■墨 塑 高中数学几何模郑伟娜 （汕头市潮南区砺青中学，广东汕头摘要：几何模型是数学建模的重要工具．它是针对具 体实物建立起来的，即可在生活中找到原型，其目的是为了解 决实际问题．合理使用几何模型将使原本复杂的问题简单化， 有事半功倍的作用．它的应用非常广泛．本文从平面几何、立 体几何、解析几何三个方面入手，分析如何建立几何模型，并 通过例题阐述几何模型所涉及的若干数学思想． 关键词：数学模型 数学建模 几何模型 数形结合 在丰富多彩、变化万千的世界里，人们经常创建出现实物 体的近似结构，作为原型的替代物，并称之为模型．而数学模 型则是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数 量规律的数学公式、图形或算法．但建立数学模型并非以模型 为目标．而是为了解决实际问题． 在生产和生活中的空间物体的结构是极其复杂的，要将 其转化为数学模型问题，首先要对空间物体进行简化和假设， 并把空间图形“抽象”出来．如一座山。不看其表面的山棱岩 石，而将其“轮廓”抽象出来，其“轮廓”就是锥体．其次要善于 归类，一个几何问题，往往可以从不同的角度加以研究，从学 科的角度出发，就可分为平面几何、立体几何、解析几何．所以 几何模型的应用是很广泛的，地位是举足轻重的．下面我就从 平面几何、立体几何、解析几何三个方面介绍几何模型的具体 应用． 平面几何数学模型 利用数与形的相互依赖和相互转化的关系发掘平面几何 图形的形象、直观、具体等特性，以及图形的优美性质，是我们 借助平面几何模型处理代数、三角、平面几何等问题的关键． 例１：运用直观几何能帮助理解、解决有关代数的问题．利 用具体操作说明与变量有关的代数概念． 思考：画一个正方形。在这个正方形底边上的某处做一个 记号把底边分成两段，左边的一段记为ａ，右边一段记为ｂ，类 似地分正方形其他各边，如图所示．问：下边的哪些性质可用 图表现出来？这里ａ．ｂ都是正数，且ａ＞ｂ． 一型的应用 ５１５１３５） （１）（ａ—ｂ）（ａ—ｂ） （２）（ａ—ｂ）（ａ＋ｂ） （３）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ） （４）（ａ＋ｂ） （你将需要想象一个三维物体） 分析：考虑计算这个正方形面积的各种方法，当正方形的 边长为（ａ＋ｂ）时，面积为（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）．它是由面积为ａ‘￥１１ｂ‘的两 个小正方形和面积为ａｂ的两个长方形组成，即（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝ａ‘ ＋ｂ２＋２ａｂ． 由此可见，（ａ＋ｈ） 表示棱长为（ａ＋ｂ）的正方体的体积。等于 底面积乘以高，即（ａ＋ｂ） ＝（ ＋ｂ ＋２ａｂ）（ａ＋ｂ）＝ａ ＋ｂ ＋３ａ‘ｂ＋３ａｂ‘． 图中阴影为边长（ａ—ｂ）的正方形，其面积为（ａ—ｂ）（ａ—ｂ）， 它是由面积为ａ‘的正方形减去两个面积为（ａ—ｂ）ｂ和一个面积 为ｂ‘的小正方形，即（ａ—ｂ）（ａ＿ｂ）＝ａ￣－２ｂ（ａ—ｂ）－ｂＺ＝ａＺ＋ｂＺ一２ａｂ． 而（ａ—ｂ）（ａ＋ｂ）表示的面积是由阴影部分的正方形面积与 两个面积为（ａ—ｂ）ｂ的小长方形的和，即（ａ—ｂ）（ａ＋ｂ）＝（ａ‘＋ｂ‘一 ２ａｂ）＋２ｂ（ａ＿ｂ）＝ａ２＿ｂ ． 二、立体几何数学模型 同一个数学问题，往往可以从实际生活中获取相类似的 、原型，并且可以化归为相同模型去解决．在研究此问题之前． 我们先做下面的实验：用两张相等的长方形纸张。分别沿长边 和短边卷成圆柱体，用胶布将接头不重叠粘住，分别计算出圆 柱体的侧面积．可以很快得出：Ｓ ＝Ｓ ． 判断两圆柱体体积的大小，并计算出来．