2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(有答案解析)

题号 得分 一 二 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知集合M={x|-3＜x＜2}，N={x|（）x≤4}，则（ ）

三 总分 A. M∩N=（-2，2） C. M∪N=[-2，+∞） B. M∩N=（-3，-2） D. M∪N=（-3，+∞）

D. |z|=|1-2i|

2. 已知复数z=-1+2i，则下列关系式中正确的是（ ）

A. |z|＜2 B. |z|＞3 C. |z|≠|1+2i| 3. 已知sinx+cosx=，则cos（x-）=（ ）

A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）

y=0 A. 2x±

2y=0 B. x±

C. ±y=0 D. ±y=0

5. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. B. 1 C. D. 6. 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=ln（1+x2）+x，则不等式f（2x+1）

＞1+ln2的解集为（ ） A. {x|x＞0} B. {x|x＜0} C. {x|x＞1} D. {x|x＜1}

7. 甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法

方式有（ ） A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 12种 8. 如图，圆O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，其与BC

边相切于点D，点M为圆上任意一点，则2x+y的最大值为（ ）

=x+y（x，y∈R），

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A. B. C. 2 D. 2

9. 在△ABC中，给出下列说法：

①若A＞B，则一定有sinA＞sinB； ②恒有cosA+cosB＞0；

③若sinA＜cosB，则△ABC为锐角三角形． 其中正确说法的个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

10. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，f（x）≤f（）恒成立，且f（x）在区间

（0，）上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）

A. （6，10） B. （6，8） C. （8，10） D. （6，12）

11. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）

A. B. C. D. 的最大值为（ ）

n∈R，12. 已知不等式x-3lnx+1≥mlnx+n（m，且m≠-3）对任意实数x恒成立，则A. -2ln2

13. 在B. -ln2 C. 1-ln2 D. 2-ln2

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

的展开式中的系数为______．

14. 已知实数x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．

15. 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P-ABC的体积为

______．

16. 如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条互相垂直的弦

AB、CD，若△ACF与△BDF面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______．

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三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. 已知数列{an}满足a2-a1=1，其前n项和为Sn，当n≥2时，Sn-1-1，Sn，Sn+1成等差数列

（1）求证{an}为等差数列； （2）若Sn=0，Sn+1=4，求n．

18. 已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=3，

BC=4，AC=5．

（1）当AP变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时，求二面角A-PD-C

的余弦值．

19. 已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为2-．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）已知直线x=1与x轴交于点M，过点M的直线AB与Γ交于A、B两点，点P为直线x=1上任意一点，设直线AB与直线x=4交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为k1，k2，k0，则是否存在实数λ，使得k1+k2=λk0恒成立？若是，请求出λ的值；若不是，请说明理由．

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20. 近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环

利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．

（1）若在该市场随机选取3个2018年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在（4，8]上的概率；

（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中x（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，y（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格．

（ⅰ）由散点图判断，可采用y=ea+bx作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限x的回归方程，若t=lnyi，，选用如下参考数据，求y关于x的回归方程

5.5 8.5 1.9 301.4 79.75 385 （ⅱ）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用

附：参考公式：对于一组数据（ui，vi）（i=1，2，……，n），其回归直线=+βu的斜率和

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截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：e3.25≈26，e2.65≈14，

e2.05≈7.8，e1.45≈4.3，e0.85≈2.3．．

21. 已知f（x）=x-（lnx）2-klnx-1（k∈R）．

（1）若f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；

（2）若函数f（x）有两个极值点，判断函数f（x）零点的个数．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以坐标原点O为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ． （1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程； （2）若射线θ=β（0＜β）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|

取最大值时tanβ的值．

23. 已知函数f（x）=|x-3|-t，t∈R．

（1）当t=3时，解不等式|f（x）|≥3；

（2）若不等式f（x+2）≤0的解集为[-1，3]，正数a，b满足ab-2a-8b=2t-2，求a+2b的最小值．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：∵集合A={x|-3＜x＜2}， N={x|（）x≤4}={x|x≥-2}，

