维普资讯 http://www.cqvip.com 第８卷第１９期２００８年１０月 科学技术与工程 ＠Ｖｏ１．８ Ｎｏ．１９ Ｏｃｔ．２００８ １６７１—１８１９（２００８）１９—５４７０—０３ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ２００８ Ｓｅｉ．Ｔｅｅｈ．Ｅｎｇｎｇ． 一类高阶微分方程周期解的存在性 陈新一 （西北民族大学中国民族信息技术研究院，兰州７３００３０） 摘要考虑一类高阶微分方程０ （￡）＋ｃａ； （ｔ）＋ （ｆ）＋ｇ［ｘ（ｔ一７．）］＝ｐ（ ），利用重合度理论，获得了此类方程至少存 高阶微分方程 ０１７５．１４； 周期解 重合度 Ａ 在一个 一周期解的充分条件。 关键词中图法分类号文献标志码本文研究如下的高阶微分方程 ａｘＩ ０）Ｊ≤ １ Ｊ （ （１） 于是 。一 Ｉ≤ 。 ‘ （ ）＋ （ ）＋ｂｘ（￡）＋ｇ（ｘ（ｔ— ））＝ｐ（ ） 的周期解的存在性，（１）式中ｇ，Ｐ都是定义在Ｒ上 的实连续函数，ｂ≠０， ≥０，Ｐ以 为周期，且 ，圳≤ ｌ＋．／（ｔ＝ｏ ㈤ ≤ ＋ｌ Ｄ １ ， ．号，－＿号 ｒ●， ２ ｄ ｄ ｒ 』）ｐ（ ） ＝０。本文利用重合度理论获得了（１）式 至少存在一个 －周期解的充分条件，其结果是如下 定理． ㈤ 上ｌ． （ｔ）ｌ ｄ ，Ｖ ∈［ｏ， ］ （３） 因为 Ｊ（ （ｔ） （ｔ）ｄｔ＝…＝ 如果下列条件成立： 定理（ｉ）存在正常数 ，使得ｇ（ｘ）≤Ｍ，Ｙｘ∈Ｒ； （ｉｉ）０＜Ｉ ６ ｌ＜ ； ｎ＝２ｋ 则方程（１）至少存在一个 （Ｔ＞０）周期解。 证明考察方程 ａｇｅｋ为正整数， ‘ （ｔ）＋ａｃｘ （ｔ）＋ｈｂｘ（ｔ）＋ 于是方程（２）两边同乘以 （ｔ），再从０到 积分得 Ｘｇ［ｘ（ｔ—ｒ）］＝Ａｐ（ｔ） 解，将方程（２）两边同时从０到 积分得 ｒ （２） ｒ （一１） 口上Ｉ ‘ （ｔ）Ｉ ｄｔ＋ Ａ６ ｌ （ｔ）ｌ ｄｔ＋Ａ上 （ｔ）ｇ（ （￡一下））ｄｔ＝ Ａ Ｊ。ｘ（ｔ）ｐ（ｔ）ｄｔ， 因此 ≤ Ｉ口Ｉ ３Ｉ ｌ ‘ （ ）ｌ ｄｔｏ 这里Ａ Ｅ（０，１），设 （￡）是方程（２）的任一 一周期 Ｊ０［６ （ ）＋ｇ（ （ —ｒ））］ｄｆ＝０。 因此存在ｔ０∈（０，Ｔ），使得ｂｘ（ｔ。）＋ｇ（ （ｔｏ— ｒ））＝０，从而有 ２００８年６月１７日收到 Ｉ ６Ｉ ｔ 黔Ｔ］ｌ （ ）Ｉ ＋ Ｅ１ ０． ｍａｘ［。列，ｌ （ｆ）ｌ Ｅ ｊ：－ｌ ｇ（ （ —ｒ））Ｉ ｄｔ＋ 作者简介：陈新一（１９５７一），男，教授，研究方向：微分方程理论及 应用。 ｒ 圳 ≤ （ ＋ｒ ㈤ ） ＋ 维普资讯 http://www.cqvip.com ｌ９期 陈新一：一类高阶微分方程周期解的存在性 ５４７１ （ ＋ｆ ㈤ ）（ ＋ ）（４） １，２，…，２凡一１），使得 （４）式中ｍ ＩＥ［ｍａｘ ｌ０１ ｐ（ｆ）Ｉ。 Ｉ ２７ｕ （ｔ）Ｉ≤ｒｊ， 由（５）式及（７）式知必存在与Ａ无关的数 ＞ｏ（ｊ＝ ＝１，２，…．２ｎ一１。 因为ｘ（Ｏ）＝ （Ｔ），则存在ｔ ∈［０，Ｔ］，使得 取 ＝ｍａｘ｛Ｒ２，ｒ１，ｒ２，…， 一ｌ｝，令Ｘ＝｛ｘ（ｔ）∈ ７２ （ｔ１）＝０，有 ｌ（ｔ）ｌ＝ｆＩＪｔ ， １ ”（ ）ｄ￡Ｉ≤上０ＪＵ （ ）ｌ ｄｔ。 同理 （Ｏ）＝ （ ），存在 ｚ∈［Ｏ， ］，使得 ”（ｔ ）＝０，有 ｌ ”（ｆ）ｌ＝ｌ ＪＪ ｔ９ （ ）ｄ Ｉ≤ＪＪｌＵ Ｉ （ｆ）Ｉ ｄｔ。 ， ，ｒ 从而Ｊ０ Ｊ （ ）Ｉ ｄｔ≤ Ｊ ”（￡）ｌ ｄｔ≤…≤ × 上Ｉ （ ）Ｉ ｄｔ。所以不等式（４）成为 ｌ ０ ｌ Ｊ Ｉ ‘ （ ）Ｉ．