第２６卷第４期 航天电子对抗 １５ 基于Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构的相干信源ＤＯＡ估计算法 唐 玲 ，宋 弘 ，陈明举 ，张江莉 （１．四川理Ｘ－学院自动化与电子信息学院，四川自贡 ６４３０００； ２．海思半导体有限公司，广东深圳 ５１８１２９） 摘要： 提出了一种基于Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构的相干信号源ＤｏＡ估计算法。首先对各个 阵元的接收数据与参考阵元（第一个阵元）的接收数据的相关函数进行排列，形成Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵，然后通过奇异值分解可以得到信号子空间和噪声子空间，从而实现相干信源的 ＤＯＡ估计。该算法在不减少阵列有效孔径的情况下，增加了可估计相干信号源数目，并在低 信噪比条件下能够得到较好的估计性能，计算机仿真结果证实了算法的有效性。 关键词： 波达方向估计；相干信源；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵；空间平滑 中图分类号：ＴＮ９７６ 文献标识码： Ａ ＤｏＡ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｉｇｎａｌｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ Ｔａｎｇ Ｌｉｎｇ ，Ｓｏｎｇ Ｈｏｎｇ ，Ｃｈｅｎ Ｍｉｎｇｊｕ ，Ｚｈａｎｇ Ｊｉａｎｇｌｉ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｓｉｃｈｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｉｇｏｎｇ ６４３０００，Ｓｉｃｈｕａｎ，Ｃｈｉｎａ；２．ＨｉＳｉｌｉｃｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ Ｃｏ．Ｌｔｄ．，Ｓｈｅｎｚｈｅｎ ５１８１２９，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ ＤＯＡ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｉｇｎａｌｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｒｒａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｃｅｉｖｅ ｄａｔａｓ’ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ａｒｒａｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ａｒｒａｙ ｅｌｅｍｅｎｔ（ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ａｒｒａｙ ｅｌｅｍｅｎｔ）ｔＯ ｆｏｒｍ ｔｈｅ Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ ｍａｔｒｉｘ ｆｉｒｓｔ．Ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｖａｌｕｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ ｓｕｂｓｐａｃｅ ａｎｄ ｎｏｉｓｅ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｃａｎ ｂｅ ｇｅｔ．Ｔｈｅｒｅｂｙ ｔｈｅ ＤＯＡ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｏｕｒｃｅｓ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｔｈｅ ｎｅｗ ａｐｐｒｏａｃｈ，ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ａｐｅｒｔｕｒｅ ｏｆ ａｒｒａｙ，ｉｎ— ｃｒｅａｓｅｓ ｔｈｅ ａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｄｉｓｃｅｒｎｍｅｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓａｍｅ ＳＮＲ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＤＯＡ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｉｇｎａｌｓ；Ｔｏｅｐｌｉｔｚ ｍａｔｒｉｘ；ｓｐａｔｉａｌ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ０ 引言 相干信源ＤＯＡ估计＿１ 是阵列信号处理的一个研 究热点，在雷达、通信、声纳等领域有着广泛的应用前 间平滑算法，该算法充分利用了各个子阵间的自相关 和互相关信息，提高了算法的分辨率，使阵列有效孔径 减少程度降低到最小。然而在均匀线阵情况下，对于 确定的Ｎ个相干信号源进行ＤＯＡ估计，前后向空间 平滑算法至少需要２Ｎ个阵元。并且在低信噪比条件 下算法性能较差。 景。