∴M∩N={x|-2≤x＜2}， M∪N={x|x＞-3}． 故选：D．

分别求出集合M和集合N，由此能求出M∩N，M∪N，从而能判断命题真假．

本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，是基础题． 2.答案：D

解析：解：∵z=-1+2i， ∴|z|=而|1-2i|=，

．

∴|z|=|1-2i|． 故选：D．

利用复数模的计算公式求得|z|，可得|z|=|1-2i|． 本题考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B

解析：解：∵已知sinx+cosx=2sin（x+）=，即sin（x+）=，

则cos（x-）=sin（x+）=， 故选：B．

由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（x-）的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题． 4.答案：B

解析：解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为， 可得：可得，即，

，

2y=0． 则双曲线C的渐近线方程为：x±

故选：B．

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通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 5.答案：C

解析：解：由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=1． ∴该几何体的体积为．

故选：C．

由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=1．再由棱锥体积公式求解．

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 6.答案：A

解析：解：根据题意，当x≥0时，f（x）=ln（1+x2）+x，易得f（x）在[0，+∞）上为增函数， 又由f（x）为定义在R上的奇函数，

则f（x）在R上为增函数，且f（1）=ln（1+1）+1=1+ln2， 则f（2x+1）＞1+ln2⇒f（2x+1）＞f（1）⇒2x+1＞1，

解可得x＞0，即不等式f（2x+1）＞1+ln2的解集为{x|x＞0}； 故选：A．

根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的单调性可得f（x）在R上为增函数，又由f（1）=1+ln2，据此可得f（2x+1）＞1+ln2⇒f（2x+1）＞f（1）⇒2x+1＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性，属于基础题． 7.答案：C

解析：解：所选课程中恰有1门课程相同，有4种，然后从剩余3门，选1门有A=3，

6=24， 共有4×

故选：C．

根据排列组合的公式进行计算即可．

本题主要考查排列组合的应用，先确定1门课程相同，然后则在从剩余3分进行选择是解决本题的关键．

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8.答案：C

解析：解：如图以D为原点，BC，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，3），B（-∴，，0），D（0，0），

，

∵圆O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆， ∴圆O的方程为：x2+（y-1）2=1， 设点M的坐标为（cosθ，sinθ+1）， ∵=x+y（x，y∈R）， ，sinθ+1）=x（，3）+y（，0），

∴（cosθ+∴，∴，

∴2x+y=∴当=，

时，2x+y的最大值为2．

故选：C．

建立直角坐标系，设点M的坐标为（cosθ，sinθ+1），然后根据条件建立2x+y，与sinθ，cosθ的关系式，再利用三函数的性质即可求出2x+y的最值．

本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 9.答案：C

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解析：【分析】

由三角形的正弦定理和边角公式可判断①；由余弦函数的单调性可判断②；可取A=120°，B=15°，可判断③．

本题考查三角形的正弦定理和边角关系、三角形的形状判断，考查余弦函数的性质，判断能力和推理能力，属于基础题． 【解答】

解：在△ABC中，

①，若A＞B，可得a＞b，即2RsinA＞2RsinB，（R为△ABC的外接圆的半径）， 则一定有sinA＞sinB，故正确；

②，由0＜A＜π-B＜π，可得cosA＞cos（π-B）=-cosB， 恒有cosA+cosB＞0，故正确；

③，若sinA＜cosB，由sinA＞0，可得cosB＞0，即B为锐角， =，cos15°=可取A=120°，B=15°，满足sin120°满足sinA＜cosB，则△ABC为钝角三角形．故错误．

故选：C． 10.答案：A

解析：解：依题意得f（）为f（x）的最大值1，∴ω+φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈（0，π）， ∴ω∈（8k-2，8k+2）k∈Z ①

又f（x）在区间（0，）上恰有两个零点，∴0≥-T，且0＜-T， 即≤T＜，即≤＜，解得6＜ω≤10，② ∴由①②ω∈（6，10）． 故选：A．

f（x）≤f（）恒成立⇔ω+φ=2kπ+，k∈Z；f（x）在区间（0，）上恰有两个零点⇔⇔0≥-T，且0＜-T，将T=代入可得．

本题考查了三角函数的最值，属中档题． 11.答案：B

解析：解：“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”． 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节， 基本事件总数n==720，

