一类具扩散的SIR传染病模型的稳定性分析

常熟理工学院学报（自然科学）

JournalofChangshuInstituteTechnology（NaturalSciences）

Vol.26No.10

Oct.,2012

一类具扩散的SIR传染病模型的稳定性分析

朱道宇

（贵州民族大学理学院，贵州贵阳550025）

摘

要：研究一类具有空间扩散的SIR传染病模型，通过讨论线性化方程的特征值得到该模型

的染病平衡点是局部稳定的，并利用Lyapunov函数得到该平衡点全局渐近稳定的一个充分条件.

关键词：传染病模型；平衡点；渐近稳定中图分类号：O29

文献标识码：A

文章编号：1008-2794（2012）10-0045-06

1引言

目前的很多传染病模型都源于Kermack和McKendrick在文献[1]中首次提出的SIR模型，该模型及其各种推广后的模型的动力学行为已被很多学者进行了深入研究.在生态环境各因素的交互作用中，空间因素是影响生态种群形成和运作的一个重要因素[2-5].在建立生态数学模型时，人们越来越多地意识到空间因素作用.为了寻找食物，躲避更高的传染风险或者其他目的，个体一般会向种群密度较低的方向扩散，以期有更多的自然资源和生存机会.一般而言，在传染病高发期，个体倾向于向传染群的梯度方向扩散.基于此，本文主要研究一类带空间扩散和非单调发病率的SIR传染病模型的稳定性.

的必要性.从生物学观点来看，每个生物个体都分布于空间中并与周围环境以及附近的其他生物个体相互

2无扩散的SIR传染病模型

设种群中的个体分为易感者，染病者和康复者三类，易感者由于与染病者接触而染病，染病者康复后可

I(t)和R(t)，能因缺少免疫力又变为易感者.设在t时刻易感者，染病者和康复者的数量分别为S(t)，则由Xiao和Ruan在文献[6]中给出的具有非单调发病率的SIR传染病模型如下：

ìdS=b-dS-kSI+γRïdt1+αI2ïdIkSI-(d+μ)Iídt=

1+αI2ï

ïdR=μI-(d+γ)Rîdt（1）

其中b是出生率，d是死亡率，μ是治愈率，γ是康复者因缺少免疫力变为易感者的概率，12描述当感

1+αIα是非负常数.b，d，γ，μ和k是正常数.模型染者数量很大时易感者的行为改变对传染病的抑制作用，

收稿日期：2012-09-27

基金项目：贵州民族大学校级科研基金资助项目（201202）

作者简介：朱道宇（1982—），女，贵州遵义人，讲师，硕士，研究方向：微分方程与动力系统.

46常熟理工学院学报（自然科学）2012年（1）在平面S+I+R=b上的为下面的二维系统：

dìdI=kI(b-I-R)-(d+μ)Iïdt1+αI2d（2）í

dRï=μI-(d+r)Rîdtτ=(d+γ)t，为了便于讨论，对系统（2）作变量替换，令X=kI，Y=kR，并仍用I,R,t表示X,Y,τ，

d+γd+γ则系统（2）变为

ìdI=I(A-I-R)-mI

ïdt1+pI2ï

（3）ídR=qI-R

ïdtïI(0)≥0,R(0)≥0î

α(d+γ)2d+μμbkm=其中A=，，p=，.基于模型的实际背景，我们只考虑A>m的情形，此时q=2d+γd+γd(d+γ)k(1+q)2+4mp(A-m)-(1+q)系统（3）有两个非负平衡点E0=(0,0)和E=(I,R)，其中I=，R*=

2mp*

*

*

*

q((1+q)2+4mp(A-m)-(1+q))=qI*.

2mp它是一个双曲鞍点，表示传染病的消失；E*=(I*,R*)叫做染病平衡点，表示染E0=(0,0)叫做无病平衡点，病者与康复者的并存.

定理2.1系统（3）的一切正解是最终有界的.

