2020年甘肃省平凉市中考数学试卷附详细答案解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．

1．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的 是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在甘肃酒泉发射升空，与天宫二号在距离地面393000米的 太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的 轨道高度．393000用科学记数法表示为（ ）

A．39.3×104 B．3.93×105 C．3.93×106 D．0.393×106 3．（3分）4的 平方根是（ ） A．16 B．2 C．±2 D．

4．（3分）某种零件模型可以看成如图所示的 几何体（空心圆柱），该几何体的 俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

5．（3分）下列计算正确的 是（ ）

1

A．x2+x2=x4 B．x8÷x2=x4 C．x2•x3=x6 D．（﹣x）2﹣x2=0 6．（3分）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（ ）

A．115° B．120° C．135° D．145°

7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的 图象如图所示，观察图象可得（ ）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 8．（3分）已知a，b，c是△ABC的 三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的 结果为（ ）

A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0

9．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的 矩形空地上修建三条同样宽的 道路，剩余的 空地上种植草坪，使草坪的 面积为570m2．若设道路的 宽为xm，则下面所列方程正确的 是（ ）

2

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 10．（3分）如图①，在边长为4cm的 正方形ABCD中，点P以每秒2cm的 速度从点A出发，沿AB→BC的 路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的 长度y（cm）与点P的 运动时间x（秒）的 函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的 长是（ ）

A．

B． C．

D．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 11．（3分）分解因式：x2﹣2x+1= ． 12．（3分）估计

与0.5的 大小关系是：

0.5．（填

“＞”、“=”、“＜”）

13．（3分）如果m是最大的 负整数，n是绝对值最小的 有理数，c是倒数等于它本身的 自然数，那么代数式m2015+2016n+c2020的 值

3

为 ．

14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．

15．（3分）若关于x的 一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的 取值范围是 ．

16．（3分）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm．

17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的 长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的 长等于 ．（结果保留π）

18．（3分）下列图形都是由完全相同的 小梯形按一定规律组成的 ．如果第1个图形的 周长为5，那么第2个图形的 周长为 ，第2020个图形的 周长为 ．

4

三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（4分）计算：

﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）﹣1．

，并写出该不等式组的 最大整数

20．（4分）解不等式组解．

21．（6分）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的 一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．

22．（6分）美丽的 黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的 滨河路风情线是兰州最美的 景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的 一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的 距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

23．（6分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的 两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的 几个扇

5

形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．

（1）请用列表或画树状图的 方法表示出上述游戏中两数和的 所有可能的 结果；

（2）分别求出李燕和刘凯获胜的 概率．

四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤．

24．（7分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的 “汉字听写”大赛．为了解本次大赛的 成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的 成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的 统计图表： 频数频率分布表 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70

频数（人） 10 30

6

频率 0.05 0.15

70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100

40 m 50

n 0.35 0.25

根据所给信息，解答下列问题： （1）m= ，n= ； （2）补全频数分布直方图；

（3）这200名学生成绩的 中位数会落在 分数段； （4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的 3000名学生中成绩是“优”等的 约有多少人？

25．（7分）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=

的 图象交于第

一象限内的 P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点． （1）分别求出这两个函数的 表达式； （2）写出点P关于原点的 对称点P'的 坐标； （3）求∠P'AO的 正弦值．

7

26．（8分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的 直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的 长．

27．（8分）如图，AN是⊙M的 直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的 坐标； （2）若D为线段NB的 中点，求证：直线CD是⊙M的 切线．

28．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的 图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A． （1）求二次函数y=ax2+bx+4的 表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），

8

过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的 坐标；

（3）连接OM，在（2）的 结论下，求OM与AC的 数量关系．

9

2020年甘肃省平凉市中考数学试卷 参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．

1．（3分）（2020•白银）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的 是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的 概念进行判断即可． 【解答】解：A图形不是中心对称图形； B图形是中心对称图形； C图形不是中心对称图形； D图形不是中心对称图形， 故选：B．