，

满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数： 第一节是数，有：第二节是数，有：=36种排法，

=84种排法，

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∴m=36+84=120，

则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率p=故选：B． 基本事件总数n==720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事

=36种排法，第二节是数，有：=84种排法，从而=．

件个数：第一节是数，有：m=36+84=120，由此能求出满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12.答案：B

解析：解：令f（x）=x-3lnx+1-mlnx-n， 则f′（x）=1-（x＞0），

若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→-∞，不合题意； ∴m+3＞0，由f′（x）=0，得x=m+3，

当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，

∴当x=m+3时，f（x）有最小值，则f（m+3）=m+3-3ln（m+3）+1-mln（m+3）-n≥0， 即n-3≤m+4-（m+3）ln（m+3），

≤令g（x）=则g′（x）=，

，

．

当x∈（-3，-1）时，g′（x）＞0，当x∈（-1，+∞）时，g′（x）＜0， ∴当x=-1时，g（x）有最大值为-ln2． 即的最大值为-ln2．

故选：B． fx）=x-3lnx+1-mlnx-n，fx）fm+3）=m+3-3ln令（利用导数可得当x=m+3（m+3＞0）时，（有最小值，则（（m+3）+1-mln（m+3）-n≥0，即n-3≤m+4-（m+3）ln（m+3），=，利用导数求其最大值得答案．

≤，令g（x）

本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题． 13.答案：-84

解析：【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-1，求出r的值，即可求得展开式中的系数． 【解答】

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解：（2x2-）7的通项公式Tr+1=令14-3r=-1，求得r=5， 可得展开式中的系数为故答案为-84． 14.答案：2

•（-1）r•27-r•x14-3r，

×4=-84. （-1）×

解析：解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：

z=2x-y经过可行域的A时，取得最大值，由z=2x-y的最大值为：4-2=2，

可得A（2，2）

故答案为：2．

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

15.答案：或

解析：解：∵正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16π，则其外接球的半径为2， 底面三角形ABC的外接圆的半径AG=．

设正三棱锥P-ABC的高为h，当球心在正三棱锥内部时，如图，

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则22=（h-2）2+3，解得h=3， 正三棱锥P-ABC的体积为V=；

同理，当球心在正三棱锥外部时，则22=（2-h）2+3，解得h=1． ∴正三棱锥P-ABC的体积为V=故答案为：或．

．

由三棱锥外接球的表面积求出三棱锥外接球的半径，然后分类求三棱锥的高，代入体积公式求解． 本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论得数学思想方法，是中档题．

16.答案：

解析：解：设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为由焦半径公式得∴△ACF的面积为=同理可得△BDF的面积为令=，

=，，=，

， ，，

，则△ACF与△BDF面积之和为，

，

再令x=t2+1∈[1，2），则△ACF与△BDF面积之和为由双勾函数的单调性可知，当x=1时，△ACF与△BDF面积之和取到最小值，即2p2=16，由于p＞0，

得， 因此，抛物线的方程为故答案为：．

|BF|、|CF|、，利用焦半径公式分别求出|AF|、

．

设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为|DF|，并求出△ACF与△BDF面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．

本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 17.答案：解：（1）证明：根据题意，当n≥2时，Sn-1-1，Sn，Sn+1成等差数列，则2Sn=（Sn-1-1）+（Sn+1），

变形可得：Sn-Sn-1=（Sn+1-Sn）-1， 即an+1-an=1，

则数列{an}是公差为1的等差数列；

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（2）由（1）的结论，数列{an}是公差为1的等差数列，则an=a1+（n-1）， 又由Sn=0，Sn+1=4，则an+1=Sn+1-Sn=4，则有an+1=a1+n=4，① 又由Sn=0，可得Sn==0，变形可得2a1+（n-1）=0，②

联立①②可得：n=7．

Sn-Sn-1=（Sn+1-Sn）解析：（1）根据题意，根据等差中项的性质可得2Sn=（Sn-1-1）+（Sn+1），变形可得：

-1，即an+1-an=1，由等差数列的定义分析可得答案；

（2）由（1）的结论可得an=a1+（n-1），又由Sn=0，Sn+1=4，则an+1=Sn+1-Sn=4，则有an+1=a1+n=4，又由Sn=0，可得Sn==0，变形可得2a1+（n-1）=0，联立两个式子求出n的值，即可得答案．