证明将系统（3）的两个方程相加，并令W(t)=I(t)+R(t)，得

dW=I(A-I-R)-(m-q)I-R，dt1+pI2所以对任意的ε>0，有下面的不等式

dW+εW=I(A-I-R)-(m-q-ε)I-(1-ε)R≤1(A-W)-(m-q-ε)I-(1-ε)R.dt1+pI22pìüïï1选取ε即

因而存在T>0，当t>T时，有

dW≤A-æ1+εöç÷ç÷W.dt2pè2pølimsupW(t)=limsup(I(t)+R(t))≤

t→∞

t→∞

A.1+2εp证毕.

容易算出系统（3）在平衡点E*=(I*,R*)处的Jacobi矩阵为

æpI*3+2p(R*-A)I*2-I*

ç2*2J=J(E*)=ç1+pI()ç

qè

-I*ö

÷æJ11J12ö1+pI*2÷-Δç÷.J21J22øè÷

-1ø

它的特征方程为

λ2-tr(J)λ+det(J)=0.

10其中

tr(J)=

朱道宇：一类具扩散的SIR传染病模型的稳定性分析pI*3+2p(R*-A)I*2-I*

-1<0,det(J)=

(1+q)I*+2ApI*2-p(1+q)I*3

>0.

47(1+pI)*2

2(1+pI)*2

2因此，由Roth-Hurwitz准则得到平衡点E*=(I*,R*)局部稳定的一个充分条件.定理2.2系统（3）的染病平衡点E*=(I*,R*)是局部渐近稳定的.事实上，更进一步地，我们有：

定理2.3系统（3）的染病平衡点E*=(I*,R*)在第一象限内是全局渐近稳定的.证明构造Lyapunov函数

η-I*1R(ξ-R*)dξV1(I,R)=∫dη+IΨ(η)Rq∫

I

*

*

（4）

其中Ψ(I)=

1.显然V(I,R)≥0，当且仅当(I(t),R(t))=(I*,R*)时V1(I,R)=0.将V1(I,R)沿系统（3）的解121+pIdV1I-I*dIR-R*dR=+.

qdtdtΨ(I)dt关于时间t求导，得

把系统（3）中dI和dR的表达式代入上式，得

dtdtdV1I-I*æIöR-R*

=(A-I-R)-mI÷+q(qI-R)çdtΨ(I)è1+pI2ø因为

I*(A-I*-R*)-mI*=0，qI*-R*=0，*21+pIdV1

=-(1+mp(I+I*))(I-I*)2-1(R-R*)2

qdt（5）

所以（5）又可写成

（6）

显然

dV1

<0，因此平衡点E*=(I*,R*)是全局渐近稳定的.dt3带扩散的SIR传染病模型

设易感者I和康复者R在空间中可以随意移动，则与模型（3）对应的具有空间扩散的传染病模型为

ì∂I=I(A-I-R)-mI+dΔI

1ï∂t1+pI2（7）í

∂Rï=qI-R+dΔR

2

î∂t22∂∂其中非负常数d1和d2分别表示I和R的空间扩散率.Δ=2+2是二维空间i2中的拉普拉斯算子.假设∂x∂y系统（7）满足下面的初值条件和齐次Neumann边界条件：

I(x,y,0)=I0(x,y)≥0,R(x,y,0)=R0(x,y)≥0,(x,y)∈Ω=[0,L]×[0,L]（8）

∂I=∂R=0,(x,y)∈∂Ω（9）∂n∂n其中n表示边界∂Ω上的单位外法向量.齐次Neumann边界条件说明上述系统是封闭的，在Ω的边界上没有个体移动.下面我们研究扩散系统（7）的相关性质，首先考察解的一致有界性.

