数学分析(2)试题及答案

（十六）数学分析2考试题

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2

分，共20分）

1、 函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件是（ ） A连续 B有界 C 无间断点 D有原函数

2、函数f(x)是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（ ） AC

aaaf(x)dx2f(x)dx Bf(x)dx0

0aaaaaf(x)dx2f(x)dx Df(x)dx2f(a)

0aa3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A

11x0dx B 1xn11dx C sinxdx D 01dx 1x314、级数

an1n收敛是

an部分和有界且liman0的（ ）

nA 充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A C

an1n1n和

bn1n收敛，

abn1nn也收敛 B

an1n和

bn1n发散，

(an1nbn)发散

an收敛和发散

bn1n发散，

(an1nbn)发散 Dan收敛和bn发散，

n1n1abn1nn6、

an1'nn(x)在[a，b]收敛于a（x），且an（x）可导，则（ ）

AC

an1(x)a'(x) B a（x）可导

an(x)dxa(x)dx D an(x)一致收敛，则a（x）必连续

an1bn1ba7、下列命题正确的是（ ） AB

an1n(x)在[a，b]绝对收敛必一致收敛 (x)在[a，b] 一致收敛必绝对收敛

an1nC 若lim|an(x)|0，则

nan1n(x)在[a，b]必绝对收敛

D

an1n(x)在[a，b] 条件收敛必收敛

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8、

x(1)n0n1x2n1的和函数为 2n1

Ae Bsinx Cln(1x) Dcosx 9、函数zln(xy)的定义域是（ ） A(x,y)|x0,y0 B(x,y)|yx C(x,y)|xy0 D (x,y)|xy0

10、函数f(x,y)在（x0,,y0）偏可导与可微的关系（ ） A可导必可微 B可导必不可微 C可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题6分，共30分）

1、

91f(x)dx4，求xf(2x21)dx

022、计算

01dx 222xx(1)n1n3、计算x的和函数并求

nnn1n14、设z2xzy0，求

3zx

(1,1,1)x2y5、求lim2

x0xy2y0三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）

x2y2xy1、 讨论f(x,y)x2y202、 讨论

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在（0，0）点的二阶混合偏导数

(1)n2n12nsin2nx的敛散性 n四、证明题：（每小题10分，共30分）

1、设f1(x)在[a，b]上Riemann可积，

fn1(x)fn(x)dx(n1,2,)，证明函数列{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0

ab3、 设f(x)在[a，b]连续，证明

0xf(sinx)dx20f(sinx)dx，并求

0xsinxdx 21cosx参

一、1、B 2、B 3、A 4、c 5、C 6、D 7、D 8、C 9、C 10、C

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二、1、

22012xf(2x1)dxf(2x21)d(2x21)（3分）令u2x21，

20219f(u)du2（3分） 012AA11limd(1x)limarctan(1x)2、=（6分） dx01(1x)2022xx2AA04xf(2x21)dx3、解：令f(x)=

1nx，由于级数的收敛域[1,1)（2分），nn1f(x)=xn1'n1x11，f(x)=，令x1，得 dtln(1x)（2分）

01x1t24、解：两边对x求导3zzx2z2xzx0（3分）zx2z（2分）23z2xz2（1分）

x(1,1,1)x2yx2y0（1分） 5、解：0|2|x（5分）lim22x02xyxyy0由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）

x44x2y2y222xy0y222三、1、解、fx(x,y)（2分） (xy)0x2y20x44x2y2y2x2y20x222(4分） fy(x,y)(xy)0x2y20fy(x,0)fy(0,0)2z(0,0)lim1（6分）

x0xyxn2n2sinx22、解：由于limn|(1)，即2sinx1级数绝对收|2sin2x（3分）

nn22敛2sinx1条件收敛，2sinx1级数发散（7分）

n1所以原级数发散（2分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：因为f1(x)在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即M0，使得（3分）从而f2(x)|f1(t)|dtM(xa)一般来f1(x)M(x[a,b])，

axM(xa)n1M(ba)n1(n)，所说，若对n有fn(x)（5分）则fn(x)(n1)!(n1)!以{fn(x)}在[a，b]上一致收敛于0（2分）

aTTf(x)dxxTtf(tT)d(tT)f(t)dt（2）（4分）

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将式（2）代入（1）得证（2分）

xzz1xz1z2、 （7分）则xey2，yxeyyey20（3ey，

xyyxyyyy分）

3、 证明：令xt

xxxx0xf(sinx)dx(t)f(sin(t))dtf(sint)dttf(sint)dt得证（7

000分）

0xsinxsinx2dxdx（3分） 220281cosx1cosx（十七）数学分析2考试题

二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2

分，共20分）

1、 函数f(x)在 [a,b] 上可积的充要条件是（ ）

A >0, >0和>0使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xi< 

B >0,>0, >0使得对某一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xi< 

C >0,>0使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xi< 

D >0, >0， >0使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xi< 

d2xf(t)dt=（ ） 1dxA f(2x) B 2f(2x) C 2f(x) D 2f(2x)f(x)

