线性代数答案赵树嫄主编

习题一（A）

1t221t1，（6）2t1t22t2221t2(1t)4t1

(1t2)21t21t2 （7）

1logba0

logab12，（3）－7

（4）0

k344，1k0k2k0，k0或者k1．

0k131x5，4x02x24x0,x0且x2．

10x8,（1）4 （2）7 （3）13

n(n1) 210, 列号为3k42l,故k、l可以选1或5；若k=1,l=5,则N(31425)=3,为负号；故k=1,l=5.

（4） N( n(n-1)…21 )＝（n-1）+(n-2)+…+2+1=

12，（1）不等于零的项为a13a22a34a411

（2）a12a23a34...an1,nan1(1)N(234...n1)n!(1)n1n！ 13，（3）

342153521534215100061230c2c1r1r26123000

2809229092280921000280921000 （4）将各列加到第一列，

17，（1）从第二行开始每行加上第一行，得到

11111111111111111111022200220002....8.

（2）r4r3,r3r2,r2r1…

1 / 22

（3）各列之和相等，各行加到第一行… 18，（3）

20，第一行加到各行得到上三角形行列式，

21，各行之和相等，将各列加到第一列并且提出公因式(n1)x

11x0xxxxxxxx0xxx (n1)x11x0从第二行开始各行减去第一行得到

22，最后一列分别乘以a1,a2,...an1再分别加到第1，2，…n-1列得到上三角形行列式

23，按第一列展开

24，将第二列加第一列，然后第三列加第二列，….第n列加第n-1列，最后按第一行展开。

(1)n(n1)a1a2...an.

125，（1）

133221325r2r1r4r3120130201305(1x2)(4x2)0

12x22201x219x204x2（2）各行之和相等…

（3）与22题类似…

（4）当x0,1,2,3,...n2时，代入行列式都会使行列式有两行相同，所以它们都是方程的根。

1040140140211228，A41A42A43A44(6)212(6)03018

06001111111111129,A11A12A13A14111cbb其中1，3两行对应成比例，所以为零.

bbbdaddbc32，从第二行开始每一行乘以（－1）加到上一行然后按第一列展开 33，按第一列展开 34，原方程化为

2 / 22

11002x0012x21312x2(x2)(x24)…. 21x2xx1xx0111x1r1r2r3r4100y1y10101011xy1x1111x135,

111y111 xy01 y001x2y2＝0

11100110011y0111x1010x011y0y解得x0或者y0

1136，

1112481113(21)(11)(12)(31)(32)(31)48（范德蒙行列式） 1912737，解 40，（3）D=63，D1=63，D2=126， D3=1

（6）D=20，D1=60，D2=-80， D3=-－20，D4=20

232342，∵1241243330

18220558201822 ∴原方程仅有零解。

k11k2322022106943，令1k1211k10(k2)(k1)6k23k40， 11 得 k1或k4；故当k1或k4时原齐次方程组有非零解。 44，原齐次方程组的系数行列式

即当k1且k2时原齐次方程组仅有零解。

习题二（A）

－1315 82822，（1）3AB379133 / 22

141387 －25－25 （2）2A＋3B16523111 4040（3）xBA1335 （4）由(2A—Y)+2(B—Y)=0得 3Y=2（A+B）

5533220202∴ Y(AB)331133101033403223320224 32x2u33，因为A2BCx2y72v40得方程组 yv4x2u30x2y7解得x＝－5，y＝－6，u＝4，v＝－2 2v40yv401104－5，（2） 14－3－123 14 246 （3）369－105－117＝－629 15 （7）16102532ac25ac4611，（1）设X＝，则 bd13bd212a5b2c5d46a3bc3d21，得到方程组 a22a5b4解得， b0a3b24 / 22

2c5d－6c－23与解得.

c3d1d82－23. X＝80－－2 －45－2 （2）X＝－97－4x111x2，211y3， y （3）设X＝z111z6xyz2x11. 3 2xyz3，解得y3于是X＝xyz6z22ab11abab1113．设所有可交换的矩阵为X则01cdcd01， cdabacbdaabab解得从而. Xcdccd0ac0da111111111116，（3）因为，所以0000. 00000011111112 （4）因为010101用数学归纳法可以推得 01111n . 0101n2n11111122112 （5）因为11112211故可以推出 11111111n111...2 111111. 11n220，mA(m)3Am3mm4

5 / 22

21，2AAT2mAT(2m)nAT2nmn1.