本题考查等差数列的性质的应用，涉及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．

18.答案：解：（1）由AB=3，BC=4，AC=5，知AB2+BC2=AC2， 则AB⊥BC，

由PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，得PA⊥BC， 由PA∩AB=A，PA，AB⊂面PAB，

则BC⊥面PAB，则点C到平面PAB的距离为一个定值BC=4． （2）由PA⊥面ABCD，AB为PB在平面ABCD上的射影， 则∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角，则∠PBA=45°，所以PA=AB=3． 由AD∥BC，AB⊥BC，得AB⊥AD，故直线AB、AD、AP两两垂直，

因此，以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

P（0，0，3），D（0，3，0），C（3，4，0）， =（0，-3，3），=（3，1，0），

设平面PDC的法向量为=（x，y，z），

则，取x=1，则=（1，-3，-3），平面PAD的一个法向量=（1，0，0），

cos＜＞===，

由题意得A-PD-C的平面角为钝角， ∴二面角A-PD-C的余弦值为-

．

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解析：（1）根据几何关系得到BC⊥面PAB，进而得到点面距离． （2）根据线面角得到∠PBA=45°，所以PA=AB=3，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，进而得到二面角的余弦值．

这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的找法，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 19.答案：解：（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为2-，

结合题干条件得到，

解得a=2，b=1， 故椭圆Γ的方程为：．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，t），M（1，0）， 若直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x=my+1， 点N（4，），，

将直线代入椭圆方程整理得： （m2+4）y2+2my-3=0，△＞0，则y1+y2=-+===，，

=2k0，

===2•若直线AB与x轴重合时，则B（-2，0），A（2，0），N（4，0）， 此时k1+k2==-t，

而k0=-t，故k1+k2=2k0．

综上所述，存在实数λ=2符合题意．

解析：（1）根据题干列出式子2-=a-c，结合求解即可；

y1）By2）Pt）（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，设A（x1，，（x2，，（1，，根据韦达定理化简得到结果．当直线AB与x轴重合时验证即可．

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本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

20.答案：解：（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在（4，8]上的概率为： P=（0.14+0.06）×2=0.4=，

设“任取3台电脑，至少有两台使用时间在（4，8]”为事件A， 则P（A）=••+•=；

（2）（ⅰ）由y=ea+bx得lny=a+bx，即t=a+bx， ===-0.3 =-=1.9-（-0.3）×5.5=3.55，即t=-0.3x+3.55，所以=e-0.3x+3.55；

（ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]， （8，10]上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04： 根据（1）中的回归方程，

在区间（0，2]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×1=e3.25≈26， 在区间（2，4]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×3=e2.65≈14， 在区间（4，6]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×5=e2.05≈7.8， 在区间（6，8]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×7=e1.45≈4.3， 在区间（8，10]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×9=e0.85≈2.3， 于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为： 0.2×26+0.36×14+0.28×7.8+0.12×4.3+0.04×2.3=13.032（百元） 故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用为： 1000×13.032=1303200（元）．

解析：（1）由频率分布直方图知一台电脑使用时间在（4，8]上的概率值，再计算满足题意的概率值；

（2）（ⅰ）根据公式计算得到其中的回归系数，即可写出回归方程；

（ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]上的频率值，再得到各个区间上的相应的估计值，进而得到平均值．

本题考查了回归分析回归方程的计算，频率分布直方图的应用问题，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的，线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值．

21.答案：解：（1）由f（x）=x-由题意知f'（x）≥0恒成立，即x-lnx-k≥0， 设F（x）=x-lnx-k，F'（x）=1-， x∈（0，1）时F'（x）＜0，F（x）递减；

，得f'（x）=，

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x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）递增； 故F（x）min=F（1）=1-k≥0，

∴k≤1，故k的取值范围是：（-∞，1]；

（2）当k≤1时，f（x）单调，无极值；当k＞1时，F（1）=1-k＜0， 一方面，F（e-k）=e-k，且F（x）在（0，1）递减， ∴F（x）在区间（e-k，1）有一个零点， 另一方面，F（ek）=ek-2k，