空间平滑技术 是目前一种较有效的降维类解相 干处理算法，因其计算量小，便于实现，对相干信号源 的ＤＯＡ估计具有理想的性能。但它是通过牺牲阵列 有效阵元数来换取解相干能力的，由于阵列孔径的损 为了改善空间平滑法算法损失阵列有效孔径和前 向空间平滑算法对阵元个数存在要求的缺陷，本文提 出了基于Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构的相干信号源ＤＯＡ估计 失，算法可分辨的相干信源的个数就会减少。在空间 平滑算法的基础上，文献Ｉ－３］提出一种改进的前后向空 算法。该算法首先对各个阵元的接收数据与参考阵元 （第一个阵元）的接收数据的相关函数进行排列，从而 形成Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵，通过奇异值分解可以 收稿Ｉｔ期：２００９—１２—０７ 作者简介：唐玲（１９８１一），女，硕士研究生，研究方向为信号与信息 处理。 得到信号子空间和噪声子空间，从而实现相干信源的 ＤｏＡ估计。 ｌ６ 航天电子对抗 ２０１０（４） 同经典的空间平滑法比较，提出的算法无需进行 空间平滑，不减少阵列的有效孔径，所以可估计的相干 信源数较空间平滑算法增加，而且对相干信源的分辨 能力也有所提高。 ｒ（ｋ一１）当ｋ由１变到Ｍ时，得到的相关矢量为 Ｊｒ（Ｏ），ｒ（１），…，ｒ（Ｍ一１）］，且满足： Ｊｒ（Ｏ），ｒ（１），…，ｒ（Ｍ一１）］：Ａ（１）Ｒ ［Ａ”（１），Ａ“（２）， …，Ａ （Ｍ）］ （４） １ 算法分析 对于理想情况下的信号源，阵列协方差矩阵 可以看出，该数据矢量包含了所有信号源的信息。 由这Ｍ个相关函数构成如下形式的矩阵： 厂 ｒ（０） ｆｌ ｒ（一１） ｒ（１） ｒ（０） … ｒ（＾ 一１） …ｒ（Ｍ一２） Ｒ具有Ｔｏｅｐｌｉｔｚ性质。而实际情况中，由于有限次快 拍和系统误差的影响，以及相干信源的存在，协方差矩 阵Ｒ的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ性能被破坏，一般只是对角占优的矩 阵，从而影响了基于协方差矩阵分解估计ＤｏＡ的性 能。本文通过对各个阵元接收数据进行取相关函数， 由相关函数来重构新的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵，来达到解相干 目的。 算法采用的阵元结构为均匀线阵，其结构和接收 数据矢量如图１所示。 ・５ ｆ） 丫 ／ 一．．．．Ｉ ｘｏ（ｔ）】 ．１（０ （ｆ） ＾ ｌ（ ） 图１ 改进算法的阵列模型 那么各个阵元的接收数据分别为 。（ ）， （ ），… ．７８Ｍ一 （ｆ）。噪声为高斯白噪声，噪声与信号源，噪 声功率为 。则第ｋ个阵元的接收数据ｚ （￡）的表示 式为： Ｎ ｚ＾（￡）＝ Ｓｌ（ ）ｅ—ｊ ｓ｜ｎ（ ）＋ （￡） ＝ｌ ＝Ａ（愚）［ｓ１（ ），５２（￡），…，ｓＮ（￡）］ ＋ （ ） （１） 式中，Ｓ （ｆ）表示第ｉ个信号源， （ ）表示第志个阵元上 的加性高斯白噪声。Ｎ为信源个数，ｅ‘ｊ ｋ ｓｉｎ（Ｏｉ’表示阵 列导向矢量矩阵Ａ的第ｋ行第ｉ个元素。Ａ＝［日（ ）， ａ（ ），…，口（ＯＮ），］，ａ（ ）＝［１，ｅ一， ｎ８ｉ，…， ｅ．ｊ（Ｍ－１）铷 哆］为第ｉ个信号源的导向矢量。Ａ（志）（愚＝ １，２，…，Ｍ）表示Ａ的第忌行的所有元素，那么可以得 到第一个阵元的接收数据矢量为： Ｎ Ｘｌ（￡）＝∑ （ ）＋ １（ ）＝Ａ（１）Ｓ ＋ Ｉ（ ）（２） ｉ＝１ 定义如下的相关函数： ｒ（ｋ一１）＝Ｅ［ ｌ ｌ１］ ＝Ａ（１）Ｅ［ＳＳ“］Ａ“（志）＋０．２Ｉ ：Ａ（１）Ｒ “（是）＋ Ｉ （３） 式中，Ｒ为信号源自协方差矩阵；Ｓ＝［ｓ ，５。，…，Ｓ ］ 。 Ｒ．ｒ＝Ｊ ｌ； ； … ； （一Ｍ＋１） ｒ（一Ｍ＋２） … ｒ（０） ＭｘＭ （５） 式中，ｒ（一是）＝ｒ （是）。可以证明，Ｒｒ是Ｍ×Ｍ阶的 Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵。对ＲＴ进行奇异值分解后 得到信号子空间【， 和噪声子空间ｕ ，然后通过谱峰 搜索可以估计出信源的来波方向，即根据谱估计公式： ＰＭＵＳ ＝［口“（ ）【， ｕ （ ）］～，找出谱峰极大值点对应 的角度就是信号入射方向。 ２ 实验仿真 使用阵元数Ｍ＝８的均匀线阵，阵元间距为ａ／ｚ， 噪声为加性高斯白噪声，其功率为１。 实验１：Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法对相干信源的 ＤＯＡ估计。 图２是Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法和前向空间平滑算 法对相干信源的ＤＯＡ估计，３个相干信源的入射方向 分别为：一４０。、２Ｏ。、３Ｏ。，对应的衰落因子幅度分别为 １、０．９、０．８。快拍次数为５１２，信噪比均为２０ｄＢ。前 向空间平滑算法中子阵数目为Ｐ＝５，每个子阵包括的 阵元数 ＝４，满足条件Ｐ＝Ｍ— ＋１。做２００次 ｍｏｎｔｅ—ｃａｒｌｏ实验。 图３是用本文介绍的Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法对５ 个完全相干信源的ＤＯＡ估计，用前向空间平滑算法 无法找到同时满足条件ｍ≥Ｎ， ≥Ｎ的ｍ，因此无法 用前向空间平滑法进行估计。信源的来波方向分别为 一４０。、一２０。、５。、２０。、３０。，对应的衰落因子幅度为１、 Ｏ．９、０．８、０．６、０．５，信噪比和快拍数同上，做２００次 ｍｏｎｔｅ－ｃａｒｌｏ实验。 