余弦函数的图象与性质
【学习目标】
1.了解作余弦函数图象的三种方法,会用“五点法”作出余弦函数的图象;
2.理解余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x轴的交点等). 【要点梳理】
要点一:余弦函数图象的画法 1.描点法:
按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法。 2.几何法
利用余弦线作出余弦函数在[0,2]内的图象,再通过平移得到ycosx的图象。
3.五点法
先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点,再利用光滑曲线把这五点连接起来,就得到余弦曲线在一个周期内的图象。
在确定余弦函数ycosx在[0,2]上的图象形状时,起关键作用的五个点是
3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)
22要点诠释:
(1)熟记余弦函数图象起关键作用的五点。
(2)若xR,可先作出余弦函数在[0,2]上的图象,然后通过左、右平移可得到ycosx的图象。 (3)由诱导公式ycosxsin(x平移
2),故ycosx的图象也可以将ysinx的图象上所有点向左
个单位长度得到。 2要点二:余弦函数的性质
余弦函数y=cosx 定义域:R
值域及最值:值域为[-1,1];当x2k时,ymax1,当x2k时,ymin1。 奇偶性:偶函数
周期性:最小正周期2 单调区间:
增区间2k,2k k∈Z 减区间2k,2k k∈Z
对称中心:
(k对称轴:
2,0)k∈Z
xk k∈Z
要点诠释:
(1)余弦函数的值域为1,1,是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线,如果定义域不是全体实数,那么余弦函数的值域就可能不是1,1,因而求余弦函数的值域时,要特别注意其定义域.
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(2)求余弦函数的单调区间时,易错点有二:一是单调区间容易求反,要注意增减区间的求法,如求
ycos(x)的单调递增区间时,应先将ycos(x)变换为ycosx再求解;二是根据单调性的定义,
所求的单调区间必须在函数的定义域内,因此求单调区间时,必须先求定义域.
要点三:三角函数定义域的求法
正弦函数ysinx和余弦函数ycosx的定义域都为R,在求由它们与其他函数复合而成的函数定义域时,可由解析式有意义得到关于正弦和余弦的三角不等式组,解之即可。 确定三角函数定义域的依据: (1)正、余弦函数的定义域。
(2)若函数是分式函数,则分母不能为零。 (3)若函数是偶次根式函数,则被开方式非负。
(4)若函数是形如ylogaf(x)(a0,a1)的函数,则其定义域由f(x)0确定。
(5)若函数是由实际问题确定的,其定义域不仅要使解析式有意义,同时还要使实际问题有意义。 要点四:三角函数值域与最值的求法
1.直接法:直接利用ysinx和ycosx的有界性求值。 2.分离常数法:形如y域。
3.几何意义法:形如yacosxb(ac0)的函数,可先分离常数,再利用三角函数的有界性求值
ccosxdsinxb的函数,也可利用斜率的几何意义求值域。由于点cosx,sinx可
cosxd看成是单位圆上的动点,从而转化为定点于圆上动点连线的斜率问题。
【典型例题】 类型一:“五点法”作余弦函数的图象
例1.作出下列函数在[-2π,2π]上的图象.
(1)y1cosx;(2)ysinx133. 213【思路点拨】(1)先利用五点法作出函数y1cosx在[0,2π]上的图象,然后作出它关于y轴对称的图象即可.(2)由于ysinx象即可.
【解析】 (1)描点、作图 x 0 3|cosx|,因此只需作出函数y=|cos x|,x∈[-2π,2π]的图2 21 4 33 21 2 2 31y1cosx 3 其图象如下图所示. 2 32
(2)函数y=|cos x|,x∈[-2π,2π]的图象可采用将函数y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到,所得图象如下图所示.
【总结升华】 作图是一项很重要的能力,而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法.在利用“五点法”作图时,一定要弄清楚是哪五点,为什么要取这五点等.此外第(2)小题中我们使用了对称变换,并且我们还可以发现,加了绝对值后,其周期变为原来的一半了.
举一反三: 【变式1】用五点法作出函数ycosx6,x11,的图象. 66【思路点拨】取11,上五个关键的点. 66【解析】 找出五点,列表如下:
uxx 6 0 6 2 30 5 6-1 3 24 30 2 11 61 y=cos u 1 描点作图(如下图).
【总结升华】 在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,即可得到函数的简图,这种近似的“五点法”是非常实用的.
