一、选择题（共8小题）.
1．复数z满足＝i，则复平面上表示复数z的点位于（ ） A．第一或第三象限 C．实轴 2．“tanθ＝
”是“sin2θ＝
B．第二或第四象限 D．虚轴 ”的（ ）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件 C．充要条件
3．设a＝30.5，b＝40.4，c＝50.3，则（ ） A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b
n 4．已知正整数n≥7，若（x﹣）（1﹣x）的展开式中不含x4的项，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某圆锥母线长为2，底面半径为积的最大值为（ ）
A．2
B．
，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面
C．
1 / 27
D．1
7．过抛物线E：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C，D，若△ACF与△BDF的面积之比为4，则直线AB的斜率为（ ）
A．±1
B．±
C．±2
D．±2
8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[
，
]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
） B．[4，
）
C．[4，
）
D．[，
）
A．[，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）
A．（∁UA）∩B C．∁U（A∩（∁UB））
B．∁B（A∩B） D．∁AUBA
10．已知函数f（x）＝，则有（ ）
A．存在x0＞0，使得f（x0）＝﹣x0 B．存在x0＜0，使得f（x0）＝x02
C．函数f（﹣x）与f（x）的单调区间和单调性相同
2 / 27
D．若f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，则x1+x2≤0
11．两个等差数列{an}和{bn}，其公差分别为d1和d2，其前n项和分别为Sn和Tn，则下列命题中正确的是（ ）
A．若{
}为等差数列，则d1＝2a1
B．若{Sn+Tn}为等差数列，则d1+d2＝0 C．若{anbn}为等差数列，则d1＝d2＝0
D．若bn∈N*，则{a}也为等差数列，且公差为d1+d2
12．设函数f（x）＝e2x﹣8ex+6x，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的x0有（ ）
A．﹣ln2
B．ln2
C．ln4
D．ln5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．两个单位向量
，
满足|
|＝|
+
|，则|
﹣
|＝_ ．
14．双曲线E：
2
﹣＝1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，若双曲线E与圆：（x﹣c）
+y2＝9a2恰有三个公共点，则E的离心率为 ．
15．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的
学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评．设随机变量X～B（n，p），
n﹣k记pk＝Cpk（1﹣p），k＝0，1，2，…，n．在研究pk的最大值时，小组同学发现：若（n+1）
p为正整数，则k＝（n+1）p时，pk＝pk﹣1，此时这两项概率均为最大值；若（n+1）p为非整数，当k取（n+1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复
3 / 27
投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
16．如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正六边形作为基底，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若某个正六角反棱柱各棱长均为1，则其外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知公比不为1的等比数列{an}满足a1+a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞
成立的最大正整数k．
，b＝
．
18．在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝（Ⅰ）若cosAcosC＝，求△ABC的面积； （Ⅱ）试问明理由．
＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不能成立，请说
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，M为棱PC上一点．
4 / 27
（Ⅰ）若BM⊥CD，证明：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA＝PD＝AD＝2，且PA∥平面BMD，求直线PC与平面BMD所成角的正弦值．
20．有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用．2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如图的统计图表：
（Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄； （Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表： 是否佩戴头盔
年龄 [20，40） [40，70]
是 否
5 / 27
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？
附：K2＝
．
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
P（K2≥k）
k
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，过椭圆内点D（，0）且不与x轴重合的动直线交椭圆C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，|PD|＝|BD|＝．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AP，AQ和直线l：x＝t分别交于点M，N，若MD⊥ND恒成立，求t的值．
