平面直角坐标系下的动点问题专题复习

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA、OC是方程

CD翻折，使点B恰好落在OA边上的点E处． （1）求OA、OC的长； （2）求D、E两点的坐标；

29x 的两个根（OA＞OC），在AB边上取一点D，将纸片沿x10（3）若线段CE上有一动点P自C点沿CE方向向E点匀速运动（点P运动到点E后停止运动），运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作ED的平行线交CD于点M．是否存在这样的t 值，使以C、E、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出t值及相应的时刻点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA5，OC4．

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；

（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0t5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

O 图1 A y C D x E B y C D M O 图2 A E N P x B 如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的 大小关系？并证明你得到的结论。

（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数

关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。

2、 ( 湖北天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动 点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．

(1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示) (2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？

(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变， 试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值．

（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， 在Rt△ABE中，AEAO5，AB4．

O M 图

A x

O 图MA x

N B y y B N 3YACPOLBXX=1BEAE2AB252423．CE2．

． E点坐标为（2，4）

在Rt△DCE中，DCCEDE， 又

222DEOD．

(4OD)222OD2 ． 解得：CD5． 25D点坐标为0，2

△APM∽△AED． PM∥ED，PMAP5，又知APt，ED，AE5 2EDAEt5tPM， 又PE5t．

522而显然四边形PMNE为矩形．

（2）如图①

S矩形PMNE当tt151525，又PMPE(5t)t2tS四边形PMNEt2222282055 2525时，S矩形PMNE有最大值． 28（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则MEMA（如图①） 在Rt△AED中，MEMA，PMAE，P为AE的中点，

15tAPAE．

22又PM∥ED，M为AD的中点．

过点M作MFOA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

1515MFOD，OFOA，

2422当ty C D M O F 图① A x E N P B 55时，05，△AME为等腰三角形．

225524此时M点坐标为，．

（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AMAE5（如图②） 在Rt△AOD中，ADODAO过点M作MFOA，垂足为F．

△APM∽△AED． PM∥ED，22y C N D M O F 图② A x E P B 55255． 222APAM． AEAD1AMAE55tAP25，PMt5．

52AD52MFMP5，OFOAAFOAAP525，

当t25时，（0255），此时M点坐标为(525，5)．

综合（i）（ii）可知，t5或t25时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标2为，或(525，5)．

如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

（1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；(3分)

（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分) （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的

55241？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分) 3 yy NBBCC P

AOxMAOx

（备用图）

(2010•福建省莆田市)如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x

轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD5. 4（1）求直线AC的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. ．．．．

（3）抛物线yx经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处？

（ 2010•鸡西）如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,若OA、OC的长满足

2OA2OC23. ⑴求B、C两点的坐标. ⑵把△ABC沿AC对折,点B落

第25题

在点B′处,线段AB′与x轴交于点D,求直线BB′的解析式．

⑶在直线BB′上是否存在点P,使△ADP为直角三角形？若存在,请直接写出 P 点坐标；若不存在,请说明理由.

y

A B O D B′ C x (2010•攀枝花)22．(12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝23，点P是边BC上的动点(点P不与

B、C重合)，过点P作直线PQ∥BD，交CD边于点Q，再把△CPQ沿着直线PQ对折，点C的对应点是点R．设CP＝x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y． (1)求∠CPQ的度数；

(2)当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？

(3)当R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式及此时函数值y的取值范围．

D Q

C D

Q

C

P

A R B

A

E R

F P B