(1吉林大学数学学院 长春130012; 2密歇根州立大学数学系 美国密歇根东兰辛48824)摘要：该文主要讨论下列具强阻尼项的波动方程的初边值问题utt — div(|Vu^^^_2 Vu) — Aut =
2u解的渐近行为.通过构造一个新的控制函数和利用Sobolev嵌入不等式，建立了源项和能量
泛函之间的定性关系.进而，利用Komornik不等式和能量估计，给出了衰减估计.最后，证 明u(x,t) = 0是渐近稳定的.关键词：阻尼项；衰减估计；渐进稳定性.MR(2010)主题分类：35L05; 35D30; 35B35
文章编号：1003-3998(2020)01-146-10中图分类号：O29 文献标识码：A1引言本文研究如下具p(x)-Laplacian算子的波动方程{utt — div(|Vu|p(x)-2Vu) — Aut = |u|q(x)-2u, u(x, t) = 0,
(x, t) e Q x (0,T) := QT,(x, t) e dQ x (0, T) := rT,
(1.1)u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = ui (x), x e Q,其中Q G Rn(n > 1)是有界区域，dQ是Lipschitz连续边界，T > 0•指数p(x)和q(x)是
两个连续函数且满足|p(x) — p(y) + |q(x) — q(y) < 3(|x — y|),x,y e Q, |x — y < 1,
(1.2)其中 lim sup3(t) ln 1 = C < x.聶E标准增长条件的非线性双曲方程是对各种物理现象的数学刻画，例如电流变液或 随温度变化的黏性流体的流动，非线性粘弹性，通过多孔介质过滤的过程和图像处理，更多
收稿日期：2018-11-07;修订日期：2019-06-17E-mail: bguo@jlu.edu.cn基金项目：吉林省教育厅“十三五”科学技术规划项目(JJKH20180111KJ)和国家自然科学基金(11301211)
Supported by the Scientific and Technological Project of Jilin Province's Education Department
*通讯作者in Thirteenth-five-Year (JJKH20180111KJ) and the NSFC (11301211)No.1廖梦兰等：具变指数源项和强阻尼项的波动方程解的渐近稳定性147的物理背景和理论推导可参见文献［1-2, 6, 15-16］.这类问题解的存在性、唯一性、爆破性 的研究，引起很多学者的兴趣.如Pinasco在文献⑷首次讨论了当源项的形式为a(x)up(x) 或a(x) JQ uq(y)(y,t)dy时解的爆破现象.随后，Haehnle和Proh1在文献［9］中利用差分逼 近技术证明了无源项时解的存在性.之后，在2011年，Antontsev在文献［3-4］中研究了下 列具p(x, \"Laplacian算子和强阻尼项的拟线性波动方程utt = div(a(x, t)|Vu|p(x,t)-2Vu) +
+ b(x,t)\"p":{"h":16.209,"w":55.516,"x":463.799,"y":212.764,"z":92},"ps":{"_scaleX":0.985},"s":{"letter-spacing":"-0.04q(x,t'l-2u + f (x, t),其中a〉0是常数.假定系数a(x,t), b(x,t)和函数f, p, g满足合适的条件，利用Galerkin
方法和能量估计，证明了解的局部存在性和全局存在性，进一步还利用Levine凸方法和能 量估计法证明了当初始能量为负时解在有限时刻发生爆破.随后，郭斌和高文杰在文献［7］ 中通过构造一个新的控制函数且结合Sobolev嵌入不等式，建立了初始能量和源项之间的定 性关系，进而证明当初始能量为正时，解在有限时间也爆破.此外，关于解爆破时间的下界 估计，郭斌在文献［8］中应用插值不等式和能量不等式得到了当源项是超线性时爆破时间的 下界估计.2018年，李方和刘芳在文献［10］中给出了高初始能量下解的爆破结果.然而，对于问题(1.1)的渐近稳定性问题相关的结果却很少.所谓问题(1.1)的解是渐 近稳定性当且仅当对问题(1.1)的所有解 u(t) = u(x,t)，有 lim E(u(t)) = 0,