类型二:余弦函数图象的应用
例2.比较cos37123,sin,cos,cos2410517cos,的大小. 4【解析】sin1771cos,coscos, 10442103
23cos517cos4∵ 033cos, cos55coscos, 447133, 4210254且ycosx在[0,]上是减函数,
∴ cos7331coscoscoscos, 4425210. 即cos7131723cossincoscos441025【总结升华】比较三角函数值大小的方法:
(1)把不同名的三角函数值的问题化为同名三角函数值的问题; (2)把不在同一区间上的角化为同一区间上的角; (3)利用三角函数在某一区间上的单调性进行比较. 举一反三:
高清课堂:正、余弦函数的图象 394835 例3 【变式1】下列各式中正确的为( )
7715C.cos>cos()
87A.sin>sin B.sin()
5639 D.cos()>cos()
)>sin(【答案】D
类型三:余弦函数的定义域与值域 例3.求下列函数定义域. (1)ysin(cosx); (2)y36x2lg(cosx).
【思路点拨】首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组,然后分别求解,最后求交集即可.
【解析】(1)要使函数有意义,只需sin(cosx)0. 又∵ cosx[1,1],∴ cosx[0,1].
∴ 函数定义域为x2kx2k,kZ. 2236x20,(2)要使函数有意义,只需
cosx0,4
6x6,即 2kx2k(kZ).22解得6x或325x2或x6.
32∴ 函数的定义域为6,举一反三:
33,,6. 2222【变式1】求函数ylgsin(cosx)的定义域.
【解析】由sin(cosx)02kcosx2k(k∈Z). 又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1. 故所求定义域为2k2,2k.
2【变式2】已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cosx)的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域:要使0≤cosx<1,这里的cosx以它的值充当角. 【解析】0≤cosx<12k∴所求函数的定义域为[2k22x2k2,且x2kkZ.
,2k)(2k,2k],kZ. 222的最大值和最小值. 33例4.求函数y3cosx4cosx1,x,【思路点拨】将此函数看作是关于cosx的二次函数,利用二次函数在闭区间上的单调性和有界性可
解决问题.
21【解析】y3cos2x4cosx13cosx.
33∵ x,2211cosx,. ,∴ 33221215,即x时,ymax; 23411当cosx,即x时,ymin.
234从而当cosx【总结升华】(1)解题时要注意定义域,2对值域的影响; 33(2)二次函数求值域,注意对称轴与区间的关系对最值的影响.
【总结升华】 一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质。
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举一反三:
【变式1】求函数y【答案】, 【解析】
cosx2的值域:
cosx132cosx2cosx111, 1cosx1cosx11cosx13当cos x=-1时,ymin1,
22∵y∴函数的值域为,. 类型四:余弦函数的单调性 例5.求函数ycos322x的单调递减区间和最小正周期. 42x是关于x的复合函数,判断复合函数的单调性要综合考察内、外4【思路点拨】函数ycos层函数的单调性,最终判断y随x的增加是增加还是减少.
【解析】令t4∵ ycost在[2k,2x,t2k](kZ)上单调递增,
42x在(,)上单调递减,根据复合函数的单调性法则,得ycos减.
∴ 其单调递减区间为k52x在k,k(kZ)上单调递
8848,k5(kZ). 8令f(x)cos2x, 4∵ cos2xcos2x2 44cos2(x),
4∴ f(x)f(x). ∴ 最小正周期T.
【总结升华】(1)在复合函数yf(g(x))中,若g(x)和yf()的增减性相同,则yf(g(x))为增函数;若g(x)和yf()的增减性相反,则yf(g(x))为减函数.
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(2)本题在求单调减区间时,也可先将函数解析式变形,再求其减区间:
ycos2x变形为ycos2x,则由2k2x2k,
444解得k8xk5(kZ). 8故原函数的单调递减区间为k举一反三: 【变式1】(1)y8,k5(kZ). 812xsin(2)ylog1sinx。 ;2432 【思路点拨】(1)要将原函数化为y12xsin再求之(2)这个函数是复合函数,复合函234数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定,即“同增异减”。
【解析】(1)y112x2xsinsin. 243234故由2kπ-3kπ-
π2xππ≤-≤2kπ+. 23423π9π≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间; 88π2xπ3π≤-≤2kπ+. 23429π21π≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间. 883π9π,3kπ+], 88由2kπ+3kπ+
∴递减区间为[3kπ-递增区间为[3kπ+
9π21π,3kπ+](k∈Z). 88(2)由sin x>0,得2k<x<2k+(k∈Z)。
∵
11,∴函数ylog1sinx的递增区间即为u=sin x的递减区间, 22∴2k2x2k(k∈Z)。
故函数ylog1sinx的递增区间为2k2,2k(k∈Z)。 2【总结升华】(1)求函数yAsin(x)的单调区间时,应由2k∈Z)或2k法的应用。
2x2k2(k
3x2k(k∈Z),求得x的范围,即为函数的单调区间,这实际上是换元227
(2)求单调区间应在定义域内求解。 类型五:余弦函数的奇偶性
例6.判断下列函数的奇偶性:
(x)1sinxcos2(1)fx1sinx;
(2)f(x)lg(1sinx)lg(1sinx) (3)f(x)cosx11cosx;
(4)f(x)sin(cosx).