【点评】本题考查的 是中心对称图形与轴对称图形的 概念．轴对称图形的 关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．（3分）（2020•白银）据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在甘肃酒泉发射升空，与天宫二号在距离地

10

面393000米的 太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的 轨道高度．393000用科学记数法表示为（ ） A．39.3×104 B．3.93×105 C．3.93×106 D．0.393×106

【分析】科学记数法的 表示形式为a×10n的 形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的 值是易错点，由于393000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．

【解答】解：393000=3.93×105． 故选：B．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的 数的 方法，准确确定a与n值是关键．

3．（3分）（2020•白银）4的 平方根是（ ） A．16 B．2 C．±2 D．

【分析】根据平方根的 定义，求数a的 平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的 平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：∵（±2）2=4， ∴4的 平方根是±2， 故选C．

【点评】本题考查了平方根的 定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的 平方根是0；负数没有平方根．

4．（3分）（2020•白银）某种零件模型可以看成如图所示的 几何体

11

（空心圆柱），该几何体的 俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】找到从上面看所得到的 图形即可．

【解答】解：空心圆柱由上向下看，看到的 是一个圆环，并且大小圆都是实心的 ． 故选D．

【点评】本题考查了三视图的 知识，俯视图是从物体的 上面看得到的 视图．解答此题时要有一定的 生活经验．

5．（3分）（2020•白银）下列计算正确的 是（ ） A．x2+x2=x4 B．x8÷x2=x4 C．x2•x3=x6 D．（﹣x）2﹣x2=0 【分析】根据整式的 运算法则即可求出答案． 【解答】解：（A）原式=2x2，故A不正确； （B）原式=x6，故B不正确； （C）原式=x5，故C不正确； （D）原式=x2﹣x2=0，故D正确； 故选（D）

【点评】本题考查整式的 运算法则，解题的 关键是熟练运用整式的 运算法则，本题属于基础题型．

12

6．（3分）（2020•白银）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（ ）

A．115° B．120° C．135° D．145°

【分析】根据三角形的 一个外角等于与它不相邻的 两个内角的 和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3． 【解答】解：如图，由三角形的 外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°， ∵直尺的 两边互相平行， ∴∠2=∠3=135°． 故选C．

【点评】本题考查了平行线的 性质，三角形的 一个外角等于与它不相邻的 两个内角的 和的 性质，熟记性质是解题的 关键．

7．（3分）（2020•白银）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的 图象如图所示，观察图象可得（ ）

13

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【分析】根据一次函数的 图象与系数的 关系进行解答即可． 【解答】解：∵一次函数y=kx+b的 图象经过一、三象限， ∴k＞0，

又该直线与y轴交于正半轴， ∴b＞0．

综上所述，k＞0，b＞0． 故选A．

【点评】本题考查的 是一次函数的 图象与系数的 关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时图象在一、二、三象限．

8．（3分）（2020•白银）已知a，b，c是△ABC的 三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的 结果为（ ） A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0

【分析】先根据三角形的 三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的 符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：∵a、b、c为△ABC的 三条边长， ∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，

14

∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b） =a+b﹣c+c﹣a﹣b=0． 故选D．

【点评】本题考查的 是三角形的 三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的 关键．

9．（3分）（2020•白银）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的 矩形空地上修建三条同样宽的 道路，剩余的 空地上种植草坪，使草坪的 面积为570m2．若设道路的 宽为xm，则下面所列方程正确的 是（ ）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的 宽为xm，根据草坪的 面积是570m2，即可列出方程．

【解答】解：设道路的 宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570， 故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的 思想，需利用平移把不规则的 图形变为规则图

15

形，进而即可列出方程．

10．（3分）（2020•白银）如图①，在边长为4cm的 正方形ABCD中，点P以每秒2cm的 速度从点A出发，沿AB→BC的 路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的 长度y（cm）与点P的 运动时间x（秒）的 函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的 长是（ ）

A． B． C．

D．

【分析】根据运动速度乘以时间，可得PQ的 长，根据线段的 和差，可得CP的 长，根据勾股定理，可得答案． 【解答】解：点P运动2.5秒时P点运动了5cm， CP=8﹣5=3cm， 由勾股定理，得 PQ=