28，因为(ATA)TAT(AT)TATA，所以AAT为对称矩阵.

因为(AAT)T(AT)TATAAT，所以AAT为对称矩阵.

A131, (1)，原矩阵为A3A2B1A40B2A1B1B4A3B121A1B2A2B4，其中 12A3B2A4B4321202A1B111111210101A1B2A2B4011112； 110A3B1033；

11A3B2A4B40321022；

0aI（3），记原矩阵为Ia0100aca00cbd100IcI，则有 bI0dI0ac． 0cbd33，A34A12A2A34A1A32A2A3

abab1db34，（2）因为. adbc0，所以adbccacdcd143143，A1153. 153（4）因为A1，故可逆.A*16411（6）因为Aa1a2...an0,故可逆. Aiia1a2...ai1ai1an(i12...n),

6 / 22

a2a3...an A*011a011,Aa1a2...an10. 1an02546354622340, (1)X. 1321122108113111210432(2X1251111110113222111452) 432974125311220111121(3)X21132111612131301321133. 6621242, 由AXIA2X得到AXXA2I,(AI)X(AI)(AI),

201. XAI14002244, 两边同乘以(IA)(IA)1(IA)(IAA2...Ak1)IAkI. 45, 由A22A4I0得到(AI)(A3I)I,于是AI可逆并且 (AI)1A3I. 51, 因为A12, (3A)12A*112216. A2AA1A1()3A133327152, 2(ATB1)12B(A1)T(2)3BA1(8)312.

253, (3),初等行变换得到

7 / 22

13131010000001. 13 (6),21050100, (1)

101021100143r2r3r44r2010153, 011011rr1r330011640011223143153. 110所以 1211110(4), 00100010003571000101230100012001000010001001000010000110020131101230100 012001000100011311200121, 001200013571311200121123. 0012012001000141412004100255, (1),, 615820040154015402 XA1B. 5411111111101302520016 0252(2), 1013012201221009100901014, 0016 0101400168 / 22

9. 14 XA1B656,

101301101301100522110110011211010432, 012014001223001223522B(A2I)1A432. 223123457, (1) 12451234041111012,秩为2. 0000 (3)

11210210210122420110000110000001033061100410400003001303001000300100 秩为3. (4)秩为3.

11158, 初等行变换得到121111010,因为秩为2必有 101230 10, 1.

11111111059，112a123010a100 a100001 当a1,r(A)2;当a1,r(A)3．

11212160, A1a211110a142, 31b04b64因为r(A)2,所以第二第三两行成比例从而得到

4a1b42解得a1, b2 9 / 22

210001040000习题三（A）

1，

用消元法解下列线性方程组 2x1x23x33（1）3x1x25x304x1x2x33

x13x213x36解

2133131361313613(A,b)31501801315008344113411301327013131362133530729150713136131363136 01530153101530012120110011，回代， 0066000110000131360231001015310153010200110110011，方程组有唯一0000000000000x11解：x22

x31x12x2x3（2）x41x12x2x3x41

x12x2x35x4512111解：(A,b)1211112111121110002200022，

12155000000010系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3；方程组无解．

x1x2x3x41 （3）x1x2x3x40

x2x11x232x42 解： （A，ｂ）＝

10 / 22

13653532729151100001100001112xxxx2112212，得到同解方程组 2xx1xx13434022设x2c1，x4c2，则得到一般解为

x1x23x4x50xx2xx01234 （6）

4x2x6x3x4x0234512x14x22x34x47x50解：A＝

1000111111120100103000000370651106，得到同解的方程组 1001300000177xxx5xxx0311365655， xxx5 令x3c1，x5c2， xxx0223356611xxx043x54357xcc2116xc5c2162得到x3c1