设g（k）=ek-2k（k＞1），则g'（k）=ek-2＞0，

从而g（k）在（1，+∞）递增，则g（k）＞g（1）=e-2＞0，即F（ek）＞0，又F（x）在（1，+∞）递增，

∴F（x）在区间（1，ek）有一个零点，

因此，当k＞1时，f'（x）在（e-k，1）和（1，ek）各有一个零点，将这两个零点记为x1，x2（x1＜1＜x2），

当x∈（0，x1）时F（x）＞0，即f'（x）＞0；当x∈（x1，x2）时F（x）＜0，即f'（x）＜0；当x∈（x2，+∞）时F（x）＞0，即f'（x）＞0，

从而f（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增； 于是x1是函数的极大值点，x2是函数的极小值点， 下面证明：f（x1）＞0，f（x2）＜0， 由f'（x1）=0得x1-lnx1-k=0，即k=x1-lnx1，由得 =令，

，则m'（x）=，

①当x∈（0，1）时m'（x）＜0，m（x）递减，则m（x）＞m（1）=0，而x1＜1，故f（x1）＞0； ②当x∈（1，+∞）时m'（x）＜0，m（x）递减，则m（x）＜m（1）=0，而x2＞1，故f（x2）＜0； 一方面，因为f（e-2k）=e-2k-1＜0，又f（x1）＞0，且f（x）在（0，x1）递增， ∴f（x）在（e-2k，x1）上有一个零点，即f（x）在（0，x1）上有一个零点． 另一方面，根据ex＞1+x（x＞0）得ek＞1+k， 则有f（e4k）=e4k-12k2-1＞（1+k）4-12k2-1 =，

又f（x2）＜0，且f（x）在（x2，+∞）递增，

故f（x）在（x2，e4k）上有一个零点，故f（x）在（x2，+∞）上有一个零点， 又f（1）=0，故f（x）有三个零点．

解析：（1）由题意知f′（x）≥0恒成立，构造函数F（x）=x-lnx -k，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；

（2）当k＞1时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证f（x1）＞0，f（x2）＜0

本题考查函数的零点与导数的综合应用，关键是利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，属难题．

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22.答案：解：（1）由∴，即，

（α是参数），得，

∴曲线C1的极坐标方程为．

由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入得：x2+y2=4y， 故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4y=0．

（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ）， 将θ=β （0＜β则|OA|+|OB|=）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：+4sinβ=，ρ2=4sinβ，

（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ=，cosφ=，

当β+φ=时，|OA|+|OB|取最大值，

此时φ，tanβ=tan（φ）===．

y=ρsinθ解析：（1）先得到C1的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将ρ2=x2+y2，

代入得x2+y2=4y，得到曲线C2的直角坐标方程；

（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ=β （0＜β极坐标方程得：φ，可求解．

本题考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些，是中档题． 23.答案：解（1）当t=3时，由|f（x）|≥3得||x-3|-3|≥3，即|x-3|-3≥3或|x-3|-3≤-3， ⇔|x-3|≥6或|x-3|≤0⇔x-3≥6或x-3≤-6或x=3 解之得：x≥9或x≤-3或x=3．

（2）由f（x+2）≤0得|x-1|-t≤0，即-t+1≤x≤t+1，故，

，ρ2=4sinβ，可得|OA|+|OB|=）分别代入曲线C1、C2

+4sinβ，化简可得到最值，此时

所以t=2，

由ab-2a-8b=2t-2得ab-2a-8b=2，则（a-8）（b-2）=18， a+2b=（a-8）+2（b-2）+12≥2+12=2×6+12=24， 当且仅当a-8=2（b-2）即a=14，b=5时取等号．

解析：（1）原式子等价于||x-3|-3|≥3，即|x-3|-3≥3或|x-3|-3≤-3，由绝对值不等式的几何意义求解即可； （2）由原式得|x-1|-t≤0，即-t+1≤x≤t+1，故，再由均值不等式得解即可

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这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，以及均值不等式的应用，属于中档题．

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