=3

cm，

故选：B．

【点评】本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 11．（3分）（2020•白银）分解因式：x2﹣2x+1= （x﹣1）2 ．

16

【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．

【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的 关键．

12．（3分）（2020•白银）估计

与0.5的 大小关系是：

＞

0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）

【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的 正负情况即可比较两个实数的 大小． 【解答】解：∵∵∴答：

﹣2＞0， ＞0． ＞0.5．

﹣0.5=

﹣=

，

【点评】此题主要考查了两个实数的 大小，其中比较两个实数的 大小，可以采用作差法、取近似值法等．

13．（3分）（2020•白银）如果m是最大的 负整数，n是绝对值最小的 有理数，c是倒数等于它本身的 自然数，那么代数式m2015+2016n+c2020的 值为 0 ．

【分析】根据题意求出m、n、c的 值，然后代入原式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：m=﹣1，n=0，c=1 ∴原式=（﹣1）2015+2016×0+12020=0，

17

故答案为：0

【点评】本题考查代数式求值，解题的 关键根据题意求出m、n、c的 值，本题属于基础题型．

14．（3分）（2020•白银）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58 °．

【分析】由题意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的 性质求出∠AOB，再利用圆周角定理确定∠C． 【解答】解：如图，连接OB， ∵OA=OB，

∴△AOB是等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠OAB=32°， ∴∠OAB=∠OAB=32°， ∴∠AOB=116°， ∴∠C=58°． 故答案为58．

18

【点评】本题是利用圆周角定理解题的 典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解决和圆有关的 题目时往往要添加圆的 半径．

15．（3分）（2020•白银）若关于x的 一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的 取值范围是 k≤5且k≠1 ．

【分析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．

【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根， ∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0， 解得：k≤5且k≠1， 故答案为：k≤5且k≠1．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的 判别式和定义，熟练掌握根的 判别式与方程的 根之间的 关系是解题的 关键．

16．（3分）（2020•白银）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于

cm．

【分析】根据折叠得：GH是线段AB的 垂直平分线，得出AG的 长，

19

再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的 长，即折痕的 长．

【解答】解：如图，折痕为GH， 由勾股定理得：AB=

=10cm，

由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB， ∴∠AGH=90°，

∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°， ∴△ACB∽△AGH， ∴

=

， ， cm．

．

∴=∴GH=

故答案为：

【点评】本题考查了折叠的 性质和相似三角形的 性质和判定，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，本题的 关键是明确折痕是所折线段的 垂直平分线，利用三角形相似来解决．

17．（3分）（2020•白银）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的 长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的 长等于

．（结果保留π）

20

【分析】先根据ACB=90°，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30°，进而得出∠A=60°，再根据AC=1，即可得到弧CD的 长． 【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2， ∴∠ABC=30°， ∴∠A=60°， 又∵AC=1， ∴弧CD的 长为故答案为：

．

=

，

【点评】本题主要考查了弧长公式的 运用，解题时注意弧长公式为：l=

18．（3分）（2020•白银）下列图形都是由完全相同的 小梯形按一定规律组成的 ．如果第1个图形的 周长为5，那么第2个图形的 周长为 8 ，第2020个图形的 周长为 6053 ．

（弧长为l，圆心角度数为n，圆的 半径为R）．

【分析】根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3，据此可得答案．

【解答】解：∵第1个图形的 周长为2+3=5， 第2个图形的 周长为2+3×2=8，

21

第3个图形的 周长为2+3×3=11， …

∴第2020个图形的 周长为2+3×2020=6053， 故答案为：8，6053．

【点评】本题主要考查图形的 变化类，根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3是解题的 关键．

三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（4分）（2020•白银）计算：

﹣1

﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）

．

【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的 三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的 运算法则计算． 【解答】解：==

．

﹣3tan30°+（π﹣4）0

【点评】解决此类题目的 关键是熟记特殊角的 三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的 运算．

20．（4分）（2020•白银）解不等式组组的 最大整数解．

22

，并写出该不等式

【分析】分别求出每一个不等式的 解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的 解集． 【解答】解：解

