数值逼近答案以及试题

第一章 误差

1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.

解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式A4r计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生

的误差即为模型误差.

在计算过程中,要用到,我们利用无穷乘积公式计算的值:

22其中

22... q1q2q12, qn12qn,n2,3,...我们取前9项的乘积作为的近似值,得

这个去掉的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.

3.141587725...

2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:

816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236

3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.7 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位

4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位

5. 若a1.1062,b0.947,是经过舍入后得到的近似值,问:ab,ab各有几位有效数字?

11104,db103, 22又ab0.2053210,

111dabdadbdadb1041030.55103102,

222所以ab有三位有效数字;

因为ab0.1047571410,

111dabbdaadb0.9471041.10621030.60045103102

222所以ab有三位有效数字.

解: 已知da

--精品

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6. 设y10.9863,y20.0062,是经过舍入后作为x1,x2的近似值.求值的相对误差限及y1y2与真值的相对误差限. 解: 已知x1y1dx1,x2y2dx2,dx1=11,的计算值与真y1y21110-4,dx210-4, 2214101dxdxdrdrx11120.50104;

x1y10.9863x114101dxdxdrdrx22220.81102;

x2y20.0062x2drx1x2drx1drx20.501040.811020.82102.

7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm2.

解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a2.所以要使:dsda2ada1,则要求

2da

110.5102.所以边长的误差不能超过0.5102cm. 2a2008. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502(读到秒),试问:计算sin将有多大误差?

1解: dsincosdcos4502.

2

9 . 真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式sg是准确的,而对t的测量有0.1s的误差,证明t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

证明: 因为:dsd12gt确定,g是重力加速度.现在假设2dsgtdtgtdtdtds12gtgtdt;2. ds与t成正比, 与t成反比,所

1s2sst2gt2以当dt固定的时候, t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

10. 设x0,x的相对误差为,求lnx的绝对误差. 解: 已知

dxdx,所以lnx的绝对误差dlnx. xx--精品

精品---

11. 设x的相对误差为%,求x的相对误差.

ndxnnxn1dxndxn%. 解: nxxnx

12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何? 解: 已知VdR4a,则要使得 R3,设drRR3drVdV1dlnVdlnR33dlnR3dlnR3drR3a1%,则a1%. V3第二章 函数的插值