Ｉｏ ｄｔ≤ 川ｌ（ Ｍ＋ ｆ ｄ ） ＋ （ Ｍ＋７￣－１ ９（Ｉ ㈤（ ）Ｉ ）（聊＋ ）。 因此由条件（ｉｉ）及上式知，存在与Ａ无关的数 Ｒｌ＞０，使得 上Ｉ ’（￡）Ｉ ｄｔ≤Ｒ１ （５） 进而可得存在与Ａ无关的数Ｒ ＞０，使得 ≤ ＋ ）Ｉｄ ≤ Ｍ＋ ｒ 圳ｄ ≤ ＋ 垒尺： （６） 从而由方程（２）有 Ｉ ｏ Ｉ ＪＪ Ｊ ‘ （ ）Ｉ ｄｔ≤ ｏ Ａ Ｉ ｃ Ｉ ｆ ㈤ ＋Ａ ｌ ６ Ｊ ）Ｉ ｄ ＋ Ａ ｇ（ （ｔ—ｒ））Ｉ ｄ Ａ ｐ（ ）Ｉ ｄｆ≤ Ｔ Ｉ ｃ ｌ ｍ ｔＥ［０．Ｔ］ａｘ ｌ （ｔ）Ｉ＋ （１ ｂ Ｉ Ｒ２＋Ｍ＋ｍ）≤ 、 Ｉ ｃ ｌ上Ｉ （￡）ｌ ｄｔ＋ｒ（ｔ ６ Ｉ Ｒ２＋Ｍ＋ｍ） ｆ７） Ｃ（Ｒ，Ｒ）ｌ ７２（ｔ＋Ｔ）＝ （ｔ）｝，／２＝｛７２（ｔ）∈ Ｉ Ｊ ｘ（ｔ）ｌ＜ ，ｌ ２７‘ （ｔ）ｌ＜ ，ｋ＝１，２，…，２ｎ一１｝， Ｌｘ（ｔ）＝ａｘ‘ ’（ｔ），Ｎｘ（ｔ）＝一 一ｂｘ—ｇ（ （ｆ一 丁））＋ｐ（ ）。这时有ＫｅｒＬ＝Ｒ，同时定义投影算子为 Ｐ．Ｘ Ｋｅｒ Ｌ， 专 ｘ（ｔ）ｄｔ ｏ Ｑ：Ｘ一 １， ｍ ＿÷Ｑｘ （ｔ）ｄｔ。 则Ｋｅｒ Ｌ＝ｌｍ Ｐ，Ｋｅｒ Ｑ＝ｌｍ Ｌ，即 是指标为 零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ算子，且可证明Ⅳ在 ｃ 上 一紧。 方程（２）即为算子方程Ｌｘ＝ＡＮｘ，Ａ∈（０，１）。根 据对（２）式周期解界的估计及已知条件，有 １）Ｌｘ≠ＡＮｘ，Ｙｘ∈Ｋｅｒ Ｌ ｎ ａ ，还需证明 ２）ＱＮｘ≠０，Ｖ ∈Ｋｅｒ￡ｎ ａ力； ３）ｄｅｇ（ＱＮ， ｎ Ｋｅｒ Ｌ，０）≠０。 事实上，当 ∈Ｋｅｒ Ｌ ｎ ａ 时，２７为常数且 Ｉ Ｉ＝ ，有 ＱＮｘ 寺上［＿ｃ ）一ｂｘ（ｆ）一ｇ（ （ｔ一丁））＋ Ｐ（ｔ）］ｄｔ＝一ｂｘ—ｇ（ （ｔ—ｒ））， 故 Ｉ ＱＮｘ Ｉ≥ｆ ｂ ｌ Ｉ Ｉ— Ｉｇ（ ） ６ Ｉ［ 一 】＞ｏ。 即ＱＮｘ≠０，于是２）成立；ｔｌｚ变换：Ｆ（２７， ）＝ ＋ （１一 ）［６戈＋ｇ（ｘ（ｔ一 ））］，对任意 ∈Ｋｅｒ Ｌ ｎ ａ ， ∈［０，１］， 为常数且ｌ ｌ＝ 。 当 ＝ ，ｂ＞０时，Ｆ（７２， ）＝ｂＩ ＋（１一 ）（ ＋ ）】≥６【 ＋（１ （ 一 ）］＞０。 当 ＝ ，ｂ＜０时，Ｆ（ｘ， ）≤ｂｌ ＋（１一 ）（ 一 ）］＜０。所以当 ＝ 时，Ｆ（ ，肛）≠０， 同理可证当 ＝一 时，Ｆ（２７， ）≠０，因而Ｆ（ｘ，Ｉｔ） 为同伦变换，因此 维普资讯 http://www.cqvip.com
５４７２ 科学技术与工程 ８卷 ｄｅｇ｛ＱＮ，力ｆｑ Ｋｅｒ Ｌ，０｝＝ｄｅｇ｛一ｂｘ—ｇ（ （ｔ— ））， 结果。 参考文献 ｎ Ｋｅｒ ，０｝＝ｄｅｇ｛一６ ， ｎ Ｋｅｒ Ｌ，０｝≠０。 故３）成立，由重合度理论知，方程（１）至少有一 个 （Ｔ＞０）周期解。 １唐美兰，刘心歌，刘心笔，等．一类时滞Ｄｕｆｉｎｇ型方程周期解的存 ｆ在性．上饶师范学院学报，２００４；２４（６）：ｌ２—１５ ２张正球，庾建设．一类时滞Ｄｕｌｌｉｎｇ型方程周期解．高校应用数学 学报，１９９８；１３（４）：３８９—３９２ 文献［１］的结果是本文定理的简单推论。事实 上，只要在本文的方程（１）中取ｎ＝１即明。