1x4c23x5c22，

确定a,b的值使下列线性方程组有解，并求其解

11 / 22

ax1x2x31（2）x1ax2x3a

2x1x2ax3aa11解： 方程的系数行列式D=1a1(a1)2(a2)

11a当a2且a１时，D0,方程有唯一解,

1D1aa211a111(a1)2， aa1(a1)2(a1)，D21a1a1a21ax12aa111D31aa(a1)2(a1)2，于是得x2

2a11a21＋2a+a2x32a当a1时,方程组为x1x2x31，x1＝－x2－x3＋1，方程组有无穷多解，

x1c1c2+1； x2c1xc232x1x2x31当a2时，方程组为x12x2x32，其增广矩阵为

xx2x431221112111（A， b）＝12121212，r(A)=2,r(A，b)=3,方程组11240003无 解．

ax1bx22x31补充，(b1)x2x30

axbx(1b)x32b231b21ab21a0b1 0b11010解：(A,b)b1b32b01b22ba012 / 22

①当a0,b1时有唯一解，此时，增广矩阵为

5b53b5bxab0a001a(１＋ｂ)１＋ｂ１＋ｂ2－2b－201０，解为x－20b1０； 21＋b1＋b1＋b－2＋2b－2＋2b000１－2＋2b0１x31＋b1＋b1＋b１cx1a②当a0,且b=1时,有无穷多解，x2c

x03x1c且b=1有无穷多解，x21 ③当a0,x03x1c1且b=-1有无穷多解，x2 ④a0,3x303, (1) 31225344(23,18,17) (2) 512234(12,12,11)

4，（1）=-(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)，

1351127 （2）=(35)(3,5,7,9)(1,5,2,0)(7,5,,)

222226，（1）（a）设k11k22k33，

得k1(1,0,1)k2(1,1,1)k3(0,1,1)(3,5,6)

110k13k5， 011 化为方程组2111k36∴ 11114293

T （b）对矩阵12T3TT进行初等行变换：

13 / 22

1011110113105600100011114可得 9（2） 212534． 9，由题设得到

1211111111111111，∴111＝22220111333111312 即111111112，223，313． 222222121200112 2312102123123510，（1）矩阵为02502501，可知 21020250003212 ；线性相关． 11 （2）矩阵为31 a11a225231242102701030012101220030310023，线性无关． 1011，由对应向量构成的矩阵的行列式等于

ann0，线性无关．

12101110， 12，由对应向量构成的矩阵2231303201130，∴1,23 线性相关． 00∵ 1113, 证明:令k11k2(12)k3(123)...ks(12...s)0, 整理得到(k1...ks)1(k2...ks)2...kss0.

因为1,2,...,s线性无关, 所以有

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k1...ks0k10k...k0k022s, 解得, 从而向量组1,12,...,12...s............................ks0ks0线性无关.

k2114，令2k0k２k60，k=3,-2 111当k3且k-2时，线性无关；当k=3或-2时，线性相关．

16，（1）对矩阵ATTT1T234施以初等行变换，得到 100210020101010100130013， 11100000∴1,2,3是极大线性无关组，421－233

（2）对矩阵ATTTT1234施以初等行变换，得到

1,2,3是极大线性无关组, 41243

17，对AT1T2T3T4施以初等行变换，得到

115111511151（1）112372027401 3181213970274000414800000010312 01722，∴ 1,2是极大线性无关组；000000003732122，4122

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并且1111（2）2131143235563111431022620105011317022620021100001231 0000 1,2是极大线性无关组；并且3212，4132，5212 20，（1）对系数矩阵进行变换得

1247124710000510150120得方程组 A2121023124000001x100x10x10x222．V即为基础解系． x22x30x22x3 令x31, 得1x0x0x3144x0401－21－111－21－1121－12－305－34－5 (2) (Ab)3－2－11－204－44－502－51－220－1－101－21－11011000－84－500000017－281510－28得方程组