通过实验，我们 可以得到一个结论：侧面积相同的两个圆柱体．其体积不一定 相同． 由此，我们可联想到各种圆柱体形状的罐装饮料．这些饮 料年产量高达几百万罐，甚至更多．那么考虑在相同的工艺条 件和保证质量的前提下怎样节省用料的问题，从而降低生产 成本． 例２：怎样使饮料罐制造用材最省． 分析：把饮料罐假设为正圆柱体，虽然有很多的饮料罐不 是这样的，这样的假设是合理、近似的简化．设饮料罐的体积 Ｖ，高为ｈ，底面半径为ｒ，制罐铝材厚度为ｂ，在诸多因素中，暂 围圃 ａ ｂ ａ．ｂ ｂ ｂ 中用不到数学知识．但是这种精神将伴随他，对他的生活和工 作产生影响。或许这需要一个过程，不能急功近利，但只有这 样．数学教育才可使每一个人身上有更多的沉淀和积累，并作 为个人的文化底蕴中不可缺少的一块基石，伴随他的一生，使 他学会更加理性地思考。 ４．注重挖掘教材中的情感因素．重视学生过程性学习。 数学教学通常被学生认为是最“无情”的、枯燥的、难懂 的，是没有情感的概念、定理、公式的集合，但实际上数学教材 中却蕴含了许多引发情感的因素。数学美主要表现为和谐美、 对称美、简洁美和奇异美，只要教师在教学中引导学生去发现 这些美学因素，学生无疑就会受到审美价值的熏陶，为陶冶学 生高尚的理智情操提供了极好的素材。 ５．重视课本例题习题。 （１）课本例习题的教学应建立在学生的认知发展水平和 已有的知识经验基础之上。构建主义学习观认为，学习并非 是对教师所传授的知识的被动接受．而是依据已有的知识和 经验主动构建的过程。因此，数学例习题教学要联系学生的 生活环境，从学生的经验和已有知识出发，恰当选择例习题 的解法。 （２）例习题的教学应为学生正确、深刻理解概念、定理、定 律提供丰富的学习资源。概念、定理、定律是借助抽象的、概括 化的、推论性的思维组建起来的，是反映事物与现象一般本质 特征的。因此，学生对它们的认识理解和把握是一个渐进的过 程。在教学中，教师应充分应用课本例习题，加深学生对概念、 定理、定律的理解。 （３）课本例习题教学应通过一题多解、一题多变等形式让 教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动。在新课程标 准下，教师应尽可能利用课本例习题来达到教学目标，避免题 海战术。减轻学生负担。教师可采用对已有题目进行一题多 变、一题多解的方式来实现教学目标。 二次函数综合题之解题策略 农若文 （大化县教师进修学校，广西大化５３０８００） 摘 要：二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、 一个图形即抛物线，图像上点的坐标就表示相关线段的长度， 涉及的知识面广。是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向 联系规模最大的内容之一．要解决好此类题目需要有扎实 的基础知识，较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各 地中考命题的重点和热点，引起人们的广泛关注．它主要以 压轴题的形式出现．本文列举几例．探究二次函数综合题的解 题策略． 点点相连成了几何图形，实现从“数或式”到“形”的转化，这 转化为解题创造了有利条件，而能否熟练地解答，则取决 一于是否把二者有机结合起来，在解题中充分运用函数与方 程、数形结合、分类讨论等思想方法．教师要适当引导学生，使 他们消除学习定势对解题思路的阻碍，培养他们利用数形结 合解题的技巧和能力． 