4个圆幂定理及其证明(可打印修改) (2)

如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD

　　　　证明：

连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 　　注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.　　

AD P CB切割线定理

如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC²=TA·TB

证明：连接AC、BC

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得 ∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC

∴△ACT∽△CBT

∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT²=AT·BT

弦切角定义：

　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角

弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

　定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明

. (弦切角

　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，　　则∠TCB=∠CDA　　∵∠TCB=90-∠OCD　　∵∠BOC=180-2∠OCD　　 ∴,∠BOC=2∠TCB

切线长定理

　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

　　如图中，切线长AC=AB。　　∵∠ABO=∠ACO=90°　　BO=CO=半径　　AO=AO公共边

　　∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）　　∴AB=AC　　∠AOB=∠AOC　　∠OAB=∠OAC

割线定理

如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD

证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C又∵∠APD=∠CPB∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圆幂定理

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。

　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

　　统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。