中考压轴题分类之分类讨论经典题型

如果一个命题题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。它是一种比拟重要解题方法，也是近年来中考命题热点内容之一；要用分类讨论法解答数学题目，往往具有较强逻辑性、综合性与探索性，既能全面考察学生数学能力又能考察学生思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时具体运用。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质差异，分各种不同情况予以考察．这种分类思考方法是一种重要数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象一样点与差异点，将数学对象区分为不同种类思想方法，掌握分类方法，领会其实质，对于加深根底知识理解．提高分析问题、解决问题能力是十分重要．正确分类必须是周全，既不重复、也不遗漏．

分类原那么：〔1〕分类中每一局部是相互；〔2〕一次分类按一个标准；〔3〕分类讨论应逐级有序进展．〔4〕以性质、公式、定理使用条件为标准分类题型

初中数学中分类讨论问题往往是不容易掌握好一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进展分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：

1、代数类：代数有绝对值、方程及根定义，分式、根式方程、方案筹划、函数定义以及点〔坐标未给定〕所在象限等；函数定

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义域变化；函数图象未给出；函数对称性〔反比例函数图象，二次函数〕

2、几何类：几何有各种图形位置关系，未明确对应关系全等或相似可能对应情况等；

3、综合类：代数与几何分类情况综合运用. 一、代数类专练 例1. 代数式

所有可能值有〔 〕

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 例2：化简：|x-1|+|x-2|

例3：代数式

所有可能值有〔 〕

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 例4. 一次函数那么kb值是〔 〕。

A. 14 B. 例5 一次函数

C.

或21 D.

或14

时，对应y值为

，

与x轴、y轴交点分别为A、B，

试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。

例6.为了鼓励城市周边农民种菜积极性，某公司方案新建A，B两种温室80栋，将其中售给农民种菜．该公司建立温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．且所筹资金全部用于新建温室．两种温室本钱与出售价如下表：

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A型 B型 本钱〔万元/栋〕 出售价〔万元/栋〕 〔1〕这两种温室有几种设计方案？

〔2〕根据市场调查，每栋A型温室售价不会改变，每栋B型温室售价可降低m万元〔0＜m＜0.7〕且所建两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建立温室可使利润最少．

例7.如图，把一张长10cm，宽8cm矩形硬纸板四周各剪去一个同样大小正方形，再折合成一个无盖长方体盒子〔纸板厚度忽略不计〕．

〔1〕要使长方体盒子底面积为48cm，那么剪去正方形边长为多少？

〔2〕你感到折合而成长方体盒子侧面积会不会有更大情况？如果有，请你求出最大值与此时剪去正方形边长；如果没有，请你说明理由；

〔3〕如果把矩形硬纸板四周分别剪去2个同样大小正方形与2个同样形状、同样大小矩形，然后折合成一个有盖长方体盒子，是否有侧面积最大情况；如果有，请你求出最大值与此时剪去正方形边长；如果没有，请你说明理由．

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二、几何类专练

1、假设等腰三角形中有一个角等于50°，那么这个等腰三角形顶角度数为〔 〕

A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°

2、某等腰三角形两条边长分别为3cm与6cm，那么它周长为〔 〕

A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm

3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停顿运动． 〔1〕求CD长；

〔2〕假设点P以1cm/s速度运动，点Q以22cm/s速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S〔cm〕，点P、Q运动时间为t〔s〕，求S与t函数关系式，并写出t取值范围；

〔3〕假设点P速度仍是1cm/s，点Q速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a取值范围．

4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA方向以每秒2个单位长度速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停顿运动。设运动时间为秒。

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0

2

⑴设△BPQ面积为S，求S与之间函数关系式。 ⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点三角形是等腰三角形？ 5、〔1〕如图1，在△ABC中，点D．E．Q分别在ABACBC上，且

DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：=；

〔2〕如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG四个顶点在△ABC边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，假设AB=AC=1，直接写出MN长； ②如图3，求证：MN=DM•EN．

