伊吾县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

伊吾县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（ ） A．∃x≤0，lnx≥x 2． 在区域A．0

B．∀x＞0，lnx≥x

C．∃x≤0，lnx＜x

D．∀x＞0，lnx＜x

22

内任意取一点P（x，y），则x+y＜1的概率是（ ）

B． C． D．

3． 设Sn是等比数列{an}的前项和，S45S2，则此数列的公比q（ ）

A．-2或-1 B．1或2 C.1或2 D．2或-1 4． 若复数（m2﹣1）+（m+1）i为实数（i为虚数单位），则实数m的值为（ ） A．﹣1 B．0 A．（2，+∞）

C．1

D．﹣1或1

C．（4，+∞）

D．（0，4）

5． 若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（ ）

B．（0，2）

ax2x,x06． 已知f(x)，若不等式f(x2)f(x)对一切xR恒成立，则a的最大值为（ ）

2x, x07911A． B． C． D．

161624

7． 若a＞b，则下列不等式正确的是（ ） A．

B．a3＞b3

C．a2＞b2

D．a＞|b|

ex28． 已知函数f(x)=，关于x的方程f(x)-2af(x)+a-1=0（aÎR）有3个相异的实数根，则a的

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取值范围是（ ）

禳e2-1e2-1e2-1e2-1镲A．( ,+?) B．(-?,) C．(0,) D．睚2e-12e-12e-12e-1镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．

9． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 10．在平面直角坐标系中，若不等式组

（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）

A． B． C． D．

11．已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组A．

B．

22

所确定的平面区域在x+y=4内的面积为（ ）

C．π D．2π

12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． B．72 C．80 D．112

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【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.

二、填空题

13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

14．在等差数列{an}中，a17，公差为d，前项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为__________.

15．对于函数yf(x),xR,,“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”

的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 16．设函数f（x）=

17．已知f（x）=18．若非零向量

，

满足|

+

，则f（﹣）+f（）等于 ． |=|

﹣

|，则

与

所成角的大小为 ．

x的图象上（n∈N*），

若f[f（a）]

，则a的取值范围是 ．

三、解答题

19．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有

．

，求证：对任意正整数n≥2，总有

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20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，

21．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）． （1）当a=

1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； 2（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f（，f（的“活动函数”．已知函数fx1a1x）2x）

12122fxx2ax。.x2ax1-alnx,222若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

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22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

23． 坐标系与参数方程 线l：3x+4y﹣12=0与圆C：

24．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．

（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．

acosB．

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（1）当θ=

时，求点P距地面的高度PQ；

（2）试确定θ 的值，使得∠MPN取得最大值．

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伊吾县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．

故选：B．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

2． 【答案】C

【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）， 分析可得区域

表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；

=

，

x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为

22

由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x+y＜1的概率是

=

；

故选C．

【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．

3． 【答案】D 【解析】

试题分析：当公比q1时，S45S20，成立.当q1时，S4,S2都不等于，所以

S4S2q24, S2q2,故选D.

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考点：等比数列的性质.

4． 【答案】A

2

【解析】解：∵（m﹣1）+（m+1）i为实数， ∴m+1=0，解得m=﹣1， 故选A．

5． 【答案】C

2

2

【解析】解：令f（x）=x﹣mx+3， 则f（1）=1﹣m+3＜0， 解得：m∈（4，+∞）， 故选：C．

若方程x﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，

【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．

6． 【答案】C

【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．

当a0（如图1）、a0（如图2）时，不等式不可能恒成立；当a0时，如图3，直线y2(x2)与函数yaxx图象相切时，a观察图象可得a212，切点横坐标为，函数yaxx图象经过点(2,0)时，a，

32161，选C． 27． 【答案】B

【解析】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得： =﹣1， =﹣，显然A不正确． a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确． a2 =1，b2=4，显然C不正确． a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确． 故选 B．

【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．

8． 【答案】D

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yex1O

第Ⅱ卷（共90分）

9． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 10．【答案】B

【解析】【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域：

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由题知：

所以

故答案为：B 11．【答案】 B

【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2． 则f（x）=

x3﹣x2+ax，

2

函数的导数f′（x）=x﹣2x+a，

因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f′（0）=﹣3， 所以f′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2， 所以不等式组则不等式组