2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。

解：（1）用牛顿方法。先作差商表：

所以：

（2）用Lagrange 方法

--精品

精品---

化简得：

（3）用内维尔方法

再由：

得：

4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。

解：先作差商表：

所以，。故：

其截断误差：

--精品

精品---

由于，所以

5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为

证：因为

其中：

7．证明。

证：设 ，则

11．用拉格朗日途径导出如下

的

次埃尔米特插值

，满足：

。

解：先构造次数不高于

的多项式

满足下列2n个条件：

--精品

精品---

满足上述条件的

的多项式

可以写成：

其中A为待定系数，再由条件

得：

即：

再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：

，

令：

它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由

--精品

精品---

所以，于是：

于是所求的埃尔米特插值多项式为

三 样条插值和曲线拟合

12．若函数

，它在

是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上是一个二次多项式，并且

上

连续，这样的

上的是

已知值，又在内节点称为二次样条插值。试

的

证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求方程。

解：由于在每个小区间是在

上共有

上，有3个待定系数，于

个待定系数，。要满足的条件是：

通过型值点：有

个方程；

，共

的一阶导数连续，即

共有

个方程。

--精品

精品---

这样总共有个方程，而待定系数有个，于是

在

可以有很多。若

上是一个二

要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑

次多项式，可以写成：，若记为

未知量，则：，再由得，故

，再由得：

再由得

为已知，从而由

，且由递推关系知

是唯一确定的。

，可求

16．证明：贝齐尔曲线证：因

。

19．证明：。

证：因为：，两边求导得：

--精品

精品---

故：

四 最佳逼近

。

6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格

朗日插值多项式。

证明：（1）若自身。这时在

上任取

，则的最佳一致逼近次多项式就是个不同的点，

就可以看作以这

个

点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。 （2）若

，且

是

的最佳一致逼近次多项式，则由在

在

上有至少由

上至少有

个点组成个零点，

契比雪夫定理知，误差曲线的交错点组，从而由介值定理知于是

就是以这

个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。

12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。

解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为

个点

，即它是次处轮流取得

首一多项式，且在[-1，1]上的

其最大值与最小值。 对于区间，作变换，则

当时，，以代入得

，其首项系数为，于是

--精品

精品---

是在

个点

上的次首一多项式，且在处轮流取得其最大值与最小值

， 故上的最小零偏差次代数多项式为

。

15．假设

是

上的个互不相同的点，证明：对于任意向量

，方程组

证明：原方程组的矩阵形式为：

有唯一解。

为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解

，由此令

，于是对应的齐次方程组相当于，

注意到已知函数，故

且互不相同以及

，再加上

在中为奇

，从而次三角多项式

在中有个零点，这与引理3的性质6相矛

盾。于是原方程组有唯一解。

--精品

精品---

17．证明许瓦兹不等式质。

，并借此证明内积范数满足范数的3条性

证：取，则

故：

推出：

。并由内积的性质：

（1）且

（2）（3）由于：

所以：

20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：

对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。

证明：用反证法。若存在个数，使广义多项式在

上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，

--精品

精品---

或恒负。不妨设，又由恒正，故

。但由于

正交，故

在上带权

，这与上式矛盾。

因此，对任意个数一个零点。

，广义多项式在上至少有

第五章 数值积分

1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式

，都有

。

证明：因为对，都有，从而由

的线性性质以及任意有：

。结论成立。

2.证明柯特斯系数满足。

证明：（1）由，令，则

--精品

精品---

故

（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度

，故对零次多项式

，有

，即，也就是，即

，由得。

3.证明柯特斯系数满足方程组：

证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度

，故在区间

上使用牛顿-柯特

斯公式对也就是：

精确成立，即：，

或

为：

，写成矩阵形式即

4．证明

，若不是整数，且

；若不是整数，且

--精品

，则。

，则

精品---

证明：因为，所以：

若不是整数，且于是

时，有。再由：

成立，所以：

，

和

得：

。

同理当即证毕

时，，两边再减有：

时，

，。

，所以若不是整数，且

5.假设在上连续，。证明：存在成

立

证明：因

在

上连续，故

在

上必取得最大值和最小

值，即当时。又若令，则由得：

--精品

精品---

。故由连续函数的介值定理知：必存在，

使，即。

6.若用复化梯形公式求积分五位有效数字？

，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有

解：欲使

，

，其中

只须

有五位有效数字。

，即积分区间要68等分才能保证计算结果

8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。

解：将区间在每个小区间

n等分，其节点

上采用辛卜生公式得：

，

，以及：

，于是：

--精品

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即：

。证毕。

13．假定在上有二阶连续导数，求证

，

证明：因在上有二阶连续导数，则：

，

两边积分得：，因

在上连续，故存在，使

，即：

。证毕

14．给定求积公式之代数精确度尽可能高。

，试决定求积系数，使

--精品

精品---

解：若求积公式对精确成立，则必满足方程组：

，解之得：

公式仍精确成立，但当公式具有3次代数精度。

，由于当时，求积

时，求积公式不再精确成立，故该求积

第二章 函数的插值

2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。

解：（1）用牛顿方法。先作差商表：

所以：

（2）用Lagrange 方法

--精品

精品---

化简得：

（3）用内维尔方法

再由：

得：