≤1得：x≤3，

解1﹣x＜2得：x＞﹣1，

则不等式组的 解集是：﹣1＜x≤3． ∴该不等式组的 最大整数解为x=3．

【点评】本题考查的 是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的 原则是解答此题的 关键．

21．（6分）（2020•白银）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的 一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】作线段AB的 垂直平分线得到AB的 中点E，作AC的 垂直平分线得到线段AC的 中点F．线段EF即为所求． 【解答】解：如图，△ABC的 一条中位线EF如图所示，

方法：作线段AB的 垂直平分线得到AB的 中点E，作AC的 垂直平分线得到线段AC的 中点F．线段EF即为所求．

23

【点评】本题考查复杂作图、三角形的 中位线的 定义、线段的 垂直平分线的 性质等知识，解题的 关键是掌握基本作图，属于中考常考题型．

22．（6分）（2020•白银）美丽的 黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的 滨河路风情线是兰州最美的 景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的 一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的 距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．

【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x， 在Rt△DEB中，∵∠DBC=65°，

24

，

∴DE=xtan65°． 又∵∠DAC=45°， ∴AE=DE．

∴132+x=xtan65°， ∴解得x≈115.8，

∴DE≈248（米）．

∴观景亭D到南滨河路AC的 距离约为248米．

【点评】本题考查解直角三角形的 应用、锐角三角函数等知识，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

23．（6分）（2020•白银）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的 两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的 几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．

25

（1）请用列表或画树状图的 方法表示出上述游戏中两数和的 所有可能的 结果；

（2）分别求出李燕和刘凯获胜的 概率．

【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的 所有可能的 结果数；

（2）根据（1）得出两数和共有的 情况数和其中和小于12的 情况、和大于12的 情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意列表如下： 甲 乙 3 4 5

6 9 10 11

7 10 11 12

8 11 12 13

9 12 13 14

可见，两数和共有12种等可能结果；

（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的 情况，其中和小于12的 情况有6种，和大于12的 情况有3种， ∴李燕获胜的 概率为刘凯获胜的 概率为

=； =．

【点评】本题考查的 是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画

26

树状图法可以不重复不遗漏的 列出所有可能的 结果，适合于两步完成的 事件．游戏双方获胜的 概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的 知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤．

24．（7分）（2020•白银）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的 “汉字听写”大赛．为了解本次大赛的 成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的 成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的 统计图表： 频数频率分布表 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100

频数（人） 10 30 40 m 50

频率 0.05 0.15 n 0.35 0.25

根据所给信息，解答下列问题： （1）m= 70 ，n= 0.2 ； （2）补全频数分布直方图；

（3）这200名学生成绩的 中位数会落在 80≤x＜90 分数段；

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（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的 3000名学生中成绩是“优”等的 约有多少人？

【分析】（1）根据第一组的 频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m的 值，用第三组频数除以数据总数可得n的 值；

（2）根据（1）的 计算结果即可补全频数分布直方图；

（3）根据中位数的 定义，将这组数据按照从小到大的 顺序排列后，处于中间位置的 数据（或中间两数据的 平均数）即为中位数； （4）利用总数3000乘以“优”等学生的 所占的 频率即可． 【解答】解：（1）本次调查的 总人数为10÷0.05=200， 则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2， 故答案为：70，0.2；

（2）频数分布直方图如图所示，

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（3）200名学生成绩的 中位数是第100、101个成绩的 平均数，而第100、101个数均落在80≤x＜90，

∴这200名学生成绩的 中位数会落在80≤x＜90分数段， 故答案为：80≤x＜90；

（4）该校参加本次比赛的 3000名学生中成绩“优”等的 约有：3000×0.25=750（人）．

【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的 能力和利用统计图获取信息的 能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的 判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．

25．（7分）（2020•白银）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的 图象交于第一象限内的 P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．

（1）分别求出这两个函数的 表达式；

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（2）写出点P关于原点的 对称点P'的 坐标； （3）求∠P'AO的 正弦值．