在本文 的方程（１）中取ｎ＝１，Ｃ＝０，即可得到文献［２］的 Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｂｏｕｔ Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｈｉｇｈ Ｏｒｄｅｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＣＨＥＮ Ｘｉｎ－ｙｉ （Ｃｈｉｎａ Ｍｉｎｏｒｉｔｉｅｓ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００３０，Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ） ［Ａｂｓｔｒａｃｔ］ Ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｈｉｇｈ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ａｘ‘ （ｔ）＋ｃ （ｔ）＋ｂｘ（ｔ）＋ｇ（ｘ（ｔ一丁））＝Ｐ（ｔ）． Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ ｄｅｇｒｅｅ，ａ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ Ｔ—ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ． ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ］ｈｉｇｈ ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ； ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ ｄｅｇｒｅｅ （上接第５４６９页） 参考文献 Ｎｏｔｉｏｎ Ｊｏｕｒｎａｌ，２００４；１４（１－３）：４２＿＿６ｌ ２ Ａｓｂａｃｈｅｒ Ｃ．Ｏｎ ｎｕｍｂｅｒｓ ｔｈａｔ ａ ｐｓｅｕｄｏ Ｓｍａｒａｎｄｅｃｈｅ ａｎｄ Ｓｍａｒａｎ— ｄａｃｈｅ ｐｅｒｆｅｃｔ．Ｓｍａｒａｎｄａｅｈｅ Ｎｏｔｉｏｎ Ｊｏｕｒｎａｌ，２００２；１３（１＿３）： ４０—１４２ １ Ｖｙａｗａｈａｒｅ Ａ Ｗ．Ｎｅａｒ ｐｓｅｕｄｏ Ｓｍａｒａｎｄｅｃｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，Ｓｍａｒａｎｄａｃｈｅ Ｎｅｗ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｌ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＷＡＮＧ Ｍｉｎｇ－ｊｕｎ （Ｄｅｐｔ．Ｍａｔｈ．，Ｗｅｉｎａｎ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｅｉｎａｎ ７１４０００，Ｐ．Ｒ Ｃｈｉｎａ） ［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｏｆ ｃｕｂｅ ｓｕｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ，ａ ｎｅｗ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ．Ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ．Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ． ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ］ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｃｕｂｅ ｓｕｍ ｄｉｖｉｓｉｂｉｌｉｔｙ