【思路点拨】本题考查函数的奇偶性,利用函数奇偶性的定义予以判断. 【解析】(1)函数应满足1sinx0, ∴ 函数定义域为xx2k32,kZ. ∵ 函数定义域不关于原点对称,
∴ 函数是非奇非偶函数. (2)由1sinx01sinx01sinx1,
得函数定义域为xxR,且x2k,kZ,关于原点对称. 又f(x)lg[1sin(x)]lg[1sin(x)]lg(1sinx)lg(1sinx)f(x). ∴ 函数f(x)是奇函数.
(3)由1cosx0x10cosx1,
cos∴ x2k(kZ),
∴ 定义域关于原点对称,而此时f(x)0, ∴ f(x)cosx11cosx即是奇函数又是偶函数.
(4)函数的定义域为R,且f(x)sin[cos(x)]sin(cosx)f(x), ∴ 函数f(x)sin(cosx)是偶函数.
【总结升华】判断函数奇偶性时,应先化简,再判断,但要注意化简后对定义域的影响.举一反三:
【变式】关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
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①对任意的,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在,使f(x)是奇函数; ④对任意的,f(x)都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立. 【思路点拨】
当=2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx是奇函数. 当=2(k+1)π,k∈Z时f(x)sinx仍是奇函数. 当=2kπ+
2,k∈Z时,f(x)=cosx,
当=2kπ-2,k∈Z时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①,kπ(k∈Z);或者①,
2+kπ(k∈Z);或者④,
2+kπ(k∈Z)
类型六:正弦函数、余弦函数性质的综合应用
例7.奇函数f(x)在其定义域取值范围.
【思路点拨】根据已知条件,先求出f(0)0,然后把所给的不等式整理,利用已知函数的奇偶性和单调性,将“f”去掉,解关于cos的不等式组即可.
【答案】(2k,2k)2k,2k(kz)
44【解析】∵ f(x)在,上是奇函数, ∴ f(0)f(0),即f(0)f(0), ∴ f(0)0.
又∵ f(1cos)f(1cos)f(0), ∴ f(1cos)f(1cos)f(cos1).
222112,上是减函数,且f(1cos)f(1cos)f(0),求的2211229
∵ f(x)在,上是减函数,
1122111cos,2211 ∴ cos21,221coscos21,2cos1 22k,2k(kz)
44【总结升华】本题将抽象函数、余弦函数、函数的性质和解不等式联系在一起,具有一定的综合性,解题时要考虑每一个条件在解题中的应用。
举一反三:
(2k,2k)6cos4x5cos2x1【变式1】已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值
cos2x域.
【解析】由cos2x≠0得2x≠kπ+
2,解得x≠k24,k∈Z,
所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠因为f(x)的定义域关于原点对称,
k,k∈Z}, 246cos4(x)5cos2(x)16cos4x5cos2x1且f(x)==f(x). cos(2x)cos2x所以f(x)是偶函数.
又当x≠
k(k∈Z)时, 246cos4x5cos2x1(2cos2x1)(3cos2x1)3cos2x1. f(x)=
cos2xcos2x所以f(x)的值域为{y|-1≤y<
11或 (2)若f(1)23,试求f(2011)的值。 【思路点拨】证明函数的周期性,一般都是用定义证明,即f(xT)f(x),T就是周期。 【答案】(1)略(2)3 【解析】 (1)证明:由已知f(x2)[1f(x)]1f(x),∴f(x2)1f(x)。 1f(x)11f(x2)1∴f(x4)f[(x2)2]1f(x2)1111∴f(x8)f[(x4)4]f(x)1f(x)。 f(x)f(x)f(x)1f(x),即f(x8)f(x)。 f(x4)∴f(x)是以8为周期的函数。 (2)∵f(1)23。 由f(x2)[1f(x)]1f(x)f(3)1f(1)333, 1f(1)(13)∴f(2011)f(25183)f(3)3。 【总结升华】(1)证明函数yf(x)是周期函数:一可利用定义f(xT)f(x)(x为定义域内任意值都成立),则常数T(T≠0)为f(x)的周期;二可利用函数的图象判断出函数的周期。 (2)周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2(n∈Z,T为周期),则f(x1)f(x2)。 11 12 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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