1501－2800000010 00171x－xxx－4511282x1115 x2－x4x5．令4得到x2－：

228x50115xxxx323248571827x181582x405 再令得到x2于是基础解系为1,2．

8x1515825x01380116 / 22

111－21111－2121－11105－333 (3) (Ab)17－55509－6663－12110552210111100111101 0011100002110000100000得到方程组 00110x100x02令x51得x41，得到基础解系为0． x031xx54123，对系数或增广矩阵进行变换得

21112047202103001201（1）01360136002225000000015012得方程组 1200x115c2x15x02x15x1144x24c2 x212x40x212x4 ，令x42c得到．

x4cx2x0x2x34433x42c1524基础解系为vc，其中c为任意常数．

4213（2）05112112431171013226230311201010000110201700 6230010 0000151600000得方程组 1026230100017 / 22

x1x45x516x1x45x516x22x46x523x22x46x523， x0x033x1x45x5对应的齐次线性方程组为x22x46x5

x03x116x232x40 令，得特解x30，

x50x04x50x11x22x41 再令得x30，

x50x14x50x1515x6262x40 ，得x30,基础解系为0,0

x51x010401x5116152326 原方程组的通解为U0c10c20，其中c1， c2为任意常数．

0100011313（Ab）＝1－2 (3)，

1－41252111－4011300－21－1r2r1,r3r10－5－1－13r4r1,r5r11－130－7－11－10－15－401－321－2－43－12

－45－12－431－2得到方程组

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11－2x－x510211x1x－1225＝，特解，基础解系0＝2， 0x3011－x＝－1x－10452211－20112于是全部解是0＋c(cR)． 011－02124, (A,b)1111131112211112110－11－22301－1－20 331211210－10－11－01－0202－－（31）0－（－1）（＋2）（31）00

讨论如下：

（1） 当＝－2时，方程组无解； （2） 当－2且－1时有唯一解； （3） 当时有无穷多解：此时方程组为

x1＋x2＋x3－2．基础解系为

－1－1－21，0，特解为0，全部解为 010－2－1－10＋c1c0(c,c为任意实数)． 121200125，将增广矩阵化为T阵，得

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100011100001100i5i100110000111a10a20a30a4a5011000011000011000010a2a3，可知 a4i5aii1a1当且仅当ai＝0时方程组有解；一般解为

x1a1a2a3a4cx1a1a2a3a4x5x2a2a3a4cxaaax22345即（c为任意实数） x3a3a4cxaax3453xac44x4a4x5x5c习题四（A）

1，（1）由IA211(2)210得到特征值为11,23． 2 以11代入，得方程组IAX1211x1-x1x20，， 012x2-x1x20１ｃ的全部特征向量． 2(c20)是对应于特征值2313563561 111 （2）由IA221210359(2)(2)2＝0，111 (2)1,2,32, 010 即x12x2x30，

是对应于特征值1，２，３２的全部特征向量．

－１－１－１－１－1－１－１－１－１111－１111（3）IA －１1110-220－１1110-20220 / 22

(2)2－1－3－１－１－１11100001001(2)3(2)＝0

特征值为1,2,32,42．

111100, 以1,2,32代入得基础解系是，010001111100c1c2c3(c1,c２,c３不全为零)． 01000111得基础解系， 以４－2代入，1111对应于特征值42的全部特征向量是c4(c40)．

1101010210(4), IA01100010

 (1)(21)(1)2(1)0, 得到 1,21,31,

01,0,对应的全部特征向量为 1 当1,21,x1x3,得到基础解系0101c0(c,c不全为零), c112120121 / 22

x1x3当31时, 解方程组得到基础解系

x0211, 全部特征向量为c0(c0). 0 33113，由题设，AX0X

（1）(kA)Xk(AX)(k0)X，即kA的特征值为k0． （2）由A可逆，00 A1的特征值为01．

（3）(IA)XIXAXX0X1.X0X(10)X IA的特征值为10． 4，设AX0X， 5, 以0代入

xIA0202020x2000030300,得到x2. 022代入IA0222020 230002230 (3)222(3)(4)0,解得 2 10,23,34. 所以其他特征值为23,34.

8，如果A可逆，则A1存在，并且A1(AB)A(A1A)BABA ∴ AB

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BA．

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