中考数学菱形的性质与判定分类试题试题(共21页)

选择题

〔2021，12，3分〕如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把

纸片沿中位线DE剪开，方案拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为〔 〕 A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【思路分析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝

BC．∵∠C=90°，

∠B=60°，∴AB＝2BC，AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，那么四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，那么①成立．如图(2)，把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，那么四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，那么③成立．如图(3)，挪动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，那么②成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，那么④不成立．

【方法规律】在拼合时，可以把所有情况列举出来，再挑出符合条件的情况． 【易错点分析】

【关键词】三角形的中位线，直角三角形的性质，矩形(jǔxíng)、菱形、正方形、等腰梯形的断定

〔2021，6，3〕依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是

【答案】A

【思路分析】因为顺次连结四边形各边中点所围成的四边形是平行四边形，而菱形的对角线互相垂直，所以依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是矩形.

【方法规律】顺次连结四边形各边中点所围成的四边形是平行四边形. 【易错点分析】错误认为菱形对角线互相垂直且相等，而误选C. 【关键词】中位线 【难度】★☆☆☆☆ 【题型】常规题

〔2021，10，3分〕顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，那么四边形ABCD一定是

【答案】D

【思路分析】因为菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接菱形各边的中点所得四边形一定是矩形，选项A错误；同理，选项B错误；虽然矩形的对角线相等，顺次连接矩形各边的中点所得四边形一定是菱形，但是，只要是顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，就一定可以得到菱形，所以，选项C错误，应选D.

【方法规律】如以下图所示：

顺次(shùncì)连接任意四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理，易得HG∥AC∥EF，且又

，那么HG与EF平行且相等，所以四边形EFGH一定是平行四边形，

，当且仅当AC＝BD时，HE＝HG，此时□EFGH为菱形，所以，只要四边形ABCD对角线AC，BD相等即可.

【易错点分析】对特殊四边形的性质与断定方法不熟悉，容易误选C. 【关键词】平行四边形 矩形 菱形 三角形中位线 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题 易错题 好题

〔2021，12，3分〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，

那么以下结论一定正确的选项是( ). A. ∠HGF = ∠GHE C. ∠HEF = ∠EFG

B. ∠GHE = ∠HEF

D. ∠HGF = ∠HEF

〔第12题图〕 【答案】D

【思路分析】因为点E,F,G,H分别是等腰梯形的AB,BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质可以判断，应选D.

【方法规律】连接等腰梯形的对角线，构造三角形，利用三角形中位线定理及等腰梯形的对角线相等的性质容易证明四边形EFGH的形状为菱形.

【易错点分析】识别中点四边形的形状

【关键词】平行四边形、梯形、三角形中位线 【推荐指数】★★ ★ 【题型】常规题

一．

填空题

〔2021，14，3分〕如图6，菱形ABCD，其顶点A，B在数轴(shùzhóu)对应的数分别为-4和

1，那么BC=__．

【答案】5

【思路分析】∵顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，∴AB=5，∵四边形ABCD为菱形，∴BC=AB=5.

【方法规律】此题考察菱形的性质：菱形的各边长相等。

【易错点分析】由条件“顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1〞，推断AB的长为3，导致解题错误。

【关键词】 菱形 【推荐指数】★☆☆☆☆ 【题型】常规题

二．

解答题

22．〔2021，22，7分〕如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分

线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点

O，线段OA，OB的中点分别为点E，F 〔1〕求证：AC＝AD；

〔2〕假设∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形；

【解】〔1〕证明(zhèngmíng)：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠BCA，

∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B， ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAD＝∠B，

∴AD∥BC，……………………………………………………………………〔2分〕 ∴∠D＝∠DCE， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE，

∴∠D＝∠ACD，………………………………………………………………〔3分〕 ∴AC＝AD；……………………………………………………………………〔4分〕 〔2〕证明：∵∠B＝60°，

∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，

∴∠DCE＝∠B＝60°，………………………………………………………〔5分〕 ∴DC∥AB, ∵AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，……………………………………………〔6分〕 又由〔1〕知AC＝AD， ∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ)．……………………………………………………〔7分〕 【思路分析】(1)

〔2〕可先证明四边形ABCD为平行四边形，再证一组邻边相等.

【方法规律】要熟记证明四边形为平行四边形及菱形的所有断定定理，深化挖掘条件. 【关键词】平行四边形，菱形. 合题

〔2021，24，13分〕 梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如下图)，∠BAD的平分线AE交BC于

点E，连结DE.

