8知识讲解_余弦函数的图象与性质_提高

余弦函数的图象与性质

【学习目标】

1.了解作余弦函数图象的三种方法，会用“五点法”作出余弦函数的图象；

2.理解余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)． 【要点梳理】

要点一：余弦函数图象的画法 1．描点法：

按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法。 2．几何法

利用余弦线作出余弦函数在[0,2]内的图象，再通过平移得到ycosx的图象。

3．五点法

先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象。

在确定余弦函数ycosx在[0,2]上的图象形状时，起关键作用的五个点是

3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)

22要点诠释：

（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点。

（2）若xR，可先作出余弦函数在[0,2]上的图象，然后通过左、右平移可得到ycosx的图象。 （3）由诱导公式ycosxsin(x平移

2)，故ycosx的图象也可以将ysinx的图象上所有点向左

个单位长度得到。 2要点二：余弦函数的性质

余弦函数y=cosx 定义域：R

值域及最值：值域为[-1，1]；当x2k时，ymax1，当x2k时，ymin1。 奇偶性：偶函数

周期性：最小正周期2 单调区间：

增区间2k，2k k∈Z 减区间2k，2k k∈Z

对称中心：

(k对称轴：

2,0)k∈Z

xk k∈Z

要点诠释：

（1）余弦函数的值域为1,1，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是1,1，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．

1

（2）求余弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求

ycos(x)的单调递增区间时，应先将ycos(x)变换为ycosx再求解；二是根据单调性的定义，

所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．

要点三：三角函数定义域的求法

正弦函数ysinx和余弦函数ycosx的定义域都为R，在求由它们与其他函数复合而成的函数定义域时，可由解析式有意义得到关于正弦和余弦的三角不等式组，解之即可。 确定三角函数定义域的依据： （1）正、余弦函数的定义域。

（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。 （3）若函数是偶次根式函数，则被开方式非负。

（4）若函数是形如ylogaf(x)(a0,a1)的函数，则其定义域由f(x)0确定。

（5）若函数是由实际问题确定的，其定义域不仅要使解析式有意义，同时还要使实际问题有意义。 要点四：三角函数值域与最值的求法

1．直接法：直接利用ysinx和ycosx的有界性求值。 2．分离常数法：形如y域。

3．几何意义法：形如yacosxb(ac0)的函数，可先分离常数，再利用三角函数的有界性求值

ccosxdsinxb的函数，也可利用斜率的几何意义求值域。由于点cosx,sinx可

cosxd看成是单位圆上的动点，从而转化为定点于圆上动点连线的斜率问题。

【典型例题】 类型一：“五点法”作余弦函数的图象

例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．

（1）y1cosx；（2）ysinx133． 213【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数y1cosx在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于ysinx象即可．

【解析】 （1）描点、作图 x 0 3|cosx|，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图2 21  4 33 21 2 2 31y1cosx 3 其图象如下图所示． 2 32

（2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．

【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．

举一反三： 【变式1】用五点法作出函数ycosx6，x11,的图象． 66【思路点拨】取11,上五个关键的点． 66【解析】 找出五点，列表如下：

uxx 6 0  6 2 30  5 6－1 3 24 30 2 11 61 y=cos u 1 描点作图（如下图）．

【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．

类型二：余弦函数图象的应用

例2.比较cos37123，sin，cos，cos2410517cos，的大小． 4【解析】sin1771cos，coscos， 10442103

23cos517cos4∵ 033cos， cos55coscos， 447133， 4210254且ycosx在[0，]上是减函数，

∴ cos7331coscoscoscos， 4425210． 即cos7131723cossincoscos441025【总结升华】比较三角函数值大小的方法：

（1）把不同名的三角函数值的问题化为同名三角函数值的问题； （2）把不在同一区间上的角化为同一区间上的角； （3）利用三角函数在某一区间上的单调性进行比较． 举一反三：

高清课堂：正、余弦函数的图象 394835 例3 【变式1】下列各式中正确的为( )



7715C.cos>cos()

87A.sin>sin B.sin()

5639 D.cos()>cos()

)>sin(【答案】D

类型三：余弦函数的定义域与值域 例3．求下列函数定义域． （1）ysin(cosx)； （2）y36x2lg(cosx)．

【思路点拨】首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．

【解析】（1）要使函数有意义，只需sin(cosx)0． 又∵ cosx[1，1]，∴ cosx[0，1]．

∴ 函数定义域为x2kx2k，kZ． 2236x20，（2）要使函数有意义，只需

cosx0，4

6x6，即 2kx2k(kZ).22解得6x或325x2或x6．

32∴ 函数的定义域为6，举一反三：

33，，6． 2222【变式1】求函数ylgsin(cosx)的定义域.