t—其中 E(u(t)) = 2 L utdx + L pX)|Vu|p(x)dx - L 嵩|u|q(x)dx，这个概念首次被 Pucci 和 Serrin在文献［13］中提出.因此，对于问题(1.1)而言，自然的问题就是•问题(1.1)存在整体解吗？如果存在，是否可以给出其衰减估计呢？•对于问题(1.1), u = 0是否是渐近稳定呢？事实上，众所周知，阻尼项使问题的解趋于稳定，而源项却使得问题的解趋于不稳定， 因此，当源项存在时，这个问题的解是否是稳定的取决于阻尼项和源项之间的竞争关系.当
问题(1.1)中无源项时，Messaoudi等作者在文献［12］中讨论了解的衰减估计与变指数和初 始能量之间的定性关系.而当源项存在时，由于初始能量的非负性并不能蕴含能量泛函的非
负性，所以我们不能直接用文献［12］中的方法来讨论这个问题.本章结构如下：在第2节，给出了 Orlicz-Sobolev类型的Banach空间的一些性质.同 时，介绍了关于问题(1.1)的已存在的一些结果.在第3节，分析了能量泛函和源项之间的 关系.随后，应用文献［11,引理1］中的Komornik不等式，得到了整体弱解的衰减估计.最 后，证明了 u = 0是渐近稳定的.2预备知识首先，我们介绍Orlicz-Sobolev类型的Banach空间Lp(X)(Q) = {u” 是实值函数|u(x)|p(X)dx < x}.赋予如下范数l|uhp(x) = inf {入〉/ |彳『}dx < 1}.另外，Lp(X)(Q)空间的对偶空间为Lq(X)(Q),其中君+爲=1，v x G Q.148数学物理学报变指数Sobolev空间W\"(X)(Q)定义为
W皿)(Q) = {u G Lp(x)(Q);|Vu| G Lp(x)(Q)},Vol.40A其上范数为II训W i.p(x)(Q) = llu|LP(x)(Q) + |Vu| LP(x)(Q)-进一步，定义W护X)(Q)是C°(Q)是在范数II - llwi,P(x)(Q)下的完备化空间.为了下文叙说
方便，我们先给出一些必要的引理.引理 2.1同(1) (Holder 不等式)对任意 u G Lp(x)(Q)和 v G Lq(x)(Q),有uvdx W(丄+丄)\\p g丿1训p(x)||训q(x) 2|训p(x)||v||q(x).W (2)如果对任意 x G Q,有 pi(x),p2(x) G C+(Q) = {h G C(Q) : minh(x) > 1}, pi(x) ⑶ < 1(=匕〉1) P(u) < 1(=匕〉1)；Hp(x) < 1 = H：；x) W p(u) W H：(x)；Hp(x) > 1 = H：(x) W p(u) W H：；x).引理2.3同 令p, g G C+(Q).设np(x) n — p(x)g(x) < p*(x):如果 p(x) < n;如果 p(x) > n,+x,则连续紧嵌入W\"(x)(Q) — Lq(x)(Q)成立.由于主部算子是退化的，方程一般没有古典解，为此我们先给出弱解的定义.定义 2.1 如果函数 u(x,t) G L~(0,T; H0(Q) n W护(X)(Q)), u G L2(0,T; H0(Q)),并且 对任意 o G C~(0,T; C°(Q)), ^(x,T)=0, x G Q, t G (0, T),下式成立(—u〃t + |Vu|p(x)-2VuVo + VutVo)dxdt/ ui(x)o(x,0)dx +〃 |u|q(x)-2u^dxdt.Q J J Qt另外，当t — 0时，有u(x,t) — uo(x)在 H0(Q) n Wg,p(x)(Q), ut(x, t) — u(x)在 L2(Q),则称函数u(x,t)为问题(1.1)在Q x (0,T)上的弱解，对于问题(1.1)局部解的存在性，Antontsev在2011年给出了如下结果. 定理2.1131假设(1.2)和下列条件成立 (H1)max 2nn + 2 2< p- W p(x) W p+ < +x; 2 < g- W g(x) W g+ + \\ q+ p +q-p+(3.1)其中 Bi = max{1, B}, B 为 Sobolev 嵌入 W；曲(Q) 一 Lq(x)(Q)的嵌入常数. 