(1) 在以下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保存作图痕迹不写作法)，并证明四边

形ABED是菱形。(7分) (2) 假设∠ABC＝

，EC＝2BE.求证：ED⊥DC (6分)

【难度】★★★☆☆

【题型】常规题，综

A

D

B (第24

【解】〔1〕如以下图

C

A

D

B E C

证明(zhèngmíng)：∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∵AB＝AD AE＝AE

∴ΔABE≌ΔADE ∴BE＝DE ∵AD∥BC ∴∠DAE＝∠AEB ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴AB＝BE＝DE＝AD ∴四边形ABED是菱形

〔2〕如图，过点D作DF∥AE交BC于点F ∵ABED是菱形

∴AB∥DE ∴∠DEF＝∠DFE＝60 ∴ΔDEF为等边三角形 ∵EC＝2BE ∴EF＝DF＝CF ∴∠CDF＝

1∠DFE＝2

∴∠CDE＝60+30=∴ED⊥DC A

D

B 【答案(dá àn)】D

E F C

【思路分析】〔1〕四边形ABED中，已有两边相等，所以再证另外两边均和它们相等即可，显然ΔABE≌ΔADE〔SAS〕，那么BE=DE,又借助角平分线、平行线说明AB=BE,那么四条边都相等的四边形是菱形；〔2〕∠ABC＝60转化到∠DEF=60°，可见关键是证出∠C=30°，作DF∥AE，构造等边三角形即可。

【方法规律】此题考察了菱形的断定、尺规作图等知识，菱形的断定常用的方法有：四条边都相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形。在梯形中，有角为60°，一般是构造等边三角形。

【易错点分析】对于尺规作图为保存弧线或者菱形的断定方法掌握不好. 【关键词】尺规作图，菱形的断定，全等，直角三角形 【推荐指数】★★☆☆☆

【题型】常规题，操作题

〔2021，24，7分〕在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． 〔1〕在图1中证明〔2〕假设〔3〕假设；

，G是EF的中点〔如图2〕，直接写出∠BDG的度数； ，FG∥CE，

，分别连结DB、DG〔如图3〕，求∠BDG的度

数．

图1

图2

【答案(dá àn)】(1)证明：如图1．

∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD．

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F． ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF (2)∠BDG=45°

(3)解：分别连结GB、GE、GC〔如图3〕 ∵AB∥DC，∠ABC=120°

13 2 图3

∴∠ECF=∠ABC=120° ∵FG∥CE且FG=CE．

∴四边形CEGF是平行四边形． 由(1)得CE=CF，

平行四边形CEGF是菱形． ∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∴△ECG是等边三角形 ∴EG=CG， ① ∠GEC=∠EGC=60°

∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG． ②

由AD∥BC及AF平分(píngfēn)∠BAD可得∠BAE=∠AEB． ∴AB=BE．

在平行四边形ABCD中，AB=DC． ∴BE=DC． ③

由①②③得△BEG≌△DCG．

∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1 +∠3=∠2+∠3=∠EGC=60° ∴∠BDG=

=60°．

1∠ECF=60° 2【思路分析】由角平分线及平行线的性质可推出CE=CF；连接BG、CG，由SAS可证△DGF≌△BGC，得到△BGD为等腰直角三角形，所以∠BDG=45°；同理可得△BGD为等腰三角形，再证△BGD为等边三角形，从而得到∠BDG=60°。

【方法规律】特殊图形中包括着边角的关系，只要找到特殊的图形，就能沟通边角间的关系。

【易错点分析】不能做出辅助线从而找到特殊的三角形；不能证明∠BDG为60度。 【关键词】平行四边形，矩形，菱形，角平分线 【推荐指数】★★★★☆ 【题型】新题，好题

〔2021，23，7分〕：如图，在梯形ABCD中AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点．

求证(qiúzhèng):四边形BCDE是菱形．

D C

A

E 〔第23

B

【证明】∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°．

又E为AB中点，∴DE=

11AB，BE=AB， ∴DE=BE 22∴∠ DBE =∠EDB．

又AB∥CD， ∴∠ BDC =∠EDB．

∵BC=CD， ∴∠DBC =∠DBC．

∴BC∥DE．

∵EB∥CD，

∴四边形BCDE是平行四边形；

∵BC=CD，

∴四边形BCDE是菱形．

【思路分析】先利用两组对边分别平行，证明四边形BCDE是平行四边形，再来利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形BCDE是菱形．

【方法规律】菱形的断定方法有：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4边都相等的四边形是菱形．有一组邻边相等平行四边形的是菱形．