【解析】由sin(cosx)02kcosx2k(k∈Z). 又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1. 故所求定义域为2k2，2k.

2【变式2】已知f(x)的定义域为［0，1)，求f(cosx)的定义域.

【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角. 【解析】0≤cosx＜12k∴所求函数的定义域为[2k22x2k2，且x2kkZ.

，2k)(2k，2k]，kZ. 222的最大值和最小值． 33例4．求函数y3cosx4cosx1，x，【思路点拨】将此函数看作是关于cosx的二次函数，利用二次函数在闭区间上的单调性和有界性可

解决问题．

21【解析】y3cos2x4cosx13cosx．

33∵ x，2211cosx，． ，∴ 33221215，即x时，ymax； 23411当cosx，即x时，ymin．

234从而当cosx【总结升华】（1）解题时要注意定义域，2对值域的影响； 33（2）二次函数求值域，注意对称轴与区间的关系对最值的影响．

【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。

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举一反三：

【变式1】求函数y【答案】, 【解析】

cosx2的值域：

cosx132cosx2cosx111， 1cosx1cosx11cosx13当cos x=－1时，ymin1，

22∵y∴函数的值域为,． 类型四：余弦函数的单调性 例5．求函数ycos322x的单调递减区间和最小正周期． 42x是关于x的复合函数，判断复合函数的单调性要综合考察内、外4【思路点拨】函数ycos层函数的单调性，最终判断y随x的增加是增加还是减少．

【解析】令t4∵ ycost在[2k，2x，t2k](kZ)上单调递增，

42x在(，)上单调递减，根据复合函数的单调性法则，得ycos减．

∴ 其单调递减区间为k52x在k，k(kZ)上单调递

8848，k5(kZ)． 8令f(x)cos2x， 4∵ cos2xcos2x2 44cos2(x)，

4∴ f(x)f(x)． ∴ 最小正周期T．

【总结升华】（1）在复合函数yf(g(x))中，若g(x)和yf()的增减性相同，则yf(g(x))为增函数；若g(x)和yf()的增减性相反，则yf(g(x))为减函数．

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（2）本题在求单调减区间时，也可先将函数解析式变形，再求其减区间：

ycos2x变形为ycos2x，则由2k2x2k，

444解得k8xk5(kZ)． 8故原函数的单调递减区间为k举一反三： 【变式1】（1）y8，k5(kZ)． 812xsin（2）ylog1sinx。 ；2432 【思路点拨】（1）要将原函数化为y12xsin再求之（2）这个函数是复合函数，复合函234数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。

【解析】（1）y112x2xsinsin. 243234故由2kπ-3kπ-

π2xππ≤-≤2kπ+. 23423π9π≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间； 88π2xπ3π≤-≤2kπ+. 23429π21π≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间. 883π9π，3kπ+］， 88由2kπ+3kπ+

∴递减区间为［3kπ-递增区间为［3kπ+

9π21π，3kπ+］(k∈Z). 88（2）由sin x＞0，得2k＜x＜2k+（k∈Z）。

∵

11，∴函数ylog1sinx的递增区间即为u=sin x的递减区间， 22∴2k2x2k（k∈Z）。

故函数ylog1sinx的递增区间为2k2,2k（k∈Z）。 2【总结升华】（1）求函数yAsin(x)的单调区间时，应由2k∈Z）或2k法的应用。

2x2k2（k

3x2k（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元227

（2）求单调区间应在定义域内求解。 类型五：余弦函数的奇偶性

例6．判断下列函数的奇偶性：

(x)1sinxcos2（1）fx1sinx；

（2）f(x)lg(1sinx)lg(1sinx) （3）f(x)cosx11cosx；

（4）f(x)sin(cosx)．

【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，利用函数奇偶性的定义予以判断． 【解析】（1）函数应满足1sinx0， ∴ 函数定义域为xx2k32，kZ． ∵ 函数定义域不关于原点对称，

