

入磁场区域，射入点与ab的距离为2，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)( B )

15. 离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图(a)，截面

半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出．Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线R/2处的C点持续射出一定速度范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图(b)所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0<α<90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速度为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e.(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)．

(1) 求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；

(2) 为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图(b)说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；

(3) α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围； (4) 要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vM与α的关系．

2MvMv23BeR3BeRM

【答案】(1)2e 2L (2)磁场垂直纸面向外 (3)0≤v<4m (4)vmax＝ 4m2－sinα

考点 “磁聚焦”与“磁发散”

1．带电粒子的汇聚

如图所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即R＝r，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．

平行四边形OAO′B为菱形，可得BO′为轨迹圆的半径，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．

2．带电粒子的发散

如图所示，有界圆形磁场磁感应强度为B，圆心O，从P点有大量质量为m，电量为q正离子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正离子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有的运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，即出射速度方向相同．

【例题】如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向． (2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由．

(3)若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里并说明理由． 【解析】 (1)带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力mg

平衡．设电场强度大小为E，由mg＝qE，可得E＝q，方向沿y轴正方向．带电微粒mv2

进入磁场后，将做圆周运动．且r＝R，如图所示，设磁感应强度大小为B.由qvB＝R，mv

得B＝qR，方向垂直于纸面向外．

(2)这束带电微粒都通过坐标原点．

方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，

其圆心位于其正下方的Q点，如图所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点．

方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动．如图所示，P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为(－Rsinθ，Rcosθ)，圆周运动轨迹方程为

(x＋Rsinθ)2＋(y－Rcosθ)2＝R2，得x＝0，y＝0；或x＝－Rsinθ，y＝R(1＋cosθ)． (3)这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0.

带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图所示．靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x>0.

mgmv

【答案】 (1)E＝q 方向沿y轴正方向，qR 方向垂直于纸面向外 (2)见解析

(3)与x轴相交的区域范围是x>0

mv0

16. 如图所示，在半径为R＝Bq的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为

B，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P有一速度为v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计． (1) 若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；

(2) 若粒子对准圆心射入，且速率为3v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量； (3) 若粒子以速度v0从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上． πm3

【答案】 (1)2Bq (2)2v0

17. 如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内

分布有垂直纸面向里的匀强磁场。在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且速度方向沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力。 (1) 求磁感应强度B的大小；

(2) 求粒子从O点进入磁场到最终离开磁场所通过的路程。

(3) 若粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且与x轴正方向的夹角θ=300射入第一象限，

求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t。

【答案】（2）

(2???3)a2mv?

vqE

18. 在如图的xOy坐标系中．A（﹣L，0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0，L）．在

1

第二象限内以D（﹣L，L）为圆心、L为半径的4圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场．现有大量质量为m、电荷量为+q的相同粒子，从A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从P点进入电场，经电场后恰好通过C点．已知a=30°，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：

(1) 电场强度的大小；

(2) x正半轴上有粒子穿越的区间．

2qB2L53【答案】（1） （2）3L?xc?L

43m

19. 如图所示，在xOy平面的第Ⅱ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E。第

Ⅰ和第Ⅳ象限内有一个半径为R的圆，其圆心坐标为（R，0），圆内存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场，一带正电的粒子（重力不计）以速度v0从第Ⅱ象限的P点平行于x轴进入电场后，恰好从坐标原点O进入磁场，速度方向与x轴成60°角，最后从Q点平行于y轴射出磁场。P点所在处的横坐标x＝-2R。求： （1） 带电粒子的比荷； （2） 磁场的磁感应强度大小；

（3） 粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间。

26R??R3v043E【答案】（1） （2） （3）

3v03v02ER

20. 如图所示，在直角坐标系xOy平面的第Ⅱ象限内有半径为R的圆O1分别与x轴、y轴

相切于P（﹣R，0）、Q（0，R） 两点，圆O1内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．与y轴负方向平行的匀强电场左边界与y轴重合，右边界交x轴于M点，一带正电的粒子A（重力不计）电荷量为q、质量为m，以某一速率垂直于x轴从P点射入磁场，经磁场偏转恰好从Q点进入电场，最后从M点以与x轴正向夹角为45°的方向射出电场．求： （1） OM之间的距离； （2） 该匀强电场的电场强度E；

（3） 若另有一个与A的质量和电荷量相同、速率也相同的粒子A′，从P点沿与x轴负方向成30°角的方向射入磁场，则粒子A′再次回到x轴上某点时，该点的坐标值为多少

qB2R3【答案】（1）2R （2） （3）（2R?R，0）

22m

21. 如图所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初

速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：

(1) 此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； (2) 此匀强磁场区域的最小面积．

π－2mv0

【答案】 (1)ea，垂直于纸面向外 (2)2a2

22. 如图所示，在xOy平面内，紧挨着的三个“柳叶”形有界区域①②③内(含边界上)有磁感

11

应强度为B的匀强磁场，它们的边界都是半径为a的4圆，每个4圆的端点处的切线要么与x轴平行、要么与y轴平行．①区域的下端恰在O点，①②区域在A点平滑连接、②③区域在C点平滑连接．大量质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子依次从坐标原点O以相同的速率、各种不同的方向射入第一象限内(含沿x轴、y轴方向)，它们只要在磁场中运动，轨道半径就都为a.在y≤－a的区域，存在场强为E的沿－x方向的匀强电场．整个装置在真空中，不计粒子重力、不计粒子之间的相互作用．求：

(1) 粒子从O点射出时的速率v0；

(2) 这群粒子中，从O点射出至运动到x轴上的最长时间； (3) 这群粒子到达y轴上的区域范围． qBaπm

【答案】(1)m (2)qB (3)－a－Ba

23. 如图所示，圆心为坐标原点O、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，即圆内区域Ⅰ

和圆外区域Ⅱ.区域Ⅰ内有方向垂直于xOy平面的匀强磁场B1.平行于x轴的荧光屏垂直于xOy平面，放置在坐标y＝－的位置．一束质量为m、电荷量为q、动能为E0的带正电粒子从坐标为(－R,0)的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，当区域Ⅱ内无磁场时，粒子全部打在荧光屏上坐标为(0，－的M点，且此时，若将荧光屏沿y轴负方向平移，粒子打在荧光屏上的位置不变．若在区域Ⅱ内加上方向垂直于xOy平面的匀强磁场B2，上述粒子仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，则粒子全部打在荧光屏上坐标为，－的N点，求：

6aq

Em≤y≤－a－Ba

4aqEm

(1) 打在M点和N点的粒子运动速度v1、v2的大小； (2) 在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B1、B2的大小和方向；

(3) 若将区域Ⅱ中的磁场撤去，换成平行于x轴的匀强电场，仍从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ的粒子恰好也打在荧光屏上的N点，则电场的场强为多大

【答案】(1)2E0

m

2E02mE02mE0

(2)B，方向垂直于xOy平面向外 B1＝2＝mqR2qR，

方向垂直于xOy平面向里 10E0

(3)9qR