定理3.1对于系统（7）的任一解(I(x,y,t),R(x,y,t))，有

limsupmaxI(x,y,t)≤ˉ

t→∞

Ω

AqA，limsupmaxR(x,y,t)≤.ˉΩt→∞2mp2mp48常熟理工学院学报（自然科学）2012年ééùAqA+εùúê因此对任意的ε>0，矩形ê0,×0,+ε（7）在第一象限的一个全局吸引集.ê2mpúê2mpúú是系统

ëûëû

I(x,y,t)应满足证明由系统（7）的第一个方程及条件（8）和（9）知，

ì∂I-dΔI≤A-mI,(x,y)∈Ω,t>0,

1ï∂t2pï

í∂I=0,(x,y)∈∂Ω,,t>0,ï∂nïI(x,y,0)=I(x,y),(x,y)∈Ω.0î

设X(t)是初值问题

̇(t)=A-mX(t≥0),X(0)=maxI(x,y)>0X0ˉΩ

2p的解，则tlimX(t)=→∞

A.由比较原理得I(x,y,t)≤X(t)，于是

2mplimsupmaxI(x,y,t)≤ˉ

t→∞

Ω

A.

2mp由系统（7）的第二个方程及（8）和（9）知，R(x,y,t)应满足

ì

∂R-dΔR≤qæA+εöïç÷ï2ç÷-R,(x,y)∈Ω,t>0,∂tï2mpïèøí∂Rï(x,y)∈∂Ω,t>0,ï∂n=0,ïïR(x,y,0)=R(x,y),(x,y)∈Ω.0î

Aq用和上面类似的讨论方法，可得limsupmaxR(x,y,t)≤.因此，对任意的ε>0，存在T>0，使得对ˉΩt→∞2mpˉ和t≥T，所有的(x,y)∈Ω有I(x,y,t)≤

AqA+ε，R(x,y,t)≤+ε.

2mp2mp证毕.

下面利用线性化方程的特征值以及Liapunov函数法讨论系统（7）的染病平衡点E*=(I*,R*)的局部稳定性和全局稳定性.设0<μ0<μ1<μ2<⋯是算子Δ在具齐次Neumann边界条件的Ω上的特征值，令集合

ˉ)2||∂I=∂R=0,(x,y)∈∂Ω.Y=(I,R)∈C1(Ω

|∂n∂n{[]利用文献[7]中的方法，考虑Y的直和分解Y=⊕

∞

i=0

ˉ)上对应的特征子空间.其中Yi是特征值μi在C1(ΩYi，

}定理3.2系统（7）的染病平衡点E*=(I*,R*)是一致渐近稳定的.证明系统（7）在平衡点E*处的线性化方程为

æ∂Iö**

æL(I-I,R-R)öç÷∂tI1ç÷=Αæö+ç，çèRøèL2(I-I*,R-R*)÷ç∂R÷÷ø

è∂tø

J12öæJ+dΔ

其中A=ç111Lj(z1,z2)=O(z12+z22)(j=1,2).÷，

J22+d2ΔøèJ21

Yi是算子A的不变子空间，对每个i(i=0,1,2,⋯)，并且λ是A在Yi上的特征值当且仅当λ是矩阵J12öæJ-dμ

Hi=ç111i÷的特征值.注意到

JJ-dμi21222èø

tr(Hi)=-(d1+d2)μi+tr(J)<0,det(Hi)=d1d2μi2-(d1J22+d2J11)μi+det(J)>0，

10朱道宇：一类具扩散的SIR传染病模型的稳定性分析49-所以Hi的两个特征值λ+有下面的事实：i和λi都具有负实部.具体地，21tr(J)<0；（i）对于i=0，如果(tr(J))-4det(J)≤0，则Re(λ±0)=2如果(tr(J))-4det(J)>0，则

tr(J)+(tr(J))2-4det(J)tr(J)-(tr(J))2-4det(J)-Re(λ)=<0,Re(λ0)=<0.

222

（ii）对于i≥1，如果(tr(Hi))-4det(Hi)≤0，则Re(λi±)=1tr(Hi)≤1tr(J)<0；

22+

0

2

如果(tr(Hi))-4det(Hi)>0，则由tr(Hi)<0和det(Hi)>0得

tr(Hi)-(tr(Hi))2-4det(Hi)1Re(λ)=≤tr(Hi)≤1tr(J)<0，

222-i

2

tr(Hi)+(tr(Hi))2-4det(Hi)2det(Hi)det(Hi)

Re(λ)==≤22tr(H)itr(Hi)-(tr(Hi))-4det(Hi)

+

i

以上两条说明，存在一个与i无关的正常数C，使得对所有的i都有Re(λi±)证毕.定理3.3近稳定的.