【易错点分析】在证明(zhèngmíng)菱形时，注意前提条件是四边形还是平行四边形，不要用错断定条件．

【关键词】平行四边形、菱形 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题

〔2021，25，6分〕：如图1，图形①满足：AD=AB，MD=MB，∠A=72°， ∠M=144°．图形

②与图形①恰好拼成一个菱形〔如图2〕．记作AB的长度为a，BM的长度为b． 〔1〕图中①中∠B=___度，图中②中∠E=____度．

〔2〕小明有两种纸片各假设干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①一样，这种纸片称为“风筝一号〞另一种纸片的形状及大小与图形②一样，这种纸片称为“飞镖一号〞．

①小明仅有“风筝一号〞纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片____张；

②小明用假设干张“风筝一号〞和 “飞镖一号〞纸片拼成一个“大风筝〞〔如图3〕，其中

∠P=72°， ∠Q=144°，PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图中画出拼接线并保存画图痕迹．〔此题中均为无重叠、无缝隙拼接〕

D E D(EP A M F G 图形②

CA M(F) C

I

J

Q 图3

B 图形①

图1

B(G图2 〔第25题〕

【答案(dá àn)】〔1〕∠B=72°，∠E=36° 〔2〕5个； 〔3〕图略．

【思路分析】〔1〕由图2知，四边形ABCD是菱形，所以在图1中，∠ABM=∠ADM，∵∠A=72°， ∠M=144°，∴∠B=72°，∠E=36°．〔2〕∵正十边形的中心角为36°，而“风筝一号〞中，∠A=72°，∴需要这种纸片5张．〔3〕根据角度及边的关系，上面放一个“飞镖一号〞，下面放两个“风筝一号〞．

【方法规律】此题在考察菱形知识综合应用的同时，兼顾考察学生知识转化才能，作图才能以及理论操作才能，符合新课改精神，是一道不可多得的好题．

【易错点分析】在解决第〔3〕问时，不能根据边角关系拼图． 【关键词】菱形、操作设计题

【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】新题，操作题

〔2021，23，10分〕如图10，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且

AP=BQ．

〔1〕求证：△BDQ≌△ADP；

〔2〕AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值〔结果保存根号〕．

【答案】〔1〕∵在菱形ABCD中，∠A=60°

∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD为等边三角形

∴∠DBC =60°，AD=BD

∴∠DBC =∠A ∵AP=BQ ∴△BDQ≌△ADP 〔2〕过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E〔如图〕

∵四边形ABCD为菱形(línɡ xínɡ)

∴AB=AD=3 ∵AP=2

∴BP=1，BQ=AP=2 ∠CBE=180°－120°=60° ∴BE=1，QE=∴PE=2，PQ=∴cos∠BPQ=

【思路分析】〔1〕要证明△BDQ≌△ADP；要满足AD=BD，∠DBC =∠A，AP=BQ即可。

〔2〕过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E，△PQE是直角三角形。

【方法规律】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考察直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，此题是根本概念的综合题，主要考察考生应用知识解决问题的才能．

【易错点分析(fēnxī)】纯熟掌握锐角三角函数求值方法。 【关键词】菱形，锐角三角函数 【推荐指数】★★★★☆ 【题型】好题，难题，

〔2021，22，10分〕如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5

，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停顿运动．设点D、E运动的时间是是t秒〔t＞0〕．过点D作DF⊥BC于点F，连接

DE、EF．

〔1〕求证：AE＝DF；

〔2〕四边形AEFD可以成为菱形吗？假如能，求出相应的t值；假如不能，说明理由. 〔3〕当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

【中考权威答案】〔1〕在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，又∵AE＝t，∴AE＝DF．

〔2〕能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形. ∵AB＝BC·tan30°＝

∴AD＝AC－DC＝10－2t

假设使□AEFD为菱形，那么需AE＝AD，t＝10－2t，即t＝

．

即当时，四边形AEFD为菱形(línɡ xínɡ)

〔3〕①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，∴AD＝2AE.即10－2t＝2t，.

②∠DEF＝90°时，由〔2〕知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°. ∵∠A＝90°－∠C＝60°，∴AD＝AE·cos60°. 即

DF＝t. ∴③∠EFD＝90°时，此种情况不存在. 综上所述，当t2或者4时，△DEF为直角三角形 5【思路分析】〔2〕由于AE与DF平行且相等，因此四边形AEFD是平行四边形，要保证是菱形，只需保证一组邻边相等即可，可令AD＝AE；〔3〕△DEF为直角三角形，那么一共有三种三种情况，即∠DEF＝90°，∠EDF＝90°和∠DFE＝90°．

【方法规律】动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵敏多变，动中有静，动静结合，可以在运动变化中开展学生的空间想象才能，综合分析才能，是近几年中考命题的热点。

【易错点分析】 第〔3〕问漏解

【关键词】动态变化 菱形 直角三角形 【推荐指数】★★★★☆ 【题型】好题 动态变化题

〔2021，24，8分〕〔此题满分是8分〕

两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm， ∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移，如图⑵所示.

