带电粒子在有界磁场中运动规律整合

带电粒子在有界磁场中的运动问题，是高中物理学习的重点，对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求。粒子的运动轨迹往往是一个残缺圆，因此会出现一系列最值。由于此类问题综合性强，思维含量高，具有很强的选拔功能，因此成为历年高考的热点。 1．速度之“最”

带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动，其轨迹是圆的一段弧，当速度大小变化时，匀速圆周运动的半径随之变化，轨迹也将发生变化，当带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切或运动轨迹恰好过边界端点时的速度，就是满足条件的最大或最小速度．

例题1：如图1宽为d的有界磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电荷量为-q的微粒沿图示方向垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使该粒子不能从边界MN射出，此粒子入射速

度的最大值是多大？

2．运动时间之“最”

由和得带电粒子在磁场中运动时间，时间与速度无关，圆

心角越大，则粒子运动时间越长，因此圆心角之“最”决定运动时间之“最”。

例题2：如图3所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s1、s2分别为M、N板上的小孔，s1、s2、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s2O=R。以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B．方向垂直纸面向外的匀强磁场。D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板。质量为m、带电量为+q的粒子，经s1进入M、N间的电场后，通过s2进入磁场。粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计。当M、N间的电压不同时，粒子从s1到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值。

例题3：如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒

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子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0~3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。 已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时，刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）

（1）求电压U的大小。

（2）求时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

3．磁场范围之“最”

近年来在高考试题中多次出现求磁场的最小范围问题，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，抓住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积。

例题4：在xOy平面内有许多电子（质量为m、电量为e），从坐标O不断以相同速率v0沿不同方向射入第一象限，如图8所示。现加一个垂直于xOy平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

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课后训练：

1.核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图1所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×10C/㎏，

中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。图1 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

2.圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，M L如图3所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。

O A O

N P

图2

3.如图3所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两

a 圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电

S 量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初

b 速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出d o 发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整

个装置在真空中）

4.如图4所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强

O

3

7c 图3

L E d B B 图4

磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求： (1)中间磁场区域的宽度d;

(2)带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.

5.如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为（ ）

A． B．

C．

D．

6.地球周围存在磁场，由太空射来的带电粒子在此磁场的运动称为磁漂移，以下是描述的一种假设的磁漂移运动，一带正电的粒子(质量为m，带电量为q)在

x=0，y=0处沿y方向以某一速度v0运动，空间存在垂直于图中向外的匀强磁场，在y>0的区域中，磁感应强度为B1，在y<0的区域中，磁感应强度为B2，B2>B2，如图所示，若把粒子出发点x=0处作为第0次过x轴。求：

(1)粒子第一次过x轴时的坐标和所经历的时间。 (2)粒子第n次过x轴时的坐标和所经历的时间。

(3)第0次过z轴至第n次过x轴的整个过程中，在x轴方向的平均速度v与v0之比。 (4)若B2：B1=2，当n很大时，v：v0趋于何值?

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带电粒子在有界磁场中运动之“最”答案

1.解析：为了使粒子不能从边界MN射出，轨道半径最大时应与边界MN相切，如图2所示。

设粒子的最大轨道半径为R，则有，结合几何关系，解得

2.解析：M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，所以当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短。

粒子从s1到达s2的过程中，根据动能定理得粒子进入磁场后在洛伦兹力作

用下做匀速圆周运动，有由几何关系得粒子做匀速圆周运动的轨道半径

粒子在电场中运动时间 在磁场中运动时间

出磁场后匀速直线运动的时间因此，整个运动的最短时间

3.要使粒子在磁场中运动时间最短，运动轨迹所对的圆心角应最小，由几何关系可知，应使粒子射入磁场时与磁场边界的夹角最小，也就是要粒子在电场中做类平抛运动的偏转角最大。考虑到粒子带正电，因此2 t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短。（如图5）

带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为 设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向

的夹角为

，则

解得

圆弧所对的圆心角为，所求最短时间

为

,带电粒子在磁场中运动的周期为

5

，联立以上两式解得。

4.解析：电子在磁场中运动半径是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的

运动轨道如图9所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射

出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在x轴上方的个圆弧Odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线

O1O2）向上平移一段长度为的距离,即图10中的弧Ocb就是这些圆的最高点的连线，

即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：

。

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度v0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图11中看出，

，即

（x＞0，y＞0），这是个圆方程，圆心

在（0，R）处，圆的圆弧部分即为磁场区域的下边界。

课后训练：

1.解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图8所示。

由图中知r1R1(R2r1)，解得r10.375m

222Bqr1V121.5107m/s 由BqV1m得V1mr1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速

O

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O2 图9

度为V11.510m/s。

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9所示。

由图中知r27R2R10.25m 2Bqr2V22由BqV2m得V21.0107m/s

mr2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V21.010m/s

2。解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R。

圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中，O＇

72tan()2，tan()r,所以求得R后就可以求出O＇P了，P=(L+r)tanθ，而tan2R1tan2()2ABR电子经过磁场的时间可用t=来求得。 VVV2mV 由BeVm得R=.OP(Lr)tan

ReBL ，

A O θ B R θ/2 θ/2 O// 图4

P N M O,

reBrtan()2RmV2tan()2eBrmV2 tan22222mVeBr1tan2()22(Lr)eBrmV， O,P(Lr)tan22222mVeBr2eBrmVarctan(22)

mVe2B2r2Rm2eBrmVtarctan(22) 222VeBmVeBr解析：如图11所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向

穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有 a qU1mV2 27

S d o b

c 图11

设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有

V2BqVm

R由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过外半径r，即R=r.由以上各式解得;

3圆周，所以半径R必定等于筒的4B2qr2U.

2m4.解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： qEL带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

1mV2 2V2BqVm

R由以上两式，可得R12mEL。

Bq可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图13所示，三段圆弧的圆心组成的三角形

ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为

dRsin600（2）在电场中

16mEL

2BqO O3 600 O2 O1 图13

2V2mV2mL， t12aqEqE在中间磁场中运动时间t2T2m 33qB55mT， 63qB在右侧磁场中运动时间t3则粒子第一次回到O点的所用时间为

tt1t2t322mL7m。 qE3qB5.D

6.解：(1)设带电粒子的电量为q，质量为m，在B1和B2中运动轨道半径分别为r1和r2，周期分别为T1和T2，

mV22m 由qvB=r rT2 (2分)

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可得，r1= r2=

mv0 qB1mv0 qB1 T1=T2=2m qB12m qB2粒子第一次过x轴时的坐标为

2mx1=2r1=

qB1 (2分)

粒子第一次过x轴时的经历的时间为

1mt1=T1

2qB1 (2分)

(2)设用x表示至第n次过x轴的整个过程中，粒子沿x轴方向的位移大小，当n为奇数时则

有 x=

n1n12r12r2n2,4,6 22 (2分)

当n为偶数时，则有

x=n(2r1-2r2)(n=2，4，6…) 用t表示从开始到此时的时间， 当n为奇数时，则有 t=n(T1T2)(n=2，4，6…) (3)由v=

x得， v1212 (2分)

(2分)

当n为奇数时，则有

vv0B12

n1B2n1B1n1B2n1 (2分)

当n为偶数时，则有

B21v2B1 v0B21B123 (2分)

(4)若B2：B1=2，则当n很大时(n+1)≈(n-1),有 v：v0趋于

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