22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣a﹣lnx． （Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：当0＜a≤1时，f（x）≥lna恒成立．
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参
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z满足＝i，则复平面上表示复数z的点位于（ ） A．第一或第三象限 C．实轴
解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
∵＝i，∴a﹣bi＝i（a+bi）＝﹣b+ai， ∴a＝﹣b，﹣b＝a，a与b不全为0，
∴复平面上表示复数z的点（a，﹣a）位于第二或第四象限， 故选：B． 2．“tanθ＝
”是“sin2θ＝
”的（ ）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
,可得sin2θ＝
＝
,
B．第二或第四象限 D．虚轴
A．充分不必要条件 C．充要条件 解：由tanθ＝
7 / 27
故“tanθ＝”是“sin2θ＝”的充分条件，
由sin2θ＝＝
,可得tanθ＝
,或tanθ＝
,
故“tanθ＝”是“sin2θ＝”的不必要条件，
故选：A．
3．设a＝30.5，b＝40.4，c＝50.3，则（ ） A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b
解：a＝30.5＝（35）0.1＝2430.1，
b＝40.4＝（44）0.1＝2560.1， c＝50.3＝（53）0.1＝1250.1，
∵幂函数y＝x0.1在（0，+∞）上单调递增，且125＜243＜256， ∴1250.1＜2430.1＜2560.1， 即c＜a＜b， 故选：C．
4．已知正整数n≥7，若（x﹣）（1﹣x）n的展开式中不含x4的项，则n的值为（A．7 B．8 C．9 D．10
解：正整数n≥7，若（x﹣）（1﹣x）n的展开式中不含x4的项， 则 （1﹣x）n的展开式中的含x3的项和含x5的项的系数和为0，
8 / 27
）
即﹣+＝0，∴n＝8，
故选：B．
5．从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：从3双不同的鞋子中随机任取3只， 基本事件总数n＝
＝20，
＝12，
这3只鞋子中有两只可以配成一双包含的基本事件个数m＝则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是P＝＝故选：C．
6．某圆锥母线长为2，底面半径为积的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1 ＝．
，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面
解：如图所示，截面为△SMN，P为MN的中点，设OP＝x（0＜x≤所以SO＝1，故
， ＝
，
）， ，
所以当x＝1时，S△SMN＝2，此时的截面面积最大． 故选：A．
9 / 27
7．过抛物线E：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别向E的准线作垂线，垂足分别为C，D，若△ACF与△BDF的面积之比为4，则直线AB的斜率为（ ）
A．±1
B．±
C．±2
D．±2
解：设△ACF与△BDF的高分别h1，h2，则＝，
由抛物线的性质可得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，
＝＝＝4，则＝2，
设AB的倾斜角为θ，
AF＝所以
，BF＝，（抛物线焦点弦推论），
＝2，解得cosθ＝，
所以tanθ＝＝＝2，
当|AF|＜|BF|，这时tanθ＝﹣2故选：D．
，
10 / 27
8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[
，
]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
） B．[4，
）
C．[4，
）
D．[，
）
A．[，
解：令函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1＝0，解得sin（ωx+φ）＝，
y＝sin（ωx+φ）是由y＝sinx图象变换得到的，且最小正周期为T＝在[0，2π]内，sin所以函数
＝sin
＝，
，
y＝sinx相邻4个零点x1、x2、x3、x4满足：
x2﹣x1＝x4﹣x3＝﹣＝，
x3﹣x1＝x4﹣x2＝2π，
x3﹣x2＝（x3﹣x1）﹣（x2﹣x1）＝2π﹣
＝
，
11 / 27
所以相邻两零点最大距离d1＝，
+2π＝ω，
，
相邻四个零点占区间长度最短为d2＝x4﹣x1＝（x4﹣x3）+（x3﹣x1）＝
x∈[d1≤个零点），
，]时，ωx∈[
≤
ω，ω＜
（
ω]，区间宽度为[﹣]ω＝
ω＜d2，即ω＝d1至少有2个零点，ω＝d2至少有4
解得≤ω＜故选：A．
，所以ω的取值范围是[，）．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）
A．（∁UA）∩B C．∁U（A∩（∁UB））
B．∁B（A∩B） D．∁AUBA
解：由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中， 所以阴影部分所表示的集合是 B∩（∁UA），∁AUBA, 故选：AD．
10．已知函数f（x）＝，则有（ ）
12 / 27
A．存在x0＞0，使得f（x0）＝﹣x0 B．存在x0＜0，使得f（x0）＝x02
C．函数f（﹣x）与f（x）的单调区间和单调性相同 D．若f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，则x1+x2≤0
解：因为f（x）＝，
当x0＞0时，f（x0）＝x02＝﹣x0，解得x0＝0，x0＝﹣1，显然都不满足x0＞0，故A不正确；
当x0＜0时，f（x0）＝﹣x0＝x02，解得x0＝0，x0＝﹣1，显然x0＝﹣1满足x0＜0，故
B正确；
当x＜0时，f（x）＝﹣x单调递减，即f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）， 当x＞0时，f（x）＝x2单调递增，即f（x）的单调增区间为（0，+∞），