∴ 函数是非奇非偶函数． （2）由1sinx01sinx01sinx1，

得函数定义域为xxR，且x2k，kZ，关于原点对称． 又f(x)lg[1sin(x)]lg[1sin(x)]lg(1sinx)lg(1sinx)f(x)． ∴ 函数f(x)是奇函数．

（3）由1cosx0x10cosx1，

cos∴ x2k(kZ)，

∴ 定义域关于原点对称，而此时f(x)0， ∴ f(x)cosx11cosx即是奇函数又是偶函数．

（4）函数的定义域为R，且f(x)sin[cos(x)]sin(cosx)f(x)， ∴ 函数f(x)sin(cosx)是偶函数．

【总结升华】判断函数奇偶性时，应先化简，再判断，但要注意化简后对定义域的影响．举一反三：

【变式】关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题：

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①对任意的，f(x)都是非奇非偶函数； ②不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数； ③存在，使f(x)是奇函数； ④对任意的，f(x)都不是偶函数.

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】

当=2kπ，k∈Z时，f(x)=sinx是奇函数. 当=2(k+1)π，k∈Z时f(x)sinx仍是奇函数. 当=2kπ+

2，k∈Z时，f(x)=cosx，

当=2kπ-2，k∈Z时，f(x)=-cosx，f(x)都是偶函数.

所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.

【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，

2+kπ(k∈Z)；或者④，

2+kπ(k∈Z)

类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用

例7．奇函数f(x)在其定义域取值范围．

【思路点拨】根据已知条件，先求出f(0)0，然后把所给的不等式整理，利用已知函数的奇偶性和单调性，将“f”去掉，解关于cos的不等式组即可．

【答案】(2k,2k)2k,2k(kz)

44【解析】∵ f(x)在，上是奇函数， ∴ f(0)f(0)，即f(0)f(0)， ∴ f(0)0．

又∵ f(1cos)f(1cos)f(0)， ∴ f(1cos)f(1cos)f(cos1)．

222112,上是减函数，且f(1cos)f(1cos)f(0)，求的2211229

∵ f(x)在，上是减函数，

1122111cos，2211 ∴ cos21，221coscos21，2cos1 22k,2k(kz)

44【总结升华】本题将抽象函数、余弦函数、函数的性质和解不等式联系在一起，具有一定的综合性，解题时要考虑每一个条件在解题中的应用。

举一反三：

(2k,2k)6cos4x5cos2x1【变式1】已知函数f(x)=，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值

cos2x域.

【解析】由cos2x≠0得2x≠kπ+

2，解得x≠k24，k∈Z，

所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠因为f(x)的定义域关于原点对称，

k，k∈Z}， 246cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f(x)==f(x). cos(2x)cos2x所以f(x)是偶函数.

又当x≠

k(k∈Z)时， 246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)3cos2x1. f(x)=

cos2xcos2x所以f(x)的值域为{y|-1≤y<

11或【变式2】已知f(x)是定义在实数集上的函数，且对任意x都有f(x2)[1f(x)]1f(x)。 （1）求证：f(x)是周期函数；

（2）若f(1)23，试求f(2011)的值。

【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即f(xT)f(x)，T就是周期。 【答案】（1）略（2）3 【解析】 （1）证明：由已知f(x2)[1f(x)]1f(x)，∴f(x2)1f(x)。

1f(x)11f(x2)1∴f(x4)f[(x2)2]1f(x2)1111∴f(x8)f[(x4)4]f(x)1f(x)。 f(x)f(x)f(x)1f(x)，即f(x8)f(x)。

f(x4)∴f(x)是以8为周期的函数。 （2）∵f(1)23。

由f(x2)[1f(x)]1f(x)f(3)1f(1)333，

1f(1)(13)∴f(2011)f(25183)f(3)3。

【总结升华】（1）证明函数yf(x)是周期函数：一可利用定义f(xT)f(x)（x为定义域内任意值都成立），则常数T（T≠0）为f(x)的周期；二可利用函数的图象判断出函数的周期。

（2）周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2（n∈Z，T为周期），则f(x1)f(x2)。

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