6、如图〔1〕，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，

2

AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺

时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开场与完毕时重合情况，设DE，DF(或它们延长线)分别交BC(或它延长线) 于G，H点，如图(2)

AF

AF 〔1〕问：始终与△AGC相似三角形有 及 ； 〔设CG=x，BH=Cy，求y关于x(2)H C B2 〕G 〔只要求根据图B 函数关系式图(1) 情形说明理由〕

图(2)

E

〔3〕问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

7、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D． 〔1〕求证：四边形ABCD是平行四边形；

〔2〕假设AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s速度沿BC→CD→DA运动至A点停顿，那么从运动开场经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

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8、数学课上，李教师出示了如下框中题目． 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB大小关系，并说明理由． 小敏与同桌小聪讨论后，进展了如下解答： 〔1〕特殊情况•探索结论

当点E为AB中点时，如图1，确定线段AE与DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕． 〔2〕特例启发，解答題目

解：题目中，AE与DB大小关系是：AE DB〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，〔请你完成以下解答过程〕

〔3〕拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．假设△ABC边长为1，AE=2，求CD长〔请你直接写出结果〕．

9、如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD〔含端点〕上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD〔含端点〕交于点F，然后展开铺平，那么以B、E、F为顶点△BEF称为矩形ABCD“折痕三角形〞 ．

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〔1〕由“折痕三角形〞定义可知，矩形ABCD任意一个“折痕△BEF〞一定是一个_________三角形；

(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它“折痕△BEF〞顶点E位于边AD中点时，画出这个“折痕△BEF〞，并求出点F坐标；

〔3〕如图③，在矩形ABCD中， AB=2，BC=4．该矩形是否存在面积最大“折痕△BEF〞？假设存在，说明理由，并求出此时点E坐标；假设不存在，为什么？ 10、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2

，点O是AB中点，点P在AB延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度速度沿射线

PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停顿运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与矩形ABCD在射线PA同侧．设运动时间为t秒〔t≥0〕．

〔1〕当等边△EFG边FG恰好经过点C时，求运动时间t值； 〔2〕在整个运动过程中，设等边△EFG与矩形ABCD重叠局部面积为S，请直接写出S与t之间函数关系式与相应自变量t取值范围；

〔3〕设EG与矩形ABCD对角线AC交点为H，是否存在这样t，使△AOH是等腰三角形？假设存大，求出对应t值；假设不存在，请说明理由．

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D

C A

E O

B

F P

11、如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y

轴于A，B两点，点C为OB中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

〔1〕直接写出点A，B坐标，并求直线AB与CD交点坐标； 〔2〕动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P运动时间为t秒．

①假设△MPH与矩形AOCD重合局部面积为1，求t值； ②点Q是点B关于点A对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应点P坐标；如果没有，请说明理由． 12、，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC垂直平分线EF分别交

AD．BC于点E．F，垂足为O．

〔1〕如图1，连接AF．CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF长；

〔2〕如图2，动点P．Q分别从A．C两点同时出发，沿△AFB与△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停顿，点Q自

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C→D→E→C停顿．在运动过程中，

①点P速度为每秒5cm，点Q速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A．C．P．Q四点为顶点四边形是平行四边形时，求t值． ②假设点P．Q运动路程分别为a．b〔单位：cm，ab≠0〕，A．C．P．Q四点为顶点四边形是平行四边形，求a与b满足数量关系式． 13、如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．

〔1〕填空：点C坐标是〔 ， 〕，点D坐标是〔 ， 〕； 〔2〕设直线CD与AB交于点M，求线段BM长；

〔3〕在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？假设存在，请求出所有满足条件点P坐标；假设不存在，请说明理由． 14.如下图，在平行四边形ABCD中，

，

∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm速度沿

路线匀速运动，过点P作直线PM，

使PM⊥AD.

〔1〕当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE面积；

〔2〕当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿

路

线运动，且在AB上以每秒1cm速度匀速运动，在BC上以每秒2cm速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动时间为t秒〔0≤t≤10〕，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形面积为Scm.

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2

①求S关于t函数关系式；②〔附加题〕求S最大值.

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