证明构造Lyapunov函数

V2(t)=∬V1(I,R)dΛ，

Ω

如果I满足2(mp(A-m))2

1

212其中V1(I,R)的表达式如（4）式所示.将V2(t)沿着系统（7）的解关于时间t求导，得

dV2(t)dV∂Væ∂Vö

=∬1dΛ+∬ç1d1ΔI+1d2ΔR÷dΛ.dt∂RøΩdtΩè∂I由Green第一公式及齐次Neumann边界条件可得：

22

dV2(t)dV1∂2V1éæ∂Iö2æ∂Iöù∂2V1éæ∂Rö2æ∂Röù

=∬dΛ-d1∬2êêè∂xø+ç∂y÷úúdΛ-d2∬∂R2êêè∂xø+ç∂y÷úúdΛdtdt∂IèøèøΩΩΩëûëû

22éé∂R2æ∂Rö2ùdV1æ∂Iöù3*2*æ∂Iö11æö+ç÷údΛ.=∬dΛ-d1∬2(2pI-pII+I)ê+ç÷údΛ-d2∬êêúêqdt∂x∂yèøè∂xøè∂yøúèøûΩΩIΩëëû

*

3′*′*2**I令Φ(I)=2pI-pII+I，则Φ(0)=I>0，则I>.根据定理3.1，我们Φ(I)=2pI(3I-I).如果Φ(I)>0，

3(1+q)2+4mp(A-m)-(1+q)*A有02mp2mpdV2(t)

≤dt∬dtdΛ≤

Ω

dV1

0.

因此，系统（7）的平衡点E*=(I*,R*)是全局渐近稳定的.证毕.

染病平衡点E*=(I*,R*)的全局渐近稳定性意味着，无论感染者和康复者空间扩散得快慢如何，传染病将在一定空间内持久地存在.

50参考文献：

常熟理工学院学报（自然科学）2012年[1]KermackWO,McKendrickAG.AContributiontotheMathematicalTheoryofEpidemics[J].ProcRoySoc,1927,115(772):700-721.

[2]HolmesE,LewisM,BanksJ,etal.Partialdifferentialequationsinecology:spatialinteractionsandpopulationdynamics[J].Ecology,1994,75(1):17-29.

[3]RassL,RadcliffeJ.Spatialdeterministicepidemics[M].WashingtonDC:AmericanMathematicalSociety,2003.[4]MurrayJ.Mathematicalbiology[M].NewYork:Springer,2003.

[5]WangK,WangW,SongS.DynamicsofanHBVmodelwithdiffusionanddelay[J].JournalofTheoreticalBiology,2008,253(1):36-44.

[6]XiaoD,RuanS.Globalanalysisofanepidemicmodelwithnonmonotoneincidencerate[J].MathematicalBioscience,2007,208(2):419-29.

[7]PangPY,WangMX.Strategyandstationarypatterninathree-speciesPredator-Preymodel[J].JournalofDifferentialEquations,2004,200(2):245-273.

[8]HenryD.Geometrictheoryofsemilinearparabolicequations[M].In:LectureNotesinMathematics.NewYork:Springer-Verlag,1981.

StabilityAnalysisofanSIREpidemicModelwithDiffusion

Abstract:AnSIRepidemicmodelwithspatialdiffusionisinvestigated.Localstabilityoftheendemicequilibri⁃umoftheepidemicmodelispresentedbyanalyzingeigenvaluescorrespondingtolinearizationequation.Asuffi⁃method.

Keywords:epidemicmodel;equilibrium;asymptoticstability

cientconditionisobtainedfortheglobalasymptoticstabilityoftheendemicequilibriumbyLyapunovfunction

(SchoolofScience,GuizhouMinzuUniversity,Guiyang550025,China)

ZHUDao-yu