2、函数f(x)连续，则在[a,b]上4、

11x2dx（ ）

1A -2 B 2 C 0 D 发散 4、liman0，则

nan1n( )

A 必收敛 B必发散 C必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数A

bn1n1n是

an1n更序级数，则（ ）

an1n和

bn同敛散 B

bn1n1n可以发散到+∞ 条件收敛，

C 若

an1n绝对收敛，

bn1n也收敛 D若

anbn1n也条件收敛

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6、

an1n(x)在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…），那么( )

'A f（x）在[a，b]可导，且f(x)'an1'n(x)

B f（x）在[a，b]可导，但f(x)不一定等于CD

an1'n(x)

an1'n(x)点点收敛，但不一定一致收敛 (x)不一定点点收敛

an1'n7、函数项级数

an1n(x)在D上一致收敛的充要条件是（ ）

A >0, N（）>0，使m>n> N有an1(x)am(x) B >0, N>0，使m>n> N有an1(x)am(x) C >0,  N（）>0，使m>n> N有an1(x)am(x) D >0, N（）>0，使m>n> N有an1(x)am(x) 8、

n(x1)n11n的收敛域为（ ）

A (-1,1) B (0,2] C [0,2） D [-1,1） 9、重极限存在是累次极限存在的（ ）

A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 10、Alimf(x,y)|(x0,y0)（ ） xf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0) Blim

x0xxf(x0x,y0y)f(x0x,y0)f(x0x,y0) D lim

x0xxx0Climx0三、计算题：（每小题6分，共30分）

sinxcosx111x2dx

22、计算由曲线yx1,y0,xy2和xe围成的面积

1、

13、求ex2的幂级数展开

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2z5、 已知zf(xy,xy),f(u,v)可微，求

xy6、 求

f(x,y)xy在（0，0）的累次极限 xy三、判断题（每小题10分，共20分）

1、 讨论

lncosn3n的敛散性

xn2、 判断的绝对和条件收敛性 2n1xn1四、证明题（每小题10分，共30分）

1、设f(x)是[-a，a]上的奇函数，证明

aaf(x)dx0

x4n(4)2、证明级数y满足方程yy

n0(4n)!3、 证明S为闭集的充分必要条件是S是开集。

参

一、1、D 2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、1、解：

11sinxcosxsinxcosx1=dx11x211x2dx1c1sinxcosx（2分）由于dx11x21x211sinxcosx11为奇函数=0（2分）=（2分）所以积分值为dxdxarctanx|111x2121x2（1分） 22、 解：两曲线的交点为（1，2）（2分） 所求的面积为：1/222+

e212dx6（4分） xx2xne1x2!n!x3、

x2解

2：由于（3分），

ex4(1)nx2n1x（3分）

2!n!2zzzf11f2(xy)f12xyf224、解：=f1f2y=f1f2x（3分）xyyx（3分） 5、解：limxyyxyxlim1，lim1（3分） （3分）limx0y0xyy0yy0x0xyy0x三、1、解：由于lncosn~22n2（6分），又

1收敛（2分） 2nn1所以原级数收敛（2分）

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xn2、解：当|x|1时，有2x， |x|n，所以级数绝对收敛（4分）

x1xn1当|x|1时，2x，原级数发散（2分）

x121n()x，由上讨论知级数绝对收敛（4分）

12nn11()xxn当|x|1时，有2nn11x四、证明题（每小题10分，共30分）

1、证明：

aaf(x)dxf(x)dxf(x)dx （1）（4分）

a0aa000a0af(x)dxxtf(t)d(t)f(t)dt（ 2）（4分）

将式（2）代入（1）得证（2分）

2、证明：所给级数的收敛域为(,)，在收敛域内逐项微分之，得

x4n1x4n2x4n3x4n4'''''(4)yyyy（8分）

n1(4n1)!n1(4n2)!n1(4n3)!n1(4n4)!'代入得证（2分）

3、证明：必要性 若S为闭集，由于S的一切聚点都属于S，因为，对于任意的

xSc。x不是S的聚点，也就是说，存在x的邻域O(x,)使得O(x,)S，即

O(x,)Sc，因此Sc是开集。

充分性 对任意的xS，由于S是开集，因此存在x的邻域O(x,)使得

ccO(x,)Sc， 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点，它就一定属于S.

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