甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷(文科) Word版含解析

甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷（文科）

一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确选项涂到答题卡上．4分*10=40分．） 1．（4分）下列各点中，不在x+y﹣1≤0表示的平面区域内的点是（） A． （0，0） B． （﹣1，1） C． （﹣1，3） D．（2，﹣3）

2．（4分）已知集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x| A． （﹣1，）∪（2，3） （﹣1，）

3．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（） A．

4．（4分）已知三个实数a=0.7，b=6，c=log

6

0.7

＜0}，则A∩B=（） B． （2，3）

C． （﹣，0）

D．

B． ab＜b

2

C． ﹣ab＜﹣a

2

D．

，则a，b，c的大小关系正确的为（）

D．c＜b＜a

A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． c＜a＜b 5．（4分）若|x﹣a|＜h，|y﹣a|＜k，则下列不等式成立的是（） A． |x﹣y|＜2h B． |x﹣y|＜2k C． |x﹣y|＜h+k

D．|x﹣y|＜|h﹣k|

6．（4分）已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M

有公共点，则k的取值范围是（） A．

7．（4分）若x＞0，则x+

的最小值为（） B． （﹣∞，]

C． （0，]

D．（﹣∞，﹣]

A． 3 B． 2 C． 1 D．4 8．（4分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

9．（4分）如果关于x的不等式|x+1|+|x+2|≥k，对于∀x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（） A． B． （﹣1，+∞） C． （﹣∞，1] D．（3，8） 10．（4分）在下列函数中，最小值是2的是（） A．

x

（x∈R且x≠0）

﹣x

B． D．

）

C． y=3+3（x∈R）

二、填空题（请将所解的答案填在答题卡相应位置．5分*4=20分．） 11．（5分）全称命题“∀a∈Z，a有一个正因数”的否定是． 12．（5分）已知a=+，b=+，则ab（填“＞”或“＜”）．

13．（5分）已知12＜a＜60，10＜b＜20，则的取值范围是．

14．（5分）已知向量

，若⊥，则16+4的最小值为．

x

y

三、解答题（10分*4=40分．）

22

15．（10分）（1）已知a，b∈R，求证：a+b≥ab+a+b﹣1． （2）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|． 16．（10分）在对角线有相同长度d的所有矩形中． （1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值； （2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值．

17．（10分）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值

（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．

*

18．（10分）变量x，y满足，

①设z=，求z的最小值； ②设z=x+y求z的取值范围．

2

2

甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确选项涂到答题卡上．4分*10=40分．） 1．（4分）下列各点中，不在x+y﹣1≤0表示的平面区域内的点是（） A． （0，0） B． （﹣1，1） C． （﹣1，3） D．（2，﹣3）

考点： 二元一次不等式（组）与平面区域． 专题： 计算题．

分析： 分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式x+y﹣1≤06进行判断，能够求出结果．

解答： 解：把（0，0）代入不等式x+y﹣1≤0，得0﹣1≤0，成立， ∴点A在不等式x+y﹣1≤0表示的平面区域内；

把（﹣1，1）代入不等式x+y﹣1≤0，得﹣1+1﹣1≤0，成立， ∴点B在不等式x+y﹣1≤0表示的平面区域内；

把（﹣1，3）代入不等式x+y﹣1≤0，得﹣1+3﹣1≤0，不成立， ∴点C不在不等式x+y﹣1≤0表示的平面区域内；

把（2，﹣3）代入不等式x+y﹣1≤0，得2﹣3﹣1≤0，成立， ∴点D在不等式x+y﹣1≤0表示的平面区域内． 故选C．

点评： 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

2．（4分）已知集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x| A． （﹣1，）∪（2，3） （﹣1，）

＜0}，则A∩B=（） B． （2，3）

C． （﹣，0）

D．

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 分别求解绝对值的不等式和分试不等式化简集合A，B，然后直接利用交集运算求解．

解答： 解：由|2x﹣1|＜3，得﹣1＜x＜2． ∴A={x||2x﹣1|＜3}=（﹣1，2），

由∴B={x|

＜0，得x＜﹣或x＞3．

＜0}=

，

则A∩B=（﹣1，）∪（2，3）．

故选：A．

点评： 本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题． 3．（4分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（） A．

