二次根式的竞赛题及经典答疑（3）
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二次根式的竞赛题及经典答疑（3）
一、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分） 7．（4分）如果
，那么a的取值范围是（ ）
1≥a≥0 C．
D． ﹣1≤a≤0
a≤1 A． a ≥﹣1 B．
二、解答题（共10小题，满分0分） 1．计算：
（1）（x2\\sqrt{\\frac{b}{a}}
﹣\\frac{xy}{a}\\sqrt{ab}
+
）÷x2y2
；
（2）4 2．化简（ 3．化简 4．已知a=
5．先化简，再求值． [
6．化简下列各式： （1）（3）（5）
8．将（a﹣1）
9．已知a+b=﹣8，ab=12．求
的值．
（b＜0）；（2）
；（4）
（1＜x＜3）．
﹣
）÷
+
（x＞y＞0）．
．
]÷，其中a=3，b=4．
（y＞0）；
；
中的根号外面的因式移到给号里面．
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10．（2004•烟台）已知：
11．已知x为实数时，化简
+
．
，求
的值．
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二次根式的竞赛题及经典答疑（3）
参考答案与试题解析
一、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分） 7．（4分）如果
，那么a的取值范围是（ ）
D． ﹣1≤a≤0
a≤1 1≥a≥0 A． a ≥﹣1 B． C．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的意义和性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 解答：
解：∵=，
又∵，
∴a≤0且a+1≥0 解得﹣1≤a≤0． 故选D．
点评： 二次根式的意义和性质．概念：式子
否则二次根式无意义．
二、解答题（共10小题，满分0分） 1．计算：
（1）（x2\\sqrt{\\frac{b}{a}}
﹣\\frac{xy}{a}\\sqrt{ab}
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，
+
）÷x2y2
；
（2）4（x＞y＞0）．
考点： 二次根式的混合运算． 专题： 计算题．
分析： （1）有两种途径：一是将括号中的每一项分别除以除式，再把所得的商相加；二是先把括号内的式子作加
减运算，然后再做除法．第（2）用立方和与立方差公式将第三个二次根式的分子、分母展开，再做二次根式的乘法运算．
解答： 解：（1）解法一：
原式=x2•
﹣+
=﹣+=．
解法二： 原式=（
﹣
+
）÷
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=
•
=．
（2）原式=（4××3）
=6
=．
点评： 以上两题较为复杂，运算时注意运用二次根式的性质，注意运算方法． 2．化简（
﹣
）÷
+
考点： 二次根式的混合运算． 分析：
对含有除法运算的二次根式，一般是先进行分母有理化．但此题若将除式
转化为乘以，再用乘法
分配律，就可以进行约分，计算会简单些．
解答：
解：原式===
， ﹣1，
，
=1﹣1， =0．
点评： 此题考查二次根式的混合运算，用乘法分配律可使运算简便． 3．化简
考点： 二次根式的化简求值． 专题： 计算题． 分析：
先把
的分子分解因式，然后再进行化简计算．
解答：
解：
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===0．
点评：
本题考查了二次根式的化简求值，难度适中，关键是先把进行化简计算．
4．已知a=
考点： 二次根式的化简求值． 专题： 计算题． 分析：
本题根据题中条件可得，式子a+﹣
﹣
﹣
的分子分解因式，然后再
．
正是完全平方式，再与相乘
便可用平方差公式化简．
解答：
解：原式=
，
=，
=把a=原式=
，b=
，
+1代入，
=
=1．
点评： 本题考查二次根式的化简求值，根据题中的条件，找出各项之间的关系，然后计算时注意符号即可．
5．先化简，再求值． [
]÷
，其中a=3，b=4．
考点： 二次根式的化简求值． 专题： 计算题．
分析： 根据本题特点，有两种解题途径：一是先分母有理化，再通分，做加法；另一种是先通分，再做加法，最
