浙江省杭州市2011年高三第一次高考科目教学质量检测理科数学

浙江省杭州市2011年高三第一次高考科目教学质量检测

数学（理）试题

考生须知: 1．本卷满分150分, 考试时间120分钟．

2．答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效． 4．考试结束, 只需上交答题卷．

参考公式

如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)； 如果事件A，B相互独立，那么

P(AB)P(A)P(B)；

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

Pn(k)CnP(1P)kknk（k = 0,1,„,n）．

一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符

合题目要求的．

1．已知R，则cos() （ ）

2 A．sin B．cos C．sin D．cos

（ ）

2．已知aR，则“a1”是“a1”的

A．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件

2zz

2B． 充要条件

D．必要不充分条件

B．1i D．1i

（ ）

3．设z=1+i（i是虚数单位），则

A．1i C．1i

4．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为

（ ）

A． 3与3 B．23与3 C．3与23 D．23与23

5．等差数列an的前n项和为Sn，已知an4，Sn39，

a5 则S5 （ ）

（第4题）

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A．14 B． 19 C． 28 D．60

6．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式

可能是

2 （ ）

A．f(x)x2lnx B． f(x)xlnx

C． f(x)|x|2lnx D．f(x)|x|lnx

第6题

27．某程序框图如同所示，则该程序框图运行后输出的n的值为

A．2 B． 3 C．4 D．10

（ ）

8．由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都 不与c相邻的排法个数为 （ ） A．36 B．32

C．28

D．24

(13a)x10x69．已知函数f(x)x7

ax6

*若数列an满足anf(n)(nN)，

且an是递减数列，则实数a的取值 范围是

13（ ）

1132A．(,1) B． (,) C．(,) D． (381558,1 )10．已知集合U{(x,y)xR,yR}，M{(x,y)xya}，P{(x,y)yf(x)}，现给

x出下列函数：①ya②ylogax③ysin(xa)④ycosax，若0a1时，恒有

PCUMP，则f(x)所有可取的函数的编号是 （ ）

A． ①②③④

1214B．①②④

18C．①② D．④

二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分,共28分） 11．等比数列

，，

，„的第8项是 ．

12．已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=b，且|c|1，a（b-c）=0，则实数的取值

范围是 ． 13．设n为正整数，f(n)112131n，计算得f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，

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观察上述结果，可推测一般的结论为 ．

14．已知多项式(1x)(1x)425xax2bx3x4，则a-b= ．

15．某初一年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数

据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在

0.035 a 频率|组距 120,130，130,140，140,150三组内的学生中，用

分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在

0.020 内的学生中选取的人数为 ． 130,14016．已知函数f(x)x3f`()x2x，则函数f(x)的图像在

3(22,f())处的切线方程是 ． 3320.010 0.005 100 110 120 130 140 150 身高

17．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a，b，c，已知(bc):(ca):(ab)4:5:6，给

出下列结论

①ABC的边长可以组成等差数列

A7B5C3②ACAB0

③④若b+c=8，则ABC的面积是

1534其中正确的结论序号是 ．

三、解答题: （本大题有5小题, 共72分）

18．（本题满分14分）已知函数f(x)23sinxcosx12sin2x,xR． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数yf(x)的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

612，把所得到的图

像再向左平移最小值．

单位，得到的函数yg(x)的图像，求函数yg(x)在区间0,8上的

19．（本题满分14分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn4anp，其中p是不为零的常数． （1）证明：数列an是等比数列；

*（2）当p=3时，若数列bn满足bn1bnan(nN)，b12，求数列bn的通项公式．

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20．（本题满分14分）已知向量a=(1,2)，b=(cos,sin)，设m=a+tb（t为实数）． （1）若4，求当|m|取最小值时实数t的值；

4（2）若ab，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为

不存在，请说明理由．

，若存在，请求出t；若

21．（本题满分15分）一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一

个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出正确答案的概率为

1214，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为，且每题答对与否

相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分． （1）当n=6时，

①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率； ②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值； （2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值．

22．（本题满分15分）已知函数f(x)ax2lnx(aR)． （1）当a12时，求f(x)在区间1,e上的最大值和最小值；

（2）如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)，在公共定义域D上，满足f1(x)g(x)f2(x)，那么