⑴ 求证：四边形ACFD是平行四边形;

⑵ 怎样(zěnyàng)挪动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形; ⑶ 将Rt△ABC向左平移

，求四边形DHCF的面积.

【答案】 〔1〕证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，

∴四边形ACFD是平行四边形；

〔2〕在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，那么AC=CF， ∴可将Rt△ABC向左平移10cm或者向右平移10cm； 〔3〕在Rt△ABC中，

．

∴当Rt△ABC向左平移4cm时，EC=BC-BE=8-4=4〔cm〕， 在Rt△HEC中，

．

∴四边形DHCF的面积为：

cm2．

【思路分析】(1)由△ABC≌△DEF，得出AC=DF，再由∠ACB=∠DFE，得出AC∥DF，根据平行四边形的断定条件:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形ACFD是平行四边形．〔2〕由勾股定理得出AC2＝AB2＋BC2，AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10cm，再根据四条边都相等的平行四边形是菱形，故可将Rt△ABC向左平移10cm或者向右平移10cm； 〔3〕由图示，在Rt△ABC中，tanACBAB63． BC84∴当Rt△ABC向左平移4cm时，EC=BC-BE=8-4=4〔cm〕； 在Rt△HEC中，HEECtanACB433． 4又因为(yīn wèi)四边形DHCF的面积＝Rt△DEF的面积－Rt△HEC的面积． 1111

即四边形DHCF的面积＝·BC·AB－· EC·HE＝×8×6－×4×3＝18cm2．

2222

【方法规律】此题是考察平行四边形、菱形的断定、三角函数，利用平行四边形、菱形的断定定理和解三角函数求解．

【易错点分析】没能正确理解函数图像上点满足函数解析式这一条件，导致错误．

【关键词】平行四边形、菱形的断定、三角函数 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】动点问题

〔此题12分〕如图，二次函数y=顶点为点C〔1，－2〕. 〔1〕求此函数的表达式；

〔2〕作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.假设在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

〔3〕在〔2〕的条件下，抛物线上是否存在一点F,使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；假设不存在，请说明理由.

的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，

【答案】〔1〕因为顶点为点C〔1，－2〕 根据(gēnjù)抛物线顶点式可设抛物线的表达式为又因为二次函数为y=x2bx+c 所以x2bx+c=即x2bx+c=

所以

此函数的表达式y=.

〔2〕答：存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形 解：连结CD交AB于点M，

根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,AB⊥CD, 所以四边形ACBD是菱形，

过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分， 所以直线PM平分菱形ACBD的面积

因为y=x22x1与y相交于点P〔0,－1〕, 顶点为点C〔1，－所以点M的坐标为〔1，0〕 设直线PM的解析式为y=kx+b 那么

，解之得

所以直线PM的解析式为y=x－1

解方程组，得或者

所以点E的坐标为〔3，2〕.

2〕 〔3〕在〔2〕的条件下，抛物线上是否存在一点(yī diǎn)F,使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；假设不存在，请说明理由. 〔3〕过点P作直线PQ⊥PM,那么直线PQ的表达式为y=－x－1

解方程组

x=0，得或者

y=1

所以直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C〔1，－2〕. 所以PE=

所以△PEF的面积为

,PC=

【思路分析】〔1〕运用顶点式与一般式之间的关系构造悉数关系确定b、c的值，进而确定函数的表达式；〔2〕先判断三角形的形状，再求出平分四边形ACBD的直线PM,联立直线与抛物线的解析式构造方程组，求出方程组的解确定点E的坐标；〔3〕根据互相垂直的直线的解析式的关系确定与PE垂直的直线，把它与二次函数联立组成方程组.解方程组确定点F的坐标，并求出△PEF的面积.

【方法(fāngfǎ)规律】此题是一道以抛物线为知识背景的数形结合综合题，考察的知识点有抛物线解析式的求法、一次函数解析式的求法、中心对成图形的特征，勾股定理，三角形面积等，并较好地浸透数形结合和分类讨论思想．另外过中心对称图形的对称中心的每一

条直线都平分这个图形的面积；两个函数的解析式组成的方程组的解就是它们图象交点的纵、横坐标.假如方程组没有解，说明两个图象没有交点，反之亦然.

【易错点分析】

【关键词】二次函数，一次函数，菱形，轴对称，勾股定理. 【推荐指数】★★★☆☆

【题型】常规题，难题，压轴题.

内容总结

（1）2021年中考试题分类菱形的性质与断定 苏教版 选择题

〔2021，12，3分〕如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，方案拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形