2022-2023学年北师大版七年级数学上册《3-5探索与表达规律》优生辅导测评(附答案)

，例如f（2）＝

＝，则f（）+（）+…+f（

）

+f（1）+f（2）+…+f（10）的值是（ ） A．9

B．9.5

C．10

D．10.5

2．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第一次输出的结果为18，第二次输出的结果为9，…，第2022次结果为（ ）

A．3

B．6

C．9

D．12

3．如图，将正整数按此规律排列成数表，若2021是表中第n行第m列，则m+n＝（ ）

A．66

B．68

C．69

D．70

4．如图所示，正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）

A．70

B．72

C．74

D．76

5．已知整数a1，a2，a3，a4，…，an满足下列条件：a1＝0，a2＝|a1﹣1|，a3＝|a2﹣2|，a4

＝|a3﹣3|，…，an＝|an﹣1﹣（n﹣1）|，以此类推，则a2021的值为（ ） A．2020

B．1009

C．1010

D．1011

6．对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2021）的值为（ ） A．4042

B．4048

C．4050

D．10

7．如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a的值是（ ） A．36

B．45

C．52

D．61

8．一组连续整数99，100，101，102，…，2020前分别添加“+”和“﹣”，并运算，则所得最小非负整数是（ ） A．1

B．0

C．199

D．99

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．观察21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测22022﹣1的个位数字是 ．

10．在2020个“□”中依次填入一列数字m1，m2，m3…，m2020，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于15．已知m3＝2，m6＝7，则m1+m2020的值为 ．

2

，a3＝1﹣

7 ，a4＝1﹣

…

11．若a1＝1﹣，a2＝1﹣，…，则a2021＝ ．

12．观察下列三行数，并完成填空： ①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，，… ②1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，… ③0，﹣3，3，﹣9，15，﹣33，…

第①行数按一定规律排列，第2022个数是 ；若取每行数的第2022个数，计算这三个数的和为 ．

13．请你在心里任意想一个两位数，然后把这个数的十位数字与个位数字相加，再用原来的两位数减去它们的和，会得到一个新数，然后重复上面的过程，把新的两位数的十位数字与个位数字再相加，用新的两位数减去这个和，一直这样重复下去，直到所得的数不再是两位数为止，则最终你得到的数字是 ．

14．观察：3×7＝21，13×17＝221，23×27＝621，33×37＝1221，…，用等式表示这一规律为： ． 15．观察：∵

＝×（1﹣），

＝×（

），

＝×（﹣），…

＝×（

∴

+

+

﹣），

＝×（1﹣+﹣+…+

+

+…+

﹣

）＝ ．

．

+…+

请用你发现的规律计算求值：16．观察下列各式：

13+23＝9＝×4×9＝×22×32

13+23+33＝36＝×9×16＝×32×42 13+23+33+43＝100＝×16×25＝×42×52

若n为正整数，试猜想13+23+33+…+n3等于 ．（注：最终结果保留带括号的形式即可）

三．解答题（共5小题，满分40分） 17．观察下列等式：

22﹣21＝21，23﹣22＝22，24﹣23＝23……．； 探究其中的规律，并解答下列问题：

（1）请直接写出第4个等式 ；第n个等式 ． （2）计算：21﹣22﹣23﹣…﹣214+215 18．阅读下列材料并解决有关问题：

13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，所以13+23＝（1+2）2； 13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，所以13+23+33＝（1+2+3）2；

13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，所以13+23+33+43＝（1+2+3+4）2； （1）13+23+33+43+53＝ ．

（2）按照材料提示，求13+23+33+…+n3（n为整数）； （3）求113+123+133+143+153的值． 19．观察下列算式：

＝1﹣，

＝﹣，

＝﹣，…．

（1）通过观察以上算式，猜想并写出：（2）直接写出下列算式的结果：

+

+

+

+…+

+

（n为正整数）．

＝ ．

20．仔细观察下列等式：

第1个：52﹣12＝8×3； 第2个：92﹣52＝8×7； 第3个：132﹣92＝8×11； 第4个：172﹣132＝8×15； …

（1）请你写出第8个等式： ； （2）请写出第n个等式，并加以验证；

（3）运用上述规律，计算：8×11+8×15+…+8×403+8×407． 21．已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，… （1）请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； （2）请你找出规律，写出第n个式子 ． 利用（2）中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2019+2021．