B． ab＜b

2

C． ﹣ab＜﹣a

2

D．

考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．

解答： 解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不

正确．

22

可得ab=2，b=1，∴ab＞b，故B不正确．

22

可得﹣ab=﹣2，﹣a=﹣4，∴﹣ab＞﹣a，故C不正确． 故选D．

点评： 本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．

4．（4分）已知三个实数a=0.7，b=6，c=log

6

0.7

，则a，b，c的大小关系正确的为（）

D．c＜b＜a

A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． c＜a＜b

考点： 不等关系与不等式． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵0＜a=0.7＜1，b=6＞1，c=log

60.7

＜0．

∴c＜a＜b． 故选：C．

点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题． 5．（4分）若|x﹣a|＜h，|y﹣a|＜k，则下列不等式成立的是（） A． |x﹣y|＜2h B． |x﹣y|＜2k C． |x﹣y|＜h+k D．|x﹣y|＜|h﹣k|

考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 利用绝对值不等式的性质即可得出． 解答： 解：∵|x﹣a|＜h，|y﹣a|＜k，

∴|x﹣y|=|（x﹣a）﹣（y﹣a）|≤|x﹣a|+|y﹣a|＜h+k． 故选：C．

点评： 本题考查了绝对值不等式的性质，属于基础题．

6．（4分）已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M

有公共点，则k的取值范围是（） A．

B． （﹣∞，]

C． （0，]

D．（﹣∞，﹣]

考点： 简单线性规划的应用． 专题： 计算题；数形结合．

分析： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件

的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx﹣3k中，求

出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．

解答： 解：满足约束条件的平面区域如图示：

因为y=kx﹣3k过定点D（3，0）．

所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，找到k=﹣ 当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0． 又因为直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点． 所以﹣≤k≤0． 故选A．

点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．

7．（4分）若x＞0，则x+ A． 3

考点： 专题： 分析： 值． 解答： ∴x+

=

B． 2

的最小值为（）

C． 1

D． 4

基本不等式．

不等式的解法及应用．

本题先将原式配成积为定值的形式，然后利用三个数的基本不等式得到原式的最小

解：∵x＞0，

≥

=3．

当且仅当，即x=2时取等号．

故选：A．

点评： 本题考查了用三个数的基本不等式求最小值，注意要将原式配成积为定值的形式． 8．（4分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．

分析： 由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．

解答： 解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b 但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．

例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d． 故选B．

点评： 此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题． 9．（4分）如果关于x的不等式|x+1|+|x+2|≥k，对于∀x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（） A． B． （﹣1，+∞） C． （﹣∞，1] D．（3，8）

考点： 函数恒成立问题．

分析： 直接利用绝对值的几何意义求解|x+1|+|x+2|的最小值，则答案可求． 解答： 解：令f（x）=|x+1|+|x+2|，

而|x+1|+|x+2|的几何意义为数轴上动点X到两个定点﹣1，﹣2的距离的和， 如图：

由图可知，|x+1|+|x+2|的最小值为1． ∴实数k的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：C．

点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，是中档题． 10．（4分）在下列函数中，最小值是2的是（） A．

x

（x∈R且x≠0）

﹣x

B． D．

）

C． y=3+3（x∈R）

考点： 基本不等式． 专题： 计算题．

分析： 利用均值定理求函数最值需要满足三个条件即一“正”，二“定”，三“等号”，选项A不满足条件一“正”；选项B、D不满足条件三“等号”，即等号成立的条件不具备，而选项C三个条件都具备

解答： 解：当x＜0时，y=∵lgx=∵sinx=排除D

在1＜x＜10无解，∴在0＜x＜

＜0，排除A，

大于2，但不能等于2，排除B

）大于2，但不能等于2，

上无解，∴

对于函数y=3+3，令3=t，则t＞0，y=t+≥2

x

﹣x

x﹣xx

=2，（当且仅当t=1，即x=0时取等号）

∴y=3+3的最小值为2

故选C

点评： 本题考察了均值定理求函数最值的方法，解题时要牢记口诀一“正”，二“定”，三“等号”，并用此口诀检验解题的正误

二、填空题（请将所解的答案填在答题卡相应位置．5分*4=20分．） 11．（5分）全称命题“∀a∈Z，a有一个正因数”的否定是∃a0∈Z，a0没有正因数．

考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑．

分析： 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以全称命题“∀a∈Z，a有一个正因数”的否定是：∃a0∈z，a0没有正因数．

故答案为：∃a0∈Z，a0没有正因数．

点评： 本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查． 12．（5分）已知a=+，b=+，则a＜b（填“＞”或“＜”）．

