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中科大微分方程期末考试

来源:好土汽车网
2020年春季学期微分方程2(H)期末考试

整理与录入:邵锋、章俊彦

2020年8月31日8:30-10:30主讲教师:韦勇

若不加以说明,本试卷中U均为Rn中边界光滑的有界开集〇、有40分基本概念题

222

一、设u2H1.U/,其在边界上的迹记作Tu.证明不等式kukH1.U/.krukL2.U/CjTujL2.@U/.

二、考虑微分方程

8

n

<󰀁󰀁uCun󰀁2Df:uD0

inUIon@U:

称u是该方程的H1-弱解,是指对任意的v2H1.U/成立

ZZ

n

ru󰀂rvCun󰀁2vdxDfvdx:

U

U

证明该方程的H1-弱解存在性,并证明该弱解u2H2(即H2.U/正则性估计)。

三、考虑微分方程

8

<@tu󰀁󰀁uDf:uD0

证明其H1-弱解存在性和能量估计。

四、抛物方程极大值原理的简单应用。

五、考虑p-Laplace方程.p󰀃2/

8

<󰀁div.jrujp󰀁2ru/C󰀂upp󰀁2Df:uD0利用变分法证明其解的存在性。

inUIon@U:

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