参

一．选择题（共8小题，满分40分） 1．解：∵f（x）＝

，

∴f（）＝＝，

∴f（x）+f（）＝1， ∴f（）+（）+…+f（＝1×9+f（1） ＝9+ ＝9.5， 故选：B．

2．解：第1次输出的结果为：15+3＝18， 第2次输出的结果为：×18＝9， 第3次输出的结果为：9+3＝12， 第4次输出的结果为：×12＝6， 第5次输出的结果为：×6＝3， 第6次输出的结果为：3+3＝6， …，

从第4次开始，以6，3依次循环， ∵（2022﹣3）÷2＝2019÷2＝1009……1， ∴第2022次输出的结果为6． 故选：B．

3．解：由所给成数表可知，第n行有n个数字， ∴前n行共有∵

＜2021＜

个数字，

，

）+f（1）+f（2）+…+f（10）

∴2021在第行，

∵前63行共有2016个数， ∴2021﹣2016＝5， ∴2021在第行第5列， ∴m＝，n＝5， ∴m+n＝69， 故选：C．

4．解：第一行第二个数是从4开始的偶数， 第二行第一个数是从2开始的偶数， ∴m＝8×10﹣6＝74， 故选：C．

5．解：∵a1＝0， ∴a2＝|a1﹣1|＝1， a3＝|a2﹣2|＝1， a4＝|a3﹣3|＝2， a5＝|a4﹣4|＝2， a6＝|a5﹣5|＝3， a7＝|a6﹣6|＝3， a8＝|a7﹣7|＝4， …，

从a2开始，连续两个式子的运算结果相同， ∵（2021﹣1）÷2＝1010， ∴a2021的值1010， 故选：C． 6．解：由题意可得， f（1）＝2，

f（1）+f（2）＝2+6＝8，

f（1）+f（2）+f（3）＝2+6+2＝10，

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+6+2+0＝10，

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+6+2+0+0＝10，

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝2+6+2+0+0+2＝12，

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝2+6+2+0+0+2+6＝18，

f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝2+6+2+0+0+2+6+2＝20， …，

∵2021÷5＝404…1，

∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2021）

＝（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+…+（2+6+2+0+0） ＝10×404+2 ＝4040+2 ＝4042， 故选：A． 7．解：∵23＝3+5， 33＝7+9+11， 43＝13+15+17+19， 53＝21+23+25+27+29， …，

∴a3后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数， ∵45×（45﹣1）+1＝1981， 46×（46﹣1）+1＝2071，

∴奇数2021是底数为45的数的立方后的一个奇数， ∴a＝45， 故选：B．

8．解：∵一组连续整数99，100，101，102，…，2020， ∴这组数据一共有2020﹣99+1＝1922个数，

∴99﹣100﹣101+102+103﹣104﹣105+106+…+2015﹣2016﹣2017+2018+2020﹣2019 ＝（99﹣100﹣101+102）+（103﹣104﹣105+106）+…+（2015﹣2016﹣2017+2018）+（2020﹣2019） ＝0+0+…+0+1

＝1，

即这些数分别添加“+”和“﹣”，并运算，所得最小非负整数是1， 故选：A．

二．填空题（共8小题，满分40分）

9．解：∵21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，……， ∴计算结果中的个位数字依次以1，3，7，5循环出现， ∵2022÷4＝505…2， ∴22022﹣1的个位数字是3， 故答案为：3．

10．解：由题知m1+m2+m3+m4＝15， m2+m3+m4+m5＝15， m3+m4+m5+m6＝15， .....．

m2017+m2018+m2019+m2020＝15， ∴m1＝m5＝m9＝...＝m4n﹣3， m2＝m6＝m10＝...＝m4n﹣2， m3＝m7＝m11＝...＝m4n﹣1， m4＝m8＝m12＝...＝m4n， ∴m2020＝m4，m1＝m5，