关键词：二次函数综合题解题策略 例１：已知函数ｖ＝ｘ‘＋ｂｘ＋２的图像经过点（３，２）． （１）求这个函数的关系式；（２）画出它的图像；（３）根据图像 指出：当Ｘ取何值时，ｖ≥２７ 分析：（１）利用待定系数法，可以求出ｂ的值，从而获得函 数表达式；（２）根据函数关系式画出函数图像；（３）借助函数图 像，由“形”想“数”，要“确定ｙ＝２时，ｘ的取值范围“就是要求位 二次函数综合题难度大、综合性强、内涵丰富、涉及的 知识面广，是初中数学中最重要、最核心、纵向和横向联系 规模最大的内容之一．要解决好此类题目需要有扎实的基 础知识。较强的分析、演算、理解能力，因此是近年来各地中 考命题的重点和热点，引起人们的关注．它主要以压轴题的 形式出现．那么如何正确求解呢？下面从三个方面阐述其解 题策略． 利用数形结合思想求解策略 利用二次函数图像求极值问题，是近几年各地数学中考 一 于“直线ｖ＝２上方”图像的自变量取值范围． 解：（１）根据题意，得２＝９＋３ｂ＋２，解得ｂ＝一３．所以函数关系 式为ｙ＝ｘ ３ｘ＋２． （２）易求该抛物线与Ｘ轴的两个交点坐标为（１，０），（２，０）， １ ’ 试卷中很常见的题型。此类题综合性比较强，涉及的知识较 广，可以结合几何图形来解题，实际上二次函数图像本身就是 与Ｙ轴的交点坐标为（Ｏ，２），对称轴为ｘ＝÷．函数ｙ＝ｘ－＿３ｘ＋２￣４Ｊ图 的中点为原Ａｏ作直角坐标系，从爆炸点到两点的距离差值可 以把它抽象为双曲线解析几何模型． 解：假设爆炸点为Ｐ，由题意有 …ＰＡＩ—ＩＰＢｌｌ＝６ａ，ＩＡＢＩ＝１０ａ， 时不考虑制造工艺中要求的折边长度 ＩＰＡＩ ＝４１ＰＢＩ 。即ＩＰＡＪ＝２１ＰＢＩ． ２ ２ 则双曲线的模型为 解：因为每罐饮料的体积是一样的，所以可以把Ｖ看成一 个常数．有Ｖ＝叮Ｔｒ－ｈ． 又由于易拉罐上底的强度大一些，厚度是其他部分厚度 的３倍。因而制罐用材的总面积为Ｓ＝３１Ｔ ｂ＋订 ｂ＋２１Ｔｒｈｂ＝（４订，＋ ２１ｒｒｈ）ｂ． 、， 一上＝１且爆炸点Ｐ在双曲线上． （３ａ） （４ａ） 综合以上条件，解得ＰＡＮ￣￣ｆ，Ｎｆ ，旦 １． 故爆炸点ＰＮ两观察所ＡＢ的中点０的距离ＩＰＯＩ＝、／６５ａ． 换一个角度思考，当我们把两个观察所Ａ、Ｂ和爆炸点Ｐ连 线成为一个三角形，此问题也可转化为三角模型问题． 在中学里学习与建立几何模型．涉及许多的数学思想，综 合上面的例子，现总结出若干要点如下。 １．一个几何问题可以是纯粹的数学问题．也可以是现 实的数学问题，总可以从现实世界中找到问题的原型．如例 ２．在定体积的条件下，求解空间物体最小的总面积．只有把 生活问题数学化。体现生活中的数学，才能引发学生的学 习兴趣． 故饮料罐的总面积就只与ｈ，ｒ有关，把ｈ＝ １Ｔｒ 代入ｓ，得Ｓ＝Ｓ （ｒ）：．－２１１ｒｂ（２ｒ２＋ ）． １Ｔｒ 则用料最省的问题就转化为求半径ｒ使得Ｓ（ｒ）达到最小的 问题，通过计算得出饮料罐高ｈ为半径ｒ的４倍． 事实上，当我们拿可口可乐、百事可乐罐测量时，圆柱体 的高与底面半径的比几乎与上述结果一致． 三、解析几何数学模型 平面解析几何模型主要包括了曲线系模型，如双曲线、抛 物线、椭圆等各种曲线的应用模型． 例３：在相距为１０ａ（其中ａ为声速）的 Ａ、Ｂ两处观察所中听到同一爆炸声的时间 差为６秒，且记录显示了Ｂ处的声强是Ａ处 的４倍（声强与距离的平方成反比），试确定 爆炸点到两观察所的中点的距离． 分析：如图，以ＡＢ的连线为ｘ轴，ＡＢ间 ２．由于几何问题的复杂性，解决一个数学问题可以有各 种不同的角度，如例３，用解析几何模型求距离的问题在某种 情形下也可转化为三角模型问题． ３．从横向的观点看，几何问题与其他的数学知识是相互 联系、相互转化的．一个几何模型，可以用方程、不等式、函数 等知识来解决；相对的，一个数学问题也可以通过建立几何模 型来表示，如例１用图形面积表示代数式． ４．数形结合的思想是几何模型的最大的特色，建立几何 模型正是对空间物体的抽象概括，用图形代替实物结构，把实 际问题数学化．上述各例都是数与形的转化与结合．