如图阴影部分表示，

所以圆内的阴影部分扇形即为所求． ∵kOB=﹣

，kOA=

，

为

22

确定的平面区域在圆x+y=4内的面积，

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∴tan∠BOA==1，

∴∠BOA=，

，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

×4×π=

，

∴扇形的圆心角为

22

∴圆x+y=4在区域D内的面积为

故选：B

【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．

12．【答案】C. 【

解

析

】

二、填空题

13．【答案】0.6

【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

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14．【答案】1d【解析】

试题分析：当且仅当n8时，等差数列{an}的前项和Sn取得最大值，则a80,a90，即77d0，

7 878d0，解得：1d考点：数列与不等式综合. 15．【答案】必要而不充分 【解析】

77.故本题正确答案为1d. 88试题分析：充分性不成立，如yx2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，yf(x)是奇函数，

|f(x)||f(x)||f(x)|，所以y|f(x)|的图象关于y轴对称.

考点：充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 16．【答案】

【解析】解：当∵当

，由

，f（a）=2（1﹣a），

，则

，

时，

． ，解得：

，所以

；

或a=1 ．

∵0≤2（1﹣a）≤1，若分析可得a=1． 若由综上得：故答案为：

，即，得：或a=1． 或a=1．

．

，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，

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【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为中档题．

17．【答案】 4 ．

【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=． f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣∴f（）+f（﹣）=+故答案为：4．

18．【答案】 90° ． 【解析】解：∵∴∴

=

．

）=f（）=2×=，

∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°

【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（I）解：∵点（an，Sn）在y=∴当n≥2时，∴

当n=1时，∴

=，化为

，解得a1=．

=

．

=2n+1，

，

，

，

x的图象上（n∈N*），

（2）证明：对任意正整数n都有

∴cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1 =（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3

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=

∴当n≥2时，∴

=，

又∴

==

=（n+1）（n﹣1）．

=

+…+

．

=

＜

=．

．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1， 又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1）， 设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵

=（0，1，），∴

•=（=

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

，，﹣1）， =0，所以DF⊥AE；

．

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．

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由题可知面ABC的法向量=（0，0，1）， ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=解得

或

=

，即

，

=

，

（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．

21．【答案】（1）fxmaxe21111,fxmin. （2）a的范围是, .

22241x2112'xx0，∴f（x）在区间[1，e]上为【解析】试题分析：（1）由题意得 f（x）=x+lnx，f2xx增函数，即可求出函数的最值．

试题解析：

（1）当

时，

，

；

对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，

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∴，．

（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令

＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，

且h（x）=f1（x）﹣f（x）=∵若

，令p′（x）=0，得极值点x1=1，

，

＜0对x∈（1，+∞）恒成立，

当x2＞x1=1，即 时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，

此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意； 当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意； 若

，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，

从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数； 要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 所以

≤a≤．

=

＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，

，

又因为h′（x）=﹣x+2a﹣h（x）＜h（1）=

+2a≤0，所以a≤

，]．

综合可知a的范围是[22．【答案】

【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵bsinA=由正弦定理可得：sinBsinA=∴B=

…

．

，

sinAcosB，即得tanB=

，

（2）△ABC的面积

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由已知及余弦定理，得

22

又a+c≥2ac，

．

故ac≤4，当且仅当a=c时，等号成立． 因此△ABC面积的最大值为

23．【答案】

【解析】解：圆C：

…

22

的标准方程为（x+1）+（y﹣2）=4

由于圆心C（﹣1，2）到直线l：3x+4y﹣12=0的距离 d=

故直线与圆相交 故他们的公共点有两个．

【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．

24．【答案】

【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ， 从而当

时，PQ=50﹣50cos

=75．

=＜2

即点P距地面的高度为75米．

（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ． 又PQ=50﹣50cosθ，所以tan

从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）=

，tan

．

=．

令g（θ）=则

．θ∈（0，π）

，θ∈（0，π）．

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由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得当数． 所以当θ=因为

．

时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函

时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x

时，g（θ）有极大值，也是最大值．

．所以

．

从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值． 即当值．

时，∠MPN取得最大值．

【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最

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