高等数学练习答案4-3

习题43

求下列不定积分:

xsinxdx1. ;

xsinxdxxdcosxxcosxcosxdxxcosxsinxC解 .

lnxdx2. ;

lnxdxxlnxxdlnxxlnxdxxlnxxC解 .

arcsinxdx3. ;

arcsinxdxxarcsinxxdarcsinx解 

xarcsinxx1x2dx

xarcsinx1x2C.

xe4. xdx;

xe解 xdxxdexxexexdx

xexexCex(x1)C.

x5. 2lnxdx;

113313lnxdxxlnxxdlnx333

解

2xlnxdx

1111x3lnxx2dxx3lnxx3C3339.

e6. xcosxdx;

解 因为

e xcosxdxexdsinxexsinxsinxdexexsinxexsinxdx

exsinxexdcosxexsinxexcosxcosxdex

exsinxexcosxexcosxdx,

所以

ex11cosxdx(exsinxexcosx)Cex(sinxcosx)C22.

7.

x2xesindx2; 解 因为

xxxxsindx2e2xdcos2e2xcos2cosde2x2222

e2x

xxxx2e2xcos4e2xcosdx2e2xcos8e2xdsin2222

xxx2e2xcos8e2xsin8sinde2x222

xxx2e2xcos8e2xsin16e2xsindx222,

所以

x22xxx2xesindxe(cos4sin)C21722.

8.

xxcosdx2;

解

xcos2dx2xdsin22xsin22sin2dx2xsin24cos2Cxxxxxx.

x9. 2arctanxdx;

解

2xarctanxdx1131313arctanxdxxarctanxxdx3331x2

131x211213xarctanxdxxarctanx(1)dx222361x361x

111x3arctanxx2ln(1x2)C366.

xtan10. 2xdx

解

12222xtanxdxx(secx1)dxxsecxdxxdxxxdtanx2

11x2xtanxtanxdxx2xtanxln|cosx|C22.

x11. 2cosxdx;

x解 2cosxdxx2dsinxx2sinxsinx2xdxx2sinx2xdcosx

x2sinx2xcosx2cosxdxx2sinx2xcosx2sinxC.

te12. 2tdt;

解

2ttedt112t12t2ttdeteedt222

1111te2te2tCe2t(t)C2422.

ln13. 2xdx;

解

122lnxdxxlnxx2lnxdxxln2x2lnxdxx

1xln2x2xlnx2xdxxln2x2xlnx2xCx.

xsinxcosxdx14. ;

解

xsinxcosxdx2xsin2xdx4xdcos2x4xcos2x4cos2xdx1111

11xcos2xsin2xC48.

15.

22xcosxdx2;

解

121312131222xxcosdxx(1cosx)dxxxdsinxxxsinxxsinxdx226262

1111x3x2sinxxdcosxx3x2sinxxcosxcosxdx6262

11x3x2sinxxcosxsinxC62.

xln(x1)dx16. ;

解

xln(x1)dx1121212ln(x1)dxxln(x1)xdx222x1

111x2ln(x1)(x1)dx22x1

1111x2ln(x1)x2xln(x1)C2422.

(x17. 21)sin2xdx;

111(x21)dcos2x(x21)cos2xcos2x2xdx222

解

(x21)sin2xdx

11(x21)cos2xxdsin2x22

111(x21)cos2xxsin2xsin2xdx222

111(x21)cos2xxsin2xcos2xC224.

18.

ln3xx2dx;

解

ln3xx211111dxln3xdln3xdln3xln3x32ln2xdxxxxxx

11131ln3x3ln2xdln3xln2x3dln2xxxxxx

131131ln3xln2x62lnxdxln3xln2x6lnxdxxxxx x

1361ln3xln2xlnx62dxxxxx

1366ln3xln2xlnxCxxxx.

19.

e3xdx;

解 e3x令3xt2tdx3tedt3t2det

3t2et6tetdt3t2et6tdet

3t2et6tet6etdt

3t2et6tet6etC

3e3x3(x223x2)C.

coslnxdx20. ;

解 因为

1coslnxdxxcoslnxxsinlnxdxx

1xcoslnxsinlnxdxxcoslnxxsinlnxxcoslnxdxx

xcoslnxxsinlnxcoslnxdx,

所以

coslnxdx2(coslnxsinlnx)Cx.

(arcsinx)21. 2dx;

11x2解

22(arcsinx)dxx(arcsinx)x2arcsinxdx

x(arcsinx)22arcsinxd1x2

x(arcsinx)221x2arcsinx2dx

x(arcsinx)221x2arcsinx2xC.

e22. xsin2xdx.

1x11e(1cos2x)dxexexcos2xdx222,

解

exsin2xdx而 excos2xdxcos2xdexexcos2x2exsin2xdx

excos2x2sin2xdexexcos2x2exsin2x4excos2xdx,

ex1cos2xdxex(cos2x2sin2x)C5,

所以

ex11sin2xdxexex(cos2x2sin2x)C210.