专升本高等数学(二)-一元函数微分学(三)

(总分：91.00，做题时间：90分钟)

一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：7，分数：13.00)

1.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A．（分数：1.00） A. B. C. √ D.

解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断． 选项A中，[*]，原等式成立． 选项B中，[*]，原等式成立． 选项C中，[*]，原等式不成立． 选项D中，[*]，原等式成立．

2.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2．则等于______

B． C． D．    

A.0 B.1 C.2 D.4

（分数：2.00） A. B. C. D. √

解析：[解析] [*]． 3.设f(x)在x0处不连续，则

A．f(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在______ C． A. B. √ C. D.

解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导． 4.椭圆x+2y=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为______ A．-1 B． A. B. √

C． D．1

2

2

必存在 D．必不存在

（分数：2.00）

（分数：2.00）

C. D.

解析：[解析] 方程两边对x求导数，可得2x+4y·y'=0，即[*]．由于切点处的横坐标与纵坐标相等，即x=y．因此所求的切线斜率为[*]． 5.设y=x+3，则y'等于______

-3

   

A.-3x B.-3x C.3x D.-3x+3

-4-4-2

-4

（分数：2.00） A. √ B. C. D.

解析：[解析] y'=3x．

6.设f(x)=cos2x，则f'(0)等于______

-4

   

A.-2 B.-1 C.0 D.2

（分数：2.00） A. B. C. √ D.

解析：[解析] f'(x)=-2sin2x，f(0)=-2sin0=0． 7.设函数f(x)=e，则f\"(x)等于______

-x2

   

A.e(2x-1) B.e(1-2x) C.2e(2x-1) D.2e(1-2x)

2

2

2

2

2

2

-x22

（分数：2.00） A. B. C. √ D.

解析：[解析] y'=e·(-x)'=-2xe，y\"=-2e+4xe=2e(2x-1)．

-x2

2

-x2

-x2

-x2

-x2

2

二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：15，分数：30.00)

8.设，则f'(0)=______．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：[*] 依题意，有[*]，于是有[*]

9.曲线y=e在点(0，1)处的切线的斜率k为 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：-1） 解析：y'=(e)'=-e，根据导数的几何意义有，[*] 10.设函数，则f'(x)= 1.

-x

-x

-x

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：[*] 11.设函数，则y' 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：[*]

12.设函数y=sin ln(x)，则y'= 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：[*]

13.设函数y=cos(e)，则y'(0)= 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：sin1） 解析：y'=-sin(e)·(e)'=sin(e)·e，y'(0)=sin1． 14.设函数，则f'(x)=______．

-x

-x

-x

-x

-x

3

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：作变量代换，令[*]，则[*]， 所以[*] 15.设函数=sinx，则f'(x)=______．

2

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：2xcosx） 解析：令[*]=t，x=t，则f(t)=sint，即f(x)=sinx， 所以f'(x)=cos·(x)'=2xcosx． 16.设函数，则f\"(1)=______．

2

2

2

2

2

2

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：f(x)=ln(2-x)=ln(2+x)，[*] [*] 17.设函数y=e

cosx

，则y\"= 1．

cosx

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：e解析：y'=e

cosx

(sinx-cosx)）

cosx

2

·(-sinx)，y\"=e

cosx

·sinx+e

2cosx

·(-cosx)=e(sinx-cosx)．

2

18.设函数，则y\"= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：[*]） 解析：[*]

19.设函数f(x)=xlnx，则f\"(1)=______． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：5） 解析：f'(x)=3xlnx+x·[*]=3xlnx+x， f\"(x)=6xlnx+3x·[*]+2x=6xlnx+5x，f\"(1)=5． 20.设函数y

(n-2)

22

3

2

2

3

=a+x+a(a＞0，a≠1)，则y= 1．

x

2

a-2

xaa(n)

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：alna+a(a-1)x） 解析：y

(n-1)

=alna+ax，y=alna+a(a-1)x．

2x

xa-1(n)x2a-2

21.设函数y=e，则y\"(0)= 1． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：4）

解析：y'=e·(2x)'=2e，y\"=2e·(2x)'=4e，y\"(0)=4． 22.设函数y=cos(-x)，则dy=______． （分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：-sin2xdx）

解析：y'=2cos(-x)·[cos(-x)]'=2cos(-x)[-sin(-x)](-x)'=-sin2x， dy=-sin2xdx．

2

2x

2x

2x

2x

三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：48.00)

求下列函数的导数．（分数：12.00）

(1).设函数，求y'．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]) 解析： (2).设函数，求y'．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]) 解析： (3).设函数，求y'．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]) 解析： (4).设函数，求y'．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]) 解析：

求下列隐函数的导数．（分数：6.00）

(1).求由方程e=xy所确定的隐函数y=y(x)的导数y

．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程两边同时对x求导，得 e·y'=y+x·y', (e-x)y'=y， [*]) 解析：

(2).设y=y(x)由方程e-e=sin(xy)所确定，求正确答案：(方程两边同时对x求导，得 e-e·y'=cos(xy)·(y+xy')， [e+xcos(xy)]y'=e-ycos(xy)． [*]

当x=0时，代入所给方程，即e-e=sin0，得y=0． [*]) 解析：

0

y

y

x

x

y

x

y

yy

（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________

用对数求导法求导数．（分数：6.00）

(1).设函数y=(lnx)，求y'．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(等式两边同时取自然对数，得lny=xln(lnx)， 等式两边同时对x求导，得[*] 所以[*]) 解析：

(2).设函数y=(tanx)

sinxx

，求y'．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(等式两边同时取自然对数，得lny=sinxln(tanx)， 等式两边同时对x求导，得[*] [*]·y'=cosx·ln(tanx)+secx，所以y'=(tanx)sinx[cosx·ln(tanx)+secx]．) 解析：

求下列函数的高阶导数．（分数：12.00）

(1).设函数y=xlnx，求y\"．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=(x)'1nx+x(lnx)'=lnx+x·[*]=Inx+1，y\"=(lnx+1)'=[*]．) 解析： (2).设函数，求y\"．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] [*]) 解析：

(3).设函数y=(1+x)arctanx，求y\"．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=2xarctanx+(1+x·[*]=2xarctanx+1， y\"=2arctanx+[*]) 解析： (4).设函数，求y\"．（分数：3.00）

2

2

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]) 解析：

求微分．（分数：12.00）

(1).设函数y=xsinx，求dy．（分数：3.00）

4

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y\"=4xsinx+xcosx， dy=y'dx=(4xsinx+xcosx)dx．) 解析：

(2).设函数y=ln(1-x)，求dy．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]) 解析：

(3).设函数y=ecosx，求dy．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(y'=e(-x)'cosx+e(-sinx)=-e(sinx+cosx)， dy=y'dx=-e(sinx+cosx)dx．) 解析： (4).设函数正确答案：([*] dy=y'dx=[cscx+e解析：

xlnx

-x

-x

-x

-x

-x

2

3

43

4

，求dy．（分数：3.00）

__________________________________________________________________________________________

(lnx+1)]dx．)