引理3.1设u(x,t)是问题(1.1)的解.如果下述条件成立(H2) (H3) n +— 22 < p— < p+ < q— < q+ < -----p—.n 0 < E(0) < Ei, / |Vuo|p(x)dx < ai,Jq则存在正常数他满足0 ＜他＜ «1使得Jq证E(t) >/ |Vu|p(x)dx < &2, V t > 0.(3.2)引理2.3和引理2.2表明1 /u2dx+p+ /|vu|p(x)dx -皿叩训幕)川训加 j q h j q yy h j q / |Vu|p(x)dx - max{Bq+||Vu|爲 Bq「||V训p®} 1 f Rq+ ( ( / r頁 j |Vu|p(x)dx -右 max ? max |Vu|一^十|Vumax (( J |Vup+ q_|Vua(t) Bq 〔 q 十 q 十 q— q_:=—+--------max {max{a (t), a p~ (t)}, max {a (t), a p~ (t)}=G(a(t)),(3.3)其中 a(t) = Q |Vu|p(x)dx.150数学物理学报Vol.40A通过简单计算，显然验证G(a)满足下列性质Bq g+ q 十-p-1—---------a p_< 0, a > 1;p+g-p-B q q-_p 十10 < a < 1,---------a p+ , p+p十Gz(q)g十 ] Rq+G+(1) = p+ — i-g- <0, G-(1) = p+ —話 <0,1 G'(a i) = 0, 0 < a 1 < 1.通过上述结论，我们容易证明G(a)在区间(0,a i)上严格单调递增，在区间(ai, +x)上严 格单调递减•当a — +x时，有G(a) — -x,并且G(a i) = Ei .显然，存在两个常数a和 a3满足0 < a? < ai < a3使得G(a2)= E(0) = G(ag) > 0.如果(3.2)式不成立，则存在某 个to > 0使得a(to) > a2.分以下三种情形讨论.情形一 如果a2 < a(to) < a3,则根据函数G(a)的单调性可得G(a(to)) > min{G(a2), Gg)} = E(0),这与 E(to) W E(0)相矛盾.情形二 如果a2 = a(to),则根据a(t)的连续性可得V£ > 0, > 0使得to < t < to + d 时，有 0 < a(t) - a(to) < £.令 £ = a3 - a2 并且 11 = to + 2，则 a2 < a(t i) < a3.类似情形 一的证明，可得 G(a(t i)) > min{G(a2), G(a3)} = E(0),这与 E(t i) W E(0)相矛盾.情形三 如果a(to) > a3,则根据条件a(0)=匸|Vuo|p(x)dx < ai和G(a)的连续性 可得存在t2满足0 < t2 < to使得a2 < a(t2)< a3.类似情形一的证明，可得G(a(t2)) > min{G(a2), G(a3)} = E(0),这与 E©) W E(0)相矛盾. I引理3.2假设引理3.1的所有条件成立，则对于任意t > 0,下列不等式成立十 q_ _p+ q g(xu|q(x)dx WB q a? p+ p+E(t),(3.4)12/u2dx+L p^|Vu|p(x)dx wg-g-E(0) g- — p+(3.5)证(3.2)式，(3.3)式和(2.1)式表明u|q(x)dx WW醴 ah p+Wg- 2这蕴含了(3.4)式成立.再利用(2.1)式和(3.4)式，可知(3.5)式也成立”No.1廖梦兰等：具变指数源项和强阻尼项的波动方程解的渐近稳定性151注3.1引理3.2表明在引理3.1的条件下，问题(1.1)的弱解u整体存在.接下来，给出如下衰减估计.定理3.1假设引理3.1的所有条件和E(0) < E2 =(击、-q__p十ai成立,则E(t)满足p+ _2E(t) < \\ E(0) 2p++ (p+p+ > 2,p(x) = 2,(3.6)E(0)ei—其中正系数K的定义可见(3.15)式.