∵m3＝2，m6＝7，m3+m4+m5+m6＝15， ∴m4+m5＝6， 即m1+m2020＝6， 故答案为：6．

11．解：∵a1＝，a2＝﹣，a3＝4，a4＝，…， ∴分别为、﹣、4依次循环， ∵2021÷3＝673…2，

∴a2021的与循环组的第2个数相同，是﹣． 故答案为：

．

12．解：由①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，，… 可得第n个数是（﹣2）n， ∴第2022个数是22022，

由②1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，… 可得第n个数是（﹣2）n1，

﹣

∴第2022个数是﹣22021，

由③0，﹣3，3，﹣9，15，﹣33，… 可得③的每一个数是②的对应数﹣1， ∴第n个数是（﹣2）n1﹣1，

﹣

∴第2022个数是﹣22021﹣1， ∴22022﹣22021﹣22021﹣1＝﹣1， 故答案为：22022，﹣1．

13．解：当心里想的一个两位数是12时， 则：12﹣（1+2）＝9，

当心里想的一个两位数是21时，

则：21﹣（2+1）＝18，18﹣（1+8）＝9， 当心里想的一个两位数是35时，

则：35﹣（3+5）＝27，27﹣（2+7）＝18，18﹣（1+8）＝9， 故最终得到的数是：9． 故答案为：9．

14．解：∵3×7＝21，13×17＝221，23×27＝621，33×37＝1221，…， ∴[10（a﹣1）+3][10（a﹣1）+7]＝100a（a﹣1）+21， 故答案为：[10（a﹣1）+3][10（a﹣1）+7]＝100a（a﹣1）+21． 15．解：∵

＝

∴＝＝×（

+

+…+

++…+

+…+）

，

，

＝＝＝

．

故答案为：．

16．解：根据题意得，13+23+33+4+…+n3＝n2（n+1）2． 故答案为n2（n+1）2．

三．解答题（共5小题，满分40分）

17．解：（1）第4个等式是：25﹣24＝24，第n个等式是：2n+1﹣2n＝2n， 故答案为：25﹣24＝24，2n+1﹣2n＝2n； （2）21﹣22﹣23﹣…﹣214+215 ＝（215﹣214）﹣213﹣…﹣22+21 ＝（214﹣213）﹣212﹣…﹣22+21 ＝22+21 ＝4+2 ＝6．

18．解：（1）由题目中的式子可得， 13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2， 故答案为：（1+2+3+4+5）2； （2）由题目中的式子可得， 13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2； （3）113+123+133+143+153

＝（13+23+33+…+153）﹣（13+23+33+…+103） ＝（1+2+3+…+15）2﹣（1+2+3+…+10）2 ＝1202﹣552 ＝14400﹣3025 ＝11375．

19．解：（1）由题意可得，

＝

故答案为：＝（2）＝1﹣+＝1﹣＝

，

． +

， ； +

++…+

+…+

+

故答案为：

20．解：（1）由题意可得， 第8个等式：332﹣292＝8×31， 故答案为：332﹣292＝8×31； （2）由题意可得，

第n个等式：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1），

验证：左边＝（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝（4n+1+4n﹣3）（4n+1﹣4n+3）＝（8n﹣2）×4＝8（4n﹣1）＝右边；

（3）8×11+8×15+…+8×403+8×407

＝（132﹣92）+（172﹣132）+…+（4052﹣4012）+（4092﹣4052） ＝132﹣92+172﹣132+…+4052﹣4012+4092﹣4052 ＝4092﹣92 ＝418×400 ＝167200．

21．解：（1）观察下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…， 可得第④个式子为：52﹣42＝9， 故答案为：52﹣42＝9；

（2）第n个式子为：（n+1）2﹣n2＝2n+1， 故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1； 1+3+5+7+…+2019+2021

＝1+（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（10102﹣10092）+（10112﹣10102）

＝1+22﹣12+32﹣22+42﹣32+…+10102﹣10092+10112﹣10102 ＝10112 ＝1022121．