从图２可以看出，基于Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法的 分辨力高于前向空间平滑算法，其空间谱曲线在信源 来波方向处形成更为尖锐的谱峰。如果采用前向空间 平滑算法来估计５个相干信号源的Ｄ０Ａ，那么至少需 要１０个阵元。所以，在８阵元的前提下，用前向空间 平滑算法无法实现５个信源的ＤＯＡ估计。而基于 Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法则可以准确地估计，充分说明 ２０１０（４） 唐玲，等：基于Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构的相干信源ＤＯＡ估计算法 １７ ｌ＝＝＝篙 虢法ｌ 整 碍 督 — 一 图２ 两种算法对相干信源的Ｄ０Ａ估计 。。－ ： 裘 ●静 嚣 ＿● ： Ｌ． ． 图３ Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法对相干信源的Ｄ０Ａ估计 了基于Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法不减少阵列有效孔径， 增加了可估计相干信号源数目。 实验２：两种算法的ＤＯＡ估计性能随信噪比的变 化分析。 ３个全相干信源，入射方向分别为一４Ｏ。、１０。、２０。。 快拍次数为５１２，幅度衰落因子分别为１、０．９、０．８，信 噪从０变化到２０ｄＢ，每分贝计算一次，做５０次ｍｏｎｔｅ－ ｃａｒｌｏ实验。比较前向空间平滑算法和Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵 重构算法的ＤＯＡ估计性能随信噪比的变化情况，仿 真结果如图４所示。 从图４可以看出，在相同的信噪比情况下，本文提 出Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构算法比前向空间平滑算法有更小 的估计方差和偏差。 ３ 结束语 本文提出的基于Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵重构的解相干算 法，通过对各个阵元接收数据与参考阵元（第一个阵 元）接收数据的互相关函数进行重排，形成新的Ｔｏ— ｅｐｌｉｔｚ矩阵进行解相干处理，从而达到正确估计相干 信源ＤＯＡ的目的。与前向空间平滑法相比较，该算 ｊ１｛１｛ 椒 ：ｋ 坦 信噪比／ｄＢ 赵 堪 ： 蝗 信噪比／ｄＢ （ｂ）偏差 图４ 两种算法的Ｄ０Ａ估计性能随信噪比的变化曲线 法不减少阵元的有效孑Ｌ径，不需要进行空间平滑，因此 减少了运算量，增加了可估计相干信源的数目。而且 通过ｍｏｎｔｅ—ｃａｒｌｏ仿真实验结果表明，在相同的信噪比 情况下，该算法的估计性能明显优于空间平滑法。■ 参考文献： ［１］Ｓｈａｎ ＴＪ，ｗａｘ Ｍ．Ａｄａｐｔｉｖｅ ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ ｆｏｒ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｉｇ— ｎａｌｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｅｎｒｅｎｃｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ ＡＳＳＰ，１９８５，３３ （３）：５２７—５３６． ［２］ 陈辉，王永良．基于空间平滑的矩阵分解算法［Ｊ］．信号处 理，２００２，４（１０）：４２—４５． ［３］ Ｗｅｉｘｉｕ Ｄｕ，Ｋｉｒｌｉｎ ＲＬ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｓｐａｔｉａｌ ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｔｅｅｈ— ｎｉｑｕｅｓ ｆｏｒ ＤＯＡ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｃｉｇｎａｌｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｐｓ ｏｎ ＳＰ，３９（５）：１２０８—１２１０． ［４］ Ｃａｄｚｏｗ ＪＡ．Ａ ｈｉｇｈ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ—ｏｆ—ａｒｒｉｖａｌ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｎａｒｒｏｗ—ｂａｎｄ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ａｎｄ ｉｎｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｏｕｒｃｅｓ ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｏｎ ＡＳＳＰ，１９８８，３６（７）：９６５—９７９． Ｅ５］ Ｃａｄｚｏｗ ＪＡ，Ｋｉｍ ＹＳ．Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｓｉｇｎａｌｓ ｕｓｉｎｇ ａ ｌｉｎｅａｒ ａｒｒａｙＥＪ］．Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ ＩＣＡＳＳＰ，１９８７：１５９７—１６００．