就称为g(x)为f1(x),f2(x)的“活动函数”． 已知函数f1(x)(a12)x2ax(1a)lnx，f2(x)2212x2ax．

2①若在区间1,上，函数f(x)是f1(x)，f2(x)的“活动函数”，求a的取值范围； ②当a

23时，求证：在区间1,上，函数f1(x)，f2(x)的“活动函数”有无穷多个．

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参考答案

一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符

合题目要求的 ． C B D D A B

二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分） 11．1256题号 答案

1 2 3 4 5 6 7 C

8 A

9 C

10 B

12．（– 1，1） 13．f(2n)n22（nN*） 14．2

15．10 16．27x + 27y +4 = 0 17．①②④ 三、解答题: （本大题有5小题, 共72分） 18．（本题满分14分）

解：（1）因为f(x)=23sinxcosx+1-2sin2x==2sin(2x63sin2x+cos2x

), 4分

函数f（x）的最小正周期为T=． 2x2k由2k，kZ，

262得f（x）的单调递增区间为[k（2）根据条件得g(x)=2sin(4x36,k6] ， kZ． 9分

85)，当x[0，]时，4x554[,]， 663 所以当x =

8时，g(x)min=-3． 14分

19．（本题满分14分）

（1）证：因为Sn=4an– p（nN*）,则Sn – 1 = 4an – 1 – p（nN*， n2）,

所以当n2时，anSnSn14an4an1，整理得an由Sn=4an– p，令n1，得a14a1a，解得a1所以an是首项为

p3p343an1． 5分

．

，公比为

4343的等比数列． 7分 ，

43n1（2）解：因为a1=1，则an()

n1由bn1anbn(n1,2,)，得bn1bn()当n2时，由累加得

， 9分

4n11()4n13bnb1(b2b`1)(b3b2)(bnbn1)＝23()1， 4313当n = 1时，上式也成立． 14分

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20．（本题满分14分）

解：（1）因为=

4，b =（

22，22），ab322，

则|m|=(atb)=5t22tab=t232t5=(t2322)212

所以当t=-322时，|m|取到最小值，最小值为

22． 7分

（2）由条件得cos45=

(ab)(atb)|ab||atb|，又因为



|ab|=(ab)=6,|atb|=(atb)=5t,(ab)(atb)5t，

22222则有

5t65t2=，且t<5，

整理得t2+5t-5=0，所以存在t=

5352满足条件． 14分

21．（本题满分15分）

解：（1） ①当n = 6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，

10道题题全答对的概率为答对8道题的概率为12121414164． 2分

1111331111111322＝． 5分 ++ 4·=

2244224422446432②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为： P（X = 6） =

P（X = 8） =

3113311339111324=; P（X = 7） = 2·+2· =＝; 224464224422446482264＝

1132; 又P（X  9） =1－

396423642264＝

964;

所以：答对7道题的概率最大为． 10分

8（2） 当n = 6时，分布列为：

得E= 30

964分值

P

30

964246435

246440

226445

86486450

164164

+35+ 40

2264+ 45+50=

240064=37．5 ，

当n =7时，E =40 ． 所以n的最小值为7． 15分

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另解：5n +

8n25+

245=5（

n2



92

） 40, 所以n的最小值为7．

22．（本题满分15分）

解：（1）当a12时，f(x)12xlnx2，f(x)x1xx21x；

对于x[1, e]，有f(x)0，∴f(x)在区间[1, e]上为增函数， ∴fmax(x)f(e)1e22，fmin(x)f(1)121212． 3 分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”，则f1(x)f(x)f2(x)

令p(x)f(x)f2(x)(a且h（x）=f1（x） – f（x）=1x)x2axlnx<0，对x（1，+∞）恒成立，

x222axa22lnx<0对x（1，+∞）恒成立， 5分

(x1)[(2a1)x1]x ∵p`(x)(2a1)x2a12(2a1)x2ax1x1 （*）

1）若a，令p`(x)0，得极值点x11，x212a1时，在（x22a1，

当x2x11，即

，+∞）上有p`(x)0，

此时p(x)在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈（p(x2)，+∞），不合题意；

当x2x11，即a1时，同理可知，p(x)在区间（1，+∞）上，有

，也不合题意； 7分 p(x)∈（p(1)，+∞）2） 若a12，则有2a10，此时在区间（1，+∞）上恒有p`(x)0，

从而p(x)在区间（1，+∞）上是减函数；

要使p(x)0在此区间上恒成立，只须满足p(1)a所以12120a12，

a/

12． 9分

a2又因为h（x）= –x+2a–h（x）12x=

x22axax2(xa)x2<0, h（x）在（1, +∞）上为减函数，

+2a0， 所以a1214

综合可知a的范围是[,

14]． 12分

另解：（接在（*）号后）

先考虑h（x）,

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h`（x） = – x + 2a a2x=(xa)x20,

11h（x）在（1,+）递减，只要h（1）  0, 得2a0，解得a． 8分

24而p`（x）=

(x1)[(2a1)x1]对x（1,+） 且a1x4有p`（x） <0．

只要p（1）  0, a12a0，解得a122,

所以．12a14． 12分

②当a23时，f(x)116x2453x9lnx,f2(x)12x243x

则y=f2（x） –f1（x）=13x2 –

59lnx, x（1，+∞）．

因为y /

=

2xx25359x69x>0，y=f2（x） –f1（x）在 （1，+∞）为增函数，所以f） –f） –f12（x1（x）> f2（11（1）=3

设R（x）=f1（x）+

13（0<<1）, 则 f1（x）所以在区间（1，+∞）上，函数f1(x),f2(x)的“活动函数”有无穷多个． 其他如R（x）=f1（x）+f2（x）（ 0<,<1,且+=1）等也可以． 第 8 页 共 8 页

15分