后变除法为乘法．实际上第二种方法较为简便．然后代入计算即可．
解答：
解：原式=[﹣]×，
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=
×
，
=﹣=﹣
=﹣
，
×，
当a=3，b=4时， 原式=﹣
=
﹣2．
点评： 本题考查二次根式的化简求值，对原式进行通分化简即可，计算时注意正负号即可．
6．化简下列各式： （1）（3）（5）
（b＜0）；（2）
；（4）
（1＜x＜3）．
（y＞0）；
；
考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题．
分析： 本题为简单的二次根式开方问题，根据各题中所给出的范围，然后进行开方即可，注意正负号．
（1）题中条件b＜0，而250a3b≥0，所以a≤0，然后进行开方即可． （2）y＞0，343x4y3≥0，x4开方后为x2，直接进行开方即可． （3）π的取值大于3，则3﹣π＜0，求出结果即可．
（4）=，x≥，可求的结果．
（5）根据取值范围1＜x＜3，然后进行开方即可．
解答： 解：（1）∵b＜0，250a3b≥0，
∴a3≤0，即a≤0，因此（2）∵y＞0，∴
（3）∵π＞3，则3﹣π＜0 ∴（4）∵∴
=π﹣3 ，则1﹣3x≤0 =
=|1﹣3x|=3x﹣1 ==
=5|a|
=7
=﹣5a
=7
（5）∵1＜x＜3 则有x﹣3＜0，1﹣x＜0 ∴
+
=|x﹣3|+|1﹣x|=3﹣x+x﹣1=2
点评： 本题考查简单的二次根式开方问题，计算时注意题中暗含的条件，注意正负号．
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中的根号外面的因式移到给号里面．
考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题．
分析： 根据根号里面的数必须大于等于0，可以求出a﹣1的符号，然后再把根号外面的因式移到给号里面． 解答： 解：∵＞0，则1﹣a＞0
∴（a﹣1）=﹣（1﹣a）=﹣．
点评： 点评此题根据二次根式被开方数的非负性挖掘出隐含条件1﹣a＞0，这是问题的关键．
9．已知a+b=﹣8，ab=12．求
的值．
考点： 二次根式的加减法． 专题： 计算题．
分析： 把所求代数式平方，化为原式的形式，用整体代入法求值，再开平方，注意结果为非负数． 解答：
解：∵（+）2=++2
=
==
；
∴原式==．
点评： 解答此题的关键是熟知用平方法解题，整体代入的思想．
10．（2004•烟台）已知：
，求
的值．
考点： 二次根式的化简求值． 专题： 计算题．
分析： 首先化简a=2﹣，然后根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，最后代入计算． 解答：
解：∵a==2﹣＜1，
∴原式==2﹣
点评：
11．已知x为实数时，化简
=a﹣3+
=1．
=1﹣a．
﹣3+2+
此题中注意：当a＜1时，有
+
．
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考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 计算题． 分析：
要化简二次根式
+，首先把被开方数因式分解，然后用公式=|a|进行化简；条件中x
是实数，化简时必须对x进行分类讨论才能去掉绝对值符号．
解答：
解：
+
=
+
=|x﹣1|+|x|，
当x≤0时，x﹣1＜0，
原式=1﹣x+（﹣x）=1﹣2x； 当0＜x≤1时，x﹣1≤0， 原式=1﹣x+x=1；
当x＞1时，x﹣1＞0， 原式=x﹣1+x=2x﹣1．
点评： 本题先令每一绝对值内的代数式的值为零，求出所对应的“零值点”，即令x﹣1=0，x=0，得x=1，x=0，再
在数轴上标出这些点，将数轴分成三个区间，分别是x≤0，0＜x≤1，x＞1，最后按区间范围去掉绝对值符号，从而使二次根式得以化简．这种方叫“零值点区分法”．
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参与本试卷答题和审题的老师有：mrlin；zhangCF；leidan；yuanyuan；733599；kuaile；HLing；lf2-9；张超。；CJX；jingjing（排名不分先后） 菁优网
2014年5月20日
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