考点： 不等式比较大小．

专题： 计算题；不等式的解法及应用．

分析： 先平方，比较得出a＜b，即可得出结论．

222

解答： 解：∵a=（+）=13+2，b=（+

22

）=13+2

2

，

∴a＜b，

∵a＞0，b＞0， ∴a＜b．

故答案为：＜．

点评： 本题考查不等式比较大小，考查学生的计算能力，比较基础．

13．（5分）已知12＜a＜60，10＜b＜20，则的取值范围是

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

22

．

分析： 直接由已知条件作出关于a，b的可行域，然后由的几何意义得答案． 解答： 解：由12＜a＜60，10＜b＜20作出可行域如图，

的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，

，

．

． ．

∴的取值范围是故答案为：

点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

14．（5分）已知向量

，若⊥，则16+4的最小值为8．

x

y

考点： 基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 平面向量及应用．

分析： 利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．

解答： 解：∵

∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4 ∵

4x

2y

=

当且仅当2=2即4x=2y=2取等号

故答案为8

点评： 本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．

三、解答题（10分*4=40分．）

22

15．（10分）（1）已知a，b∈R，求证：a+b≥ab+a+b﹣1． （2）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．

考点： 不等式的证明．

专题： 证明题；不等式的解法及应用．

2222

分析： （1）欲证明a+b≥ab+a+b﹣1，利用比较法，只须证明（a+b）﹣（ab+a+b﹣1）＞0即可，故先作差后因式分解后与0比较即可；

（2）首先化简|1﹣ab|﹣|a﹣b|可得，|1﹣ab|﹣|a﹣b|=1+ab﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1）；

22

结合题意中|a|＜1，|b|＜1，可得a、b的范围，进而可得|1﹣ab|﹣|a﹣b|＞0，由不等式的性质，可得答案．

22

解答： 证明：（1）（a+b）﹣（ab+a+b﹣1） =（2a+2b﹣2ab﹣2a﹣2b+2） = =≥0，

则a+b≥ab+a+b﹣1；

22222222

（2）|1﹣ab|﹣|a﹣b|=1+ab﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1）．

22

由于|a|＜1，|b|＜1，则a﹣1＜0，b﹣1＜0．

22

则|1﹣ab|﹣|a﹣b|＞0， 故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．

点评： 本题考查不等式的证明，考查比较法的运用以及不等式性质的基本运用，注意结合题意，进行绝对值的转化，属于中档题． 16．（10分）在对角线有相同长度d的所有矩形中． （1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值； （2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值．

考点： 基本不等式．

专题： 不等式的解法及应用．

2222

分析： （1）设矩形的两邻边长分别为x，y，易得x+y=d，周长c=2（x+y），可得c=4

22222222

（x+y）=4（x+y+2xy）≤4（x+y+x+y）=8d，开方可得答案；

2222222222

22

22

（2）由（1）矩形面积S=xy=•2xy≤（x+y）=解答： 解：（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，

222

由题意可得x+y=d， ∴矩形周长c=2（x+y）， 2222

∴c=4（x+y）=4（x+y+2xy）

22

，注意等号成立的条件即可．

≤4（x+y+x+y）=8d，

22

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c取到最大值8d， 周长取到最大值2d；

（2）由（1）矩形面积S=xy=•2xy≤（x+y）=

2

2

22222

．

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值

点评： 本题考查基本不等式求最值，涉及矩形的周长和面积，属基础题．

17．（10分）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值

（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．

考点： 绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 专题： 计算题；压轴题；不等式的解法及应用．

*

分析： （Ⅰ）利用，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的

值．

（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值． 解答： 解：（Ⅰ）因为所以解得

*

， ，

且，

因为a∈N，所以a的值为1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3， 当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2时取等号， 所以函数f（x）的最小值为3．

点评： 本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想．

18．（10分）变量x，y满足，

①设z=，求z的最小值；

②设z=x+y求z的取值范围．

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出平面区域，利用z的几何意义即可得到结论． 解答： 解：由约束条件可作 的可行域如图，且

22

①z=的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，由图得OB的斜率最小，

由，解得，即B（5，2），

此时z==．

②z=x+y的几何意义是可行域上的到原点O的距离的平方，结合图形可知，OB的长度最

大，

22

即z的最大值为z=x+y=25+4=29， OC的长度最小， 由

，得

，即C（1，1），

2

2

此时zmin=1+1=2．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．