函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数yfx中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。 ( 6 )x0中x0

二、值域是函数yfx中y的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法

（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

11；② f(x)3x2；③ f(x)x1 x22x1解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

x21而x2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是x|x2.

x22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x2无意义，

32而3x20，即x时，根式3x2才有意义，

32∴这个函数的定义域是{x|x}.

3① f(x)③∵当x10且2x0，即x1且x2时，根式x1和分式∴这个函数的定义域是{x|x1且x2} 另解：要使函数有意义，必须： 例2 求下列函数的定义域：

①f(x)1 同时有意义， 2xx10x1  

2x0x2x23x4

x121

4x1 ②f(x)2

③f(x)11111x ④f(x)(x1)0xx

⑤yx23313x7

2解：①要使函数有意义，必须：4x1 即： 3x3

∴函数f(x)4x21的定义域为： [3,3]

x23x40x4或x1②要使函数有意义，必须： x3且x1x120 x3或3x1或x4

∴定义域为：{ x|x3或3x1或x4}

x01③要使函数有意义，必须： 10 

x11011x1 ∴函数的定义域为：{x|xR且x0,1,}

2④要使函数有意义，必须： x0x1 x12x10x1 

x0xx0 ∴定义域为：x|x1或1x0

x230xR7 ⑤要使函数有意义，必须：  x3x703777即 x< 或 x> ∴定义域为：{x|x}

333例3 若函数yax2ax21的定义域是R，求实数a 的取值范围 a解：∵定义域是R,∴axax10恒成立， aa01∴等价于0a2 a24a0a例4 若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x)f(x)的定义域 1414 2

解：要使函数有意义，必须：

1351x1x43344 x315441x1x444∴函数yf(x)f(x)的定义域为：x|141433x 44例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]

内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1， ∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。

答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1

练习：设f(x)的定义域是[3，2]，求函数f(x2)的定义域 解：要使函数有意义，必须：3 ∵

x22 得： 1x22

x≥0 ∴ 0x22 0x642

∴ 函数f(x2)的定域义为：x|0x642



例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

5已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。,2）

2（提示：定义域是自变量x的取值范围） 练习：

已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是

（ ）

3

Ａ．1,1 已知函数fxＡ．A

Ｂ11, 22

Ｃ．,1

21

Ｄ．0,

2

（ ）

11x的定义域为Ａ，函数yffx的定义域为Ｂ，则 1x Ｄ． AB BB Ｂ．BA Ｃ．ABB

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数yk(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； x二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R，

22当a>0时，值域为{y|y(4acb)}；当a<0时，值域为{y|y(4acb)}.

4a4a例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1) ②f(x)（ 1x3）③ yx23x1（记住图像） x解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②略

③ 当x>0，∴yx121)22， =(xxx当x<0时，y(x121)22 )=－(xxx12fx = x+x-1oy=x1-2∴值域是(,2][2，+).（此法也称为配方法） 函数yx1的图像为： x二次函数在区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

4

①yx24x1； ②；yx24x1,x[3,4] ③yx24x1,x[0,1]； ④yx24x1,x[0,5]；

解：∵yx24x1(x2)23，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }. ②∵顶点横坐标2[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f(x)ax2bxc(a0),

⑴若定义域为R时，

2b(4acb)； ①当a>0时，则当x时，其最小值ymin2a4a2b(4acb). ②当a<0时，则当x时，其最大值ymax2a4ay321-2-1O-1-2-3123456x⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x0[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值.

②若x0[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

5

∴函数的值域为 3, .

2、求函数yx2x5,x0,5 的值域

2解： 对称轴 x10,5

x1时,ymin4

x5时,ymax20 值域为4,20例3 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x

－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其

函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 法二：换元法(下题讲)

例4 求函数yx21x 的值域

2解：（换元法）设1xt，则yt2t1(t0)

对称轴t10,，且开口向下

ymax2 当t1时，值域为,2

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种

解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 例5 （选）求函数yx35x 的值域

解：（平方法）函数定义域为：x3,5

y2(x3)(5x)2x28x15

由x3,5,得x28x150,1y2,42

原函数值域为2,21x1 设xcos0,

例6 （选不要求）求函数yx1x2的值域

解：（三角换元法）  6

ycossincossin2sin()1,2 4原函数的值域为1,2小结：（1）若题目中含有a1，则可设

asin,222(或设acos,0)

2（2）若题目中含有ab1则可设acos,bsin，其中02

（3）若题目中含有1x2，则可设xcos，其中0 （4）若题目中含有1x2，则可设xtan，其中22

（5）若题目中含有xyr(x0,y0,r0)，则可设x其中0,rcos2,yrsin2

 2y 4 例7 求yx3x1 的值域

,x14解法一：（图象法）可化为 y22x,1x3 如图， 4,x3观察得值域y4y4

-1 -4 0 1 3 x 解法二：（零点法）画数轴 利用ab表示实数a,b在数轴上的距离可得。

-1 x 0 3 解法三：（选）（不等式法）

x3x1(x3)(x1)4x3x1(x1)4x1x14x14 同样可得值域

练习：yxx1的值域呢？ （1,）（三种方法均可） 例8 求函数y932(x0,1) 的值域

xx解：（换元法）设3t ，则 1t3 原函数可化为

x 7

yt2t2,对称轴t t1时,ymin11,322;t3时,ymax8

y 值域为2,81例9求函数y3x22x 的值域

1 t122解：（换元法）令tx2x(x1)1，则y(t1)

