・短论荟苯・ 寸’？擞 （２ｏｏ９年第７期喃中版） ４７ 斜率乘积为定值ｅ２—１的椭圆的性质赏析 ３１００３０ 浙江省杭州师范大学附属中学 苏立标 在文［１］中作者对椭圆中看似毫无相干的问题围绕 着定值ｅ 一１进行展开探讨，得到一系列和谐统一的几 何性质，但总觉得意犹未尽，因此本文试图从另一个角 由（１）（２）得： 盟＾０一ｘ１ ｘ Ｘ０一Ｘ２ ： Ｘｏ— １ 尘： Ｘ０一 ２ 度来剖析与斜率乘积为定值ｅ 一１相关的椭圆的性质， ÷ ，故Ａ（ 。，ｙ。）， （一 。，一ｙ ），Ｑ（ ，ｙ：）三点共 也得到许多有趣的性质，权当抛砖引玉，共同欣赏．（文 中所涉及的字母ｅ为椭圆的离心率） １有关定值问题 性质１若椭圆 ＋告＝１（。＞ｂ＞０）Ｊ：＿￣－ＮＡ Ｐ， Ｑ（不是长轴的端点），０为原点，若ＯＰ与ＯＱ斜率分别 为 与 ：，且满足忌 ． ：ｅ 一１，则 ＋－ＯＱ２为定值． 证明 由于Ｐ，Ｑ两点都在椭圆 ＋ Ｙ：１上，所以 可以设点Ｐ（ａ（？ＯＳＯＬ，ｂｓｉｎ￣ｘ），Ｑ（ａｃｏｓ／３，ｂｓｉｎ／３），得 ：一ｂｓｉｎ￣＿× ：。ｚ一， １：一 ． ‘ ａＣＯＳ（？￣ ａｃｏｓ／．４ ｎ ：＝＞ｃｏｓ（Ｏ／一 ）＝０． ・． ．＋ ＝（ａ２ＣＯＳ ＋６ ｓｉｎ ）＋（ ２ＣＯＳ ＋６。ｓｉｎ ） ＝血 （ＣＯＳ ＋ＣＯＳ ）＋６。（ｓｉｎ ０［＋ｓｉｎ 卢） ＝ （ ＋ 。。 ）＋ｂ２（！－ｃ ｏｓ２￣＋１－ｏ ｏｓ￣） ＝０ ＋ｂ ＋ （ＣＯｓ２ ＋ｃｏｓ￣） ＝０ ＋ｂ ＋（０ 一ｂ ）ＣＯＳ（ ＋ ）ＣＯＳ（ 一卢） ：。 ＋６ 为定值． ２有关三点共线问题 性质２过椭圆 ＋告：１（。＞ｂ＞０）上任意一点Ａ 作线段分别交椭圆于点Ｐ、Ｑ（不是长轴的端点），０为原 点，若 Ｐ与ａｑ斜率分别为矗 与忌 ，且满足 ，・ ＝ｅ 一１，则Ｐ，０，９三点共线． 证明设Ａ（ ， ），Ｐ（ 。，Ｙ ），Ｑ（ ：，Ｙ：）， 则 ＋ Ｙｏ：ｌ， ＋告：ｌ，两式相减得到 — — ：一 一 －Ｔ ＝ｅ一，：ｅ２—１，１ （１Ｌ，１） ０一ＸＩ 口 又Ｊｉ｝ ． ： ｘ ：２—１． （２） 线，而Ｐ （一 ，一ｙ ）在椭圆上，所以Ｐ （一 ，一Ｙ ）与 Ｑ（ ：，Ｙ ）重合，显然Ｐ（ 。，Ｙ ）与Ｐ （一 。，一Ｙ ）关于原 点对称，所以弦ＰＱ过中心０，即Ｐ，０，口三点共线． ３有关切线问题 性质３过椭圆 ＋ Ｙ＝１（ａ＞６＞０）上任意一点Ｐ （不是椭圆的顶点）作斜率为 的直线ｆ，设直线ＯＰ的 斜率为五 ，且后 ・ ：ｅ 一１，则直线Ｚ为椭圆的切线． 证明设点Ｐ的坐标为Ｐ（ ，Ｙｏ），则 ＝ ， ．．Ｊｊ｝。． ＝ｅ２—１：一 ．，所以 ：一 ，即 为 过点Ｐ的切线的斜率，故直线ｆ为椭圆的切线． 性质４设Ｆ 、Ｆ２分别为椭圆 ＋告＝１（ｏ＞６＞ｏ）的 左、右焦点，过椭圆上任意一点Ｐ（ｘ。，ｙ０）的切线的斜率为 ， 直线 、Ｐ 的斜率分别为Ｊｊ｝，、后：，若 ・ ＝ｅ 一１，则 ：ｅ 一１． 证明不妨设点Ｐ（ 。，Ｙ。）在第一象限，则 ＞０， Ｙｏ＞Ｏ，七＜０，过点Ｐ（ ｏ， ）的切线的方程为Ｙ＝Ｙｏ＋ （ —Ｘｏ），代人椭圆方程 ＋告＝１（ｏ＞６＞ｏ），整理得 （ａ２ｋ ＋ｂ ） ＋２ａ 尼（Ｙ０一瓜０） ＋０。（ ～ ０） 一 ａ２６。＝０． ・．．由△＝０ 一 。：、 酐， 眦 南， ・．． ＝鑫＝一Ｃ ０ 一Ｃ 一＝ ，ｅ 又丘 ・ ２＝ｅ 一１，所以 。＝ｅ 一１，证毕． 参考文献 １苏立标．探求以ｅ 一１为定值的圆锥曲线问题．中学数学 教学参考，２００６，５ ２玲珑居士．一道高考解几题的探究背景．中学数学，２００４，９ （收稿日期：２００９０３２８）