又f（﹣x）＝在（0，+∞）上单调递增，
＝，因此f（﹣x）在（﹣∞，0）上单调递减，
即函数f（﹣x）与f（x）的单调区间和单调性相同，故C正确；
不妨令x1＜x2，f（x1）＝f（x2）＝，则x1＝﹣，x2＝，此时x1+x2＝＞0，故D不正确．
故选：BC．
13 / 27
11．两个等差数列{an}和{bn}，其公差分别为d1和d2，其前n项和分别为Sn和Tn，则下列命题中正确的是（ ）
A．若{
}为等差数列，则d1＝2a1
B．若{Sn+Tn}为等差数列，则d1+d2＝0 C．若{anbn}为等差数列，则d1＝d2＝0
D．若bn∈N*，则{a}也为等差数列，且公差为d1+d2 解：对于A:因为{即2所以2
＝
＝+
+
,
}为等差数列，所以2
,
＝
+
，
化简得(d1﹣2a1)2＝0,所以d1＝2a1，故A正确； 对于B：因为{Sn+Tn}为等差数列， 所以2(S2+T2)＝S1+T1+S3+T3，
所以2(2a1+d1+2b1+d2)＝a1+b1+3a1+3d1+3b1+3d2, 所以d1+d2＝0,故B正确； 对于C：因为{anbn}为等差数列， 所以2a2b2＝a1b1+a3b3,
所以2(a1+d1)(b1+d2)＝a1b1+(a1+2d1)(b1+2d2), 化简得d1d2＝0,所以d1＝0或d2＝0,故C不正确；
14 / 27
对于D：因为an＝a1+(n﹣1)d1,且bn∈N*, 所a＝a1+(n﹣1)d1＝a1+[b1+(n﹣1)d2﹣1]d1, 所以a所以{a﹣a＝a1+(b1﹣1)d1+nd1d2﹣a1﹣(b1﹣1)d1﹣(n﹣1)d1d2＝d1d2,
}也为等差数列，且公差为d1d2,故D不正确．
故选：AB．
12．设函数f（x）＝e2x﹣8ex+6x，若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则选项中满足条件的x0有（ ）
A．﹣ln2
B．ln2
C．ln4
D．ln5
解：根据题意，f（x）＝e2x﹣8ex+6x，
则f′（x）＝2e2x﹣8ex+6，f′′（x）＝4e2x﹣8ex＝4ex（ex﹣2）， 若f′′（x）＝0，即4ex（ex﹣2）＝0，解可得x＝ln2， 在区间（﹣∞，ln2）上，f′′（x）＜0，f′（x）为减函数， 在区间（ln2，+∞）上，f′′（x）＞0，f′（x）为增函数，
若f′（x）＝2e2x﹣8ex+6＝0，变形可得（ex﹣1）（ex﹣3）＝0，解可得x＝0或x＝
ln3，
在区间（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 在区间（0，ln3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数， 在区间（ln3，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
15 / 27
若曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线与该曲线恰有一个公共点P，则x0
＞ln3，
分析选项可得：CD符合x0＞ln3， 故选：CD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．两个单位向量，满足|
|＝|
+|，则|
﹣
|＝_
．
解：∵，
，
∴， ∴，
∴＝
＝
．
故答案为：
． 14．双曲线E：
﹣＝1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，若双曲线E与圆：2
+y2＝9a2恰有三个公共点，则E的离心率为 2 ．
解：双曲线E：
﹣＝1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，若双曲线E与圆：2
+y2＝9a2恰有三个公共点，
可得a+c＝3a，解得e＝＝2． 故答案为：2．
16 / 27
x﹣c）
x﹣c）
（（15．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评．设随机变量X～B（n，p），
n﹣k记pk＝Cpk（1﹣p），k＝0，1，2，…，n．在研究pk的最大值时，小组同学发现：若（n+1）
p为正整数，则k＝（n+1）p时，pk＝pk﹣1，此时这两项概率均为最大值；若（n+1）p为非整数，当k取（n+1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 18 的概率最大．
解：继续再进行80次投掷实验，出现点数为1次数X服从二项分布X～B（80，），
由k＝（n+1）p＝81×，
结合题中的结论可知，当k＝13时概率最大，
即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次， 所以出现18次的概率最大， 故答案为：18．
16．如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正六边形作为基底，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若某个正六角反棱柱各棱长均为1，则其外接球的表面积为
．
17 / 27
解：作出该几何体在下底面的投影图如图，
∵正六角反棱柱各棱长均为1，∴OA＝1，OB＝，则AB＝1﹣，
过侧面任意一三角形上顶点作底面垂线，设垂足为A，d为上下两底面距离， 则
设球的半径为R，则有
∴其外接球的表面积为S＝4π×故答案为：
．
＝（
）π．
，
，
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知公比不为1的等比数列{an}满足a1+a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞
成立的最大正整数k．
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，且q≠1，
18 / 27
∵a1+a3＝5，a1，a3，a2构成等差数列
∴，解得，
∴an＝a1q＝4•．
，n∈N*．
∴数列{an}的通项公式为an＝4•
（Ⅱ）Sn＝＝[1﹣]，∴Sk＝[1﹣]，
要使Sk＞，即[1﹣]＞，即＜﹣，
当k为偶数时，＞0，不等式不成立，
∴k为奇数，设k＝2m﹣1，m∈∈N*， 则
＜﹣
，即
＞
，即
＞
，即4m＜
，
∴整数m≤2，所以m的最大值为2， 此时k的最大值为3， ∴使Sk＞
成立的最大正整数k＝3．
，b＝
．
18．在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝（Ⅰ）若cosAcosC＝，求△ABC的面积； （Ⅱ）试问明理由．
＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不能成立，请说
19 / 27
解：（Ⅰ）由B＝，可得A+C＝，
，
所以cos（A+C）＝cosAcosC﹣sinAsinC，即又因为cosAcosC＝，所以sinAsinC＝，
因为，
所以所以（Ⅱ）假设
，
＝
能成立，所以a+c＝ac，
；
由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB， 所以6＝a2+c2+ac，所以（a+c）2﹣ac＝6，
故（ac）2﹣ac﹣6＝0，解得ac＝3或ac＝﹣2（舍）， 此时a+c＝ac＝3，不满足所以假设不成立，故
，
不成立．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，M为棱PC上一点．
（Ⅰ）若BM⊥CD，证明：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA＝PD＝AD＝2，且PA∥平面BMD，求直线PC与平面BMD所成角的正弦值．
20 / 27
【解答】（Ⅰ）证明：作BN∥AD交CD于点N， 因为CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥AD，所以CD⊥BE，
因为BM⊥CD，BM∩BE＝B，BM，BN⊂平面BMN， 所以CD⊥平面BME，因为CD⊥平面PAD， 所以平面PAD∥平面BME，因为BM⊂平面BME， 所以BM∥平面PAD；
（Ⅱ）解：取BC的中点F，AD的中点O，连结OF，OP， 因为CD⊥平面PAD，OF∥CD，所以OF⊥平面PAD， 因为AD，OP⊂平面PAD，所以OF⊥AD，OF⊥OP， 因为PA＝PD，所以PD⊥AD，
以O为坐标原点，OA，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设因
，所以为
，
，
，
所
以
21 / 27
所以，
，
，
因为B（1，1，0），D（﹣1，0，0），所以
设平面BMD的法向量为，则有，即
，
令x＝1，得y＝﹣2，因为A（1，0，0），所以所以所以
，即1﹣
，
，所以
，
＝0，解得
， ，
，
则有＝．
所以直线PC与平面BMD所成角的正弦值为．
20．有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用．2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车
22 / 27
骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如图的统计图表：
（Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄； （Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表： 是否佩戴头盔
年龄 [20，40） [40，70]
是 否
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？
附：K2＝
．
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
P（K2≥k）
k
解：（Ⅰ）该市电动自行车骑乘人员的平均年龄为：25×0.25+35×0.35+45×0.2+55×0.15+65×0.05＝39．
（Ⅱ）列联表如下图：
23 / 27
是否佩戴头盔
年龄 [20，40） [40，70] （Ⅲ）K2＝
是 否
0 340
＝
60 60
≈5.682＜6.635，
所以没有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，过椭圆内点D（，0）且不与x轴重合的动直线交椭圆C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，|PD|＝|BD|＝．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AP，AQ和直线l：x＝t分别交于点M，N，若MD⊥ND恒成立，求t的值．
解：（Ⅰ）由得，故C的方程为,此时 ，
代入方程,解得 b2＝2，故C的标准方程为．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为：与椭圆联立得
， ，
设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则，①
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此时直线AP的方程为，与x＝t联立，
得点，同理，，
由MD⊥ND，则kMD⋅kND＝﹣1，
即，
所以即
，
，
把①代入得，
化简得即
，
解得
或
． ，
，
22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣a﹣lnx． （Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：当0＜a≤1时，f（x）≥lna恒成立．
【解答】（Ⅰ）解：当a＝1时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣1﹣lnx，则f'（x）＝设g（x）＝f'（x），则g'（x）＝
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，
，
故f'（x）在（0，+∞）上单调递增，又f'（1）＝0， 故当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 故f（x）在x＝1处取得最小值为f（1）＝0； （Ⅱ）证明：设h（a）＝（x﹣1）ex﹣a﹣lnx﹣lna，
则h'（a）＝，
设s（x）＝（1﹣x）ex，t（x）＝，
因为s'（x）＝﹣xex＜0，所以当x＞0时，s（x）单调递减，s（x）＜s（0）＝1， 因为t'（x）＝
，
所以当0＜x＜1时，t'（x）＜0，t（x）单调递减， 当x＞1时，t'（x）＞0，t（x）单调递增， 所以t（x）＞t（1）＝e， 故a＞0，x＞0时，
，即h'（a）＜0，故h（a）单调递减，
则当0＜a≤1时，h（a）≥h（1）＝（x﹣1）ex﹣1﹣lnx， 由（1）可知，（x﹣1）ex﹣1﹣lnx≥0，
故当0＜a≤1时，h（a）≥0，即（x﹣1）ex﹣a﹣lnx≥lna恒成立， 故f（x）≥lna．
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