4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。

解：先作差商表：

所以，。故：

其截断误差：

--精品

精品---

由于，所以

5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为

证：因为

其中：

7．证明。

证：设 ，则

11．用拉格朗日途径导出如下

的

次埃尔米特插值

，满足：

。

解：先构造次数不高于

的多项式

满足下列2n个条件：

--精品

精品---

满足上述条件的

的多项式

可以写成：

其中A为待定系数，再由条件

得：

即：

再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：

，

令：

它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由

--精品

精品---

所以，于是：

于是所求的埃尔米特插值多项式为

三 样条插值和曲线拟合

12．若函数

，它在

是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上是一个二次多项式，并且

上

连续，这样的

上的是

已知值，又在内节点称为二次样条插值。试

的

证这样的二次样条插值有很多，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求方程。

解：由于在每个小区间是在

上共有

上，有3个待定系数，于

个待定系数，。要满足的条件是：

通过型值点：有

个方程；

，共

的一阶导数连续，即

共有

个方程。

--精品

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这样总共有个方程，而待定系数有个，于是

在

可以有很多。若

上是一个二

要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑

次多项式，可以写成：，若记为

未知量，则：，再由得，故

，再由得：

再由得

为已知，从而由

，且由递推关系知

是唯一确定的。

，可求

16．证明：贝齐尔曲线证：因

。

19．证明：。

证：因为：，两边求导得：

--精品

精品---

故：

四 最佳逼近

。

6．证明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格

朗日插值多项式。

证明：（1）若自身。这时在

上任取

，则的最佳一致逼近次多项式就是个不同的点，

就可以看作以这

个

点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。 （2）若

，且

是

的最佳一致逼近次多项式，则由在

在

上有至少由

上至少有

个点组成个零点，

契比雪夫定理知，误差曲线的交错点组，从而由介值定理知于是

就是以这

个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。

12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。

解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为

个点

，即它是次处轮流取得

首一多项式，且在[-1，1]上的

其最大值与最小值。 对于区间，作变换，则

当时，，以代入得

，其首项系数为，于是

--精品

精品---

是在

个点

上的次首一多项式，且在处轮流取得其最大值与最小值

， 故上的最小零偏差次代数多项式为

。

15．假设

是

上的个互不相同的点，证明：对于任意向量

，方程组

证明：原方程组的矩阵形式为：

有唯一解。

为证明上述方程组有唯一解，仅需证明对应的齐次方程组只有零解。用反证法，假设对应的齐次方程组有非零解

，由此令

，于是对应的齐次方程组相当于，

注意到已知函数，故

且互不相同以及

，再加上

在中为奇

，从而次三角多项式

在中有个零点，这与引理3的性质6相矛

盾。于是原方程组有唯一解。

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精品---

17．证明许瓦兹不等式质。

，并借此证明内积范数满足范数的3条性

证：取，则

故：

推出：

。并由内积的性质：

（1）且

（2）（3）由于：

所以：

20．若连续函数列在上带权正交，且恒正，证明：

对任意个数，广义多项式在上至少有一个零点。

证明：用反证法。若存在个数，使广义多项式在

上没有零点，由于为连续函数，故在上恒正，

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或恒负。不妨设，又由恒正，故

。但由于

正交，故

在上带权

，这与上式矛盾。

因此，对任意个数一个零点。

，广义多项式在上至少有

第五章 数值积分

1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式

，都有

。

证明：因为对，都有，从而由

的线性性质以及任意有：

。结论成立。

2.证明柯特斯系数满足。

证明：（1）由，令，则

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故

（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度

，故对零次多项式

，有

，即，也就是，即

，由得。

3.证明柯特斯系数满足方程组：

证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度

，故在区间

上使用牛顿-柯特

斯公式对也就是：

精确成立，即：，

或

为：

，写成矩阵形式即

4．证明

，若不是整数，且

；若不是整数，且

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，则。

，则

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证明：因为，所以：

若不是整数，且于是

时，有。再由：

成立，所以：

，

和

得：

。

同理当即证毕

时，，两边再减有：

时，

，。

，所以若不是整数，且

5.假设在上连续，。证明：存在成

立

证明：因

在

上连续，故

在

上必取得最大值和最小

值，即当时。又若令，则由得：

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。故由连续函数的介值定理知：必存在，

使，即。

6.若用复化梯形公式求积分五位有效数字？

，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有

解：欲使

，

，其中

只须

有五位有效数字。

，即积分区间要68等分才能保证计算结果

8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。

解：将区间在每个小区间

n等分，其节点

上采用辛卜生公式得：

，

，以及：

，于是：

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即：

。证毕。

13．假定在上有二阶连续导数，求证

，

证明：因在上有二阶连续导数，则：

，

两边积分得：，因

在上连续，故存在，使

，即：

。证毕

14．给定求积公式之代数精确度尽可能高。

，试决定求积系数，使

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解：若求积公式对精确成立，则必满足方程组：

，解之得：

，由于当时，求积

公式仍精确成立，但当公式具有3次代数精度。时，求积公式不再精确成立，故该求积

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