证 在问题(1.1)的第一个等式两边同乘以EY(t)u(7 > 0),并且在Q x (s, T)(s < T)上 积分，则有[EY(t)f / uutdxdt + [ EY(t) / VuVutdxdt + [ EY(t) / |Vu|p(x)dxdt dt 丿q Js Jq [T EY(t) / |u|q(x)dxdt +「EY(t) / ufdxdt. s s J q Js JqJ sJ q注意到(2.1)式和引理3.2 (表明E(t)的非负性)，则有p— / EY +i(t)dt < — / EY(t)£ / uutdxdt — / EY(t) / VuVu(dxdtJs Js dt 丿q Js JqT p 一 2 fTEY(t) |u|q(x)dxdt + p 十 / EY(t) / u2dxdt =—厂 d「E「 —Y(t) / uu(dx dt + y r eyuu(dxdtdt sJs dt LL Jq 」/ EY (t) / u¥dxdt—[EY (t) / VuVutdxdt 十 -— 2丿s (丿丿q uZ-2 J s 丿 QJ s J Q十厂ey (t)|u|q(.)dxdtJ s:=Ji十J十J3十J十J5.首先估计Ji的值.通过Cauchy不等式，弓|3 3.1和(3.5)式，有|Ji(3.7)EY(s) / uu((-, s)dx — EY(T) / uut(・,T)dxJq Jq<竺s)、2(•,s)dx + / u；(.,s)dx + u2(.,T)dx + u：(.,T)dxq 丿q 丿q2 -|(3.8)152数学物理学报Vol.40A其次，估计J的值.-丿s|u||ut|dxdt|J2| = -Y 厂 EyW — 2/ E7-〔(t)E，(t)/ (u2 + u：)dxdtW -申 Eyi(t)E^t)(/ |Vu|p(x)dx)汗dt - 2/f Ey--ujdxdt W-( Yp+ Bf \"T「EY+ 奔-1 (t)E'(t)dt - \\2号(g- -p+)丿 人 「EY (t)E'(t)dtg -卩十人W ( Y 略 Bf+ g-p+、(2不(g- -p+)十Ypp+ + 2皆十許(s)-矿十許(T)]+ (g- - )(y +1) K1(S)-旷5(3.9)Y畔B广g-p十W2不(g- - p+)沪尹奔-1 (0)+宀咕Yp十 + 2接下来，估计J3的值.引理2.1,引理3.1,引理2.4,带£i的Cauchy不等式和(3.5)式告诉 我们|J3| w/ 2EY (t)||Vu||p(x)||Vut|| pd dtW 2(1 + |Q|)f EY(t) (/ |Vu|p(x)dx)J s||Vut||2dtW 2(1 + |q|)£ i [s _EY|Vu|p(x)dx) p+2dt ++f |Vut|2dt W 2(1 + |Q|)£ '2Y十P十(t)dt + 2(1追厶+ |Q|)厂(-E，(t))dt'p+gi(—厂 E「，(3.10)W 2(1 + |Q|)£ i (沽士十)卄[E2y十弄(t)dt +2(1 + |Q|) E(s)4£ i再而,通过Poincare不等式和引理2.4,可得|J4| W (p「t2)B ?「El(t)|Vut|2dt = - (p「；2)B 7 f EY(t)E'(t)dt22(3.11)＜即普斫(0)E(s).另外,(3.4)式表明十 q_土十 小B q a^十 EY+ i(t)dt.|J5| W (g+-p-)亠—p_p 十g- - B， q+广 a^^p十J sI(3.12)No.1廖梦兰等：具变指数源项和强阻尼项的波动方程解的渐近稳定性153综合(3.7)式和(3.8)-(3.12)式，有/ EY+ i (t)dtJ sfTBP十 g-p十、\"十 2g-E(0)g- — p十丿 1g- — p十EY+洋-i (0)E(s)(Y哥B广g-p+ \\ - p+ 戸十-2十-1(0) + Yg-EY(0) + 一 £昭(g- - p+)丿 Yp+ + 2 \"(丿(g- - p+ )(Y + 1)Yp+ + 2p-+ 2(1 + |q|)£ ip沪厂十 I\"『E2y 十奔(t)dt + 2(1七 |Q|) E(s) g- - p十丿 Js4p-£ 1q___Bq a? ”十十 ++EY J： ” (-(3.13)注意到条件0 < E(0) = G(a2)< E2 = G((紀轩)占十a J和G(a)的单调性，容易验证下