2007年高中总复习第一轮数学 第九章9.11 多面体与正多面体

9.11 多面体与正多面体

巩固·夯实基础 一、自主梳理

1.若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.

2.每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体.

3.正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种. 4.如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E,那么V、E、F三者之间的关系是V+F-E=2,称之为欧拉公式. 二、点击双基

1.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是（ ）

答案:B

2.已知一个凸多面体的各面均为五边形,且共有30条棱,则此多面体的面数F和顶点数V分别等于( )

A.F=6,V=26 B.F=28,V=12 C.F=12,V=20 D.F=8,V=24 解析:由已知E=30,又E=答案:C

3.棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( ) A.

1125F2,所以F=12,由欧拉定理得V=20.

a3 B.

16a3 C.

14a3 D.

13a3

解析:易知所求八面体为正八面体,其上半部分为正四棱锥,则V八面体=2V正四棱锥

=2·

13·(

22a)2·

12a=

16a3.

答案:B

4.(2005北京春季高考)如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为______________________.

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解析:拼成四棱柱后,少了两个面积为a2的面,多了两个面积为2a2的面,因此所得四棱柱的全面积为6a2-2a2+22a2=(4+22)a2. 答案:(4+22)a 诱思·实例点拨

【例1】C70分子有与C60分子类似的球状多面体结构.它有70个顶点,每个顶点处有3条棱,各面是五边形或六边形,且五边形与六边形没有公共点,则C70分子中五边形的个数为______,六边形个数为_____________.

解析:设五边形个数为x,六边形个数为y, 370(xy)702,2 则

1(5x6y)105,22

解得x12,y25.

答案:12 25

【例2】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于（ ） A.-13 B.

13 C.-

12 D.

12

解析:将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cosθ=答案:A

【例3】如图,三个12×12 cm的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.

(3)(3)(22)233222=-

13（设正方体的棱长为2）.

解法一:补成一个正方体，如图甲，V=

12V正方体=

12×12=8 cm.

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解法二:补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥-3V小三棱锥=8 cm. 链接·聚焦

补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.

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