3 由指数函数的单调性知，原函数的值域为, 例10 求函数 y2x0 x 13(x0) 的值域

解：（图象法）如图，值域为0,1 例11 求函数yx1 的值域 x212y观察得原函数值域为yy1 1y解法一：（逆求法）解出x,xx23311 ，可得值域yy1

x2x2axb小结：已知分式函数y(c0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为

cxd解法二：（分离常数法）由yyya，采用部分分式法将原函数化为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

cbadac(adbc)，用复合函数法来求值域。 yccxd3x例12 求函数yx 的值域

31解法一：（逆求法）3xy01y0y1 原函数的值域为0,1

小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。 解法二：（换元法）设31t ，

x1t3x1111t1 11则yxxt31311 0 1 t 8

1t101t0y1

原函数的值域为01

2x1练习：y=x；（y∈(-1，1)）.

21x21例13 函数y2 的值域

x1解法一：（逆求法）x2

2t1y01y1y1

0 1 t 原函数的值域为21,1

2

解法二：（换元法）设x1t ，则

22t原函数值域即得t101y1

解法三：（判别式法）原函数可化为 (y1)x0xy10 1） y1时 不成立

2） y1时，004(y1)(y1)01y1

21y1

综合1）、2）值域{y|1y1}

解法四：（三角换元法）xR设xtan,，则

221tan2ycos22,cos21,1

1tan2 原函数的值域为{y|1y1} 例14 求函数y5的值域

2x24x32解法一：（判别式法）化为2yx4yx(3y5)0

1）y0时，不成立 2）y0时，0得

9

5 t5 0 1 t

(4y)8y(3y5)00y5 0y5

综合1）、2）值域{y|0y5}

解法二：（复合函数法）令2x4x3t，则y

25

t

t2(x1)211

0y5 所以，值域{y|0y5}

例15 函数yx11的值域 x2解法一：（判别式法）原式可化为 x(1y)x10

0(1y)240y3或y112y3 x,13,原函数值域为解法二：（不等式法）1）当x0时，x2） x0时，x

11(x)2x(x)y1 综合1）2）知，原函数值域为,13,

x22x2(x1)的值域 例16 (选) 求函数yx1解法一：（判别式法）原式可化为 x(2y)x2y0

20(2y)24(2y)0 x1y2舍去y2或y2

2,原函数值域为(x1)211x12(x1) 解法二：（不等式法）原函数可化为 yx1x1 当且仅当x0时取等号，故值域为2,

x22x2(2x2)的值域 例17 （选） 求函数yx1解：（换元法）令x1t ，则原函数可化为yt1(1t3)。。。 t10

ax2bxc22小结：已知分式函数y(ad0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条2dxexf件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

（选）y二次式一次式(或y)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果

一次式二次式不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数yx 练习：

1 、yx2a(x0)的单调性去解。 x19(x0)； 2x1129(x)11，∴y11.

xx2192911(或利用对勾函数图像法) x2解：∵x0，yx2另外，此题利用基本不等式解更简捷：yx22 、y03 、求函数的值域

5

2x24x3①yx2x； ②y24xx2 解：①令u2x0,则x2u2,

2原式可化为y2uu(u)∵u0，∴y1229, 499，∴函数的值域是（-，]. 442②解：令 t=4xx0 得 0x4

在此区间内 (4xx)max=4 ，(4xx)min =0 ∴函数y24xx2的值域是{ y| 0y2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

222x1(x1)解法1：将函数化为分段函数形式：y3(1x2)，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是

2x1(x2){y|y3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值

11

域是[3，+]. 如图

x-1O12

-1Ox12

-1O12x

5、求函数y2x41x的值域

2解：设 t1x 则 t0 x=1t

222代入得 yf (t)2(1t)4t2t4t22(t1)4

∵t0 ∴y4

x25x66、（选）求函数y2的值域

xx6方法一：去分母得 (y1)x+(y+5)x6y6=0 ① 当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0 由此得 (5y+1)20 21515检验 y （有一个根时需验证）时 x2（代入①求根）

562()5∵2  定义域 { x| x2且 x3} ∴y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1

151x25x6综上所述，函数y2的值域为 { y| y1且 y}

5xx6方法二：把已知函数化为函数y(x2)(x3)x36 (x2) 1(x2)(x3)x3x3x25x6111 由此可得 y1，∵ x=2时y即 y∴函数y2的值域为 { y| y1且 y} xx6555

12