【分析】（1）根据P（，8），可得反比例函数解析式，根据P（，8），Q（4，1）两点可得一次函数解析式；

（2）根据中心对称的 性质，可得点P关于原点的 对称点P'的 坐标；

（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，构造直角三角形，依据P'D以及AP'的 长，即可得到∠P'AO的 正弦值． 【解答】 解：（1）∵点P在反比例函数的 图象上， ∴把点P（，8）代入∴反比例函数的 表达式为∴Q （4，1）．

把P（，8），Q （4，1）分别代入y=k1x+b中， 得

，

可得：k2=4， ，

解得，

∴一次函数的 表达式为y=﹣2x+9；

30

（2）点P关于原点的 对称点P'的 坐标为（（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D． ∵P′（

，﹣8），

，﹣8）；

∴OD=，P′D=8，

∵点A在y=﹣2x+9的 图象上， ∴点A（，0），即OA=， ∴DA=5， ∴P′A=∴sin∠P′AD=∴sin∠P′AO=

．

，

，

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的 交点问题，中心对称以及解直角三角形，解决问题的 关键是掌握待定系数法求函数解析式．

26．（8分）（2020•白银）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的 直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的 长．

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【分析】（1）根据平行四边形ABCD的 性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的 对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的 长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的 中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6﹣x）2， 解得：x=∵BD=∴OB=BD=∵BD⊥EF，

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，

， =2，

，

∴EO=∴EF=2EO=

=．

，

【点评】本题主要考查了矩形的 性质，菱形的 性质、勾股定理、全等三角形的 判定与性质，熟练掌握矩形的 性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的 关键．

27．（8分）（2020•白银）如图，AN是⊙M的 直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．

（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的 坐标； （2）若D为线段NB的 中点，求证：直线CD是⊙M的 切线．

【分析】（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题； （2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可； 【解答】解：（1）∵A的 坐标为（0，6），N（0，2）， ∴AN=4，

∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：NB=∴B（

=，

，2）．

33

（2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的 直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，

在Rt△NCB中，D为NB的 中点， ∴CD=NB=ND， ∴∠CND=∠NCD， ∵MC=MN， ∴∠MCN=∠MNC， ∵∠MNC+∠CND=90°， ∴∠MCN+∠NCD=90°， 即MC⊥CD．

∴直线CD是⊙M的 切线．

【点评】本题考查圆的 切线的 判定、坐标与图形的 性质、勾股定理等知识，解题的 关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

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28．（10分）（2020•白银）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的 图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A． （1）求二次函数y=ax2+bx+4的 表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的 坐标；

（3）连接OM，在（2）的 结论下，求OM与AC的 数量关系．

【分析】（1）由B、C的 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的 面积，由NM∥AC，可求得

，则可用n表示出△AMN的 面积，再利用二次函数的 性质

可求得其面积最大时n的 值，即可求得N点的 坐标；

（3）由N点坐标可求得M点为AB的 中点，由直角三角形的 性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的 长，可求得AB与AC的 关系，从而可得到OM和AC的 数量关系． 【解答】解：

（1）将点B，点C的 坐标分别代入y=ax2+bx+4可得

，解

35

得，

∴二次函数的 表达式为y=﹣x2+x+4； （2）设点N的 坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8）， 则BN=n+2，CN=8﹣n． ∵B（﹣2，0），C（8，0）， ∴BC=10，

在y=﹣x2+x+4中令x=0，可解得y=4， ∴点A（0，4），OA=4，

∴S△ABN=BN•OA=（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC， ∴∴∴

∵﹣＜0，

∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的 面积最大；

（3）当N（3，0）时，N为BC边中点， ∵MN∥AC， ∴M为AB边中点， ∴OM=AB， ∵AB=

， =

=

，

，

==2，AC=

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==4，

∴AB=AC， ∴OM=AC．

【点评】本题为二次函数的 综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的 面积、二次函数的 性质、直角三角形的 性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的 应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的 面积之间的 关系是解题的 关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的 中间“桥梁”是解题的 关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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