中科院2003年数学分析考研真题解答

一、解：

由A,B的对称性，不妨以A为标准进行讨论，

ln(ee) 记Ilimx0AxBx（1）A0时，对任意B，则I （2）A0时，若B0，则I

若B0，则Iln2 若B0，则I0

（3）A0时，若B0，则I

若B0，则I0 若B0，则I

二、解：

11（1）|f(x)f(0)||xsin||x||sin|

xx故欲使：0,0,当|x0|,s.t|f(x)f(0)|，只有当0才可，故，当0时f(x)在x0处连续

1xsin0f(x)f(0)1x （2）x1sin x0x0xf(x)f(0)1要使f(x)在x0处可导，即lim存在，亦即limx1sin存在

x0x0x0x11sin在x0时是有界量，故只有limx1sin0才可，即101

x0xx从而1时，f(x)在x0处可导

11111 （3）当x0时，f(x)x1sinxcos(2)x1sinx2cos

xxxxx由（2）知道，若f(x)在x0处可导，则必有f(0)0 同样讨论，只有当2时，f(x)在x0处连续 三、证明：由于

yyxyyxylnlnylnylnxxlnyylnx xxxx(1x)lny(1y)lnx(*)（1）若0xy1，则（*）式lntlnylnx,t(0,1) ，故令f(t)1t1y1x只须证明f(t)在（0，1）上单增即可得证

为此，f(t)tlntt1从而令g(t)tlntt1,t(0,1)，若证明了g(t),t(0,1)，2t(1t)在（0，1）上g(t)0，则f(t)在（0，1）上单增，进一步，g(t)lnt,t(0,1)故

g(t)0,t(0,1)，又g(t)在(0,)上连续，g(t)g(1),t(0,1)，又g(1)0，

所以

t(0,1),g(t)0t(0,1),f(t)0，即f(t)在（0，1）上单增，故得证

（2）yx1，则（*）式故，令(t)lnylnx y1x1lnt,t(1,)若证明(t)在(0,)上单减，则得证 t1为此，求(t)tlntt1,t(1,)，令(t)tlntt1,t(1,)，若能证

t(t1)2明(t)0,t(1,)则由(t)0,t(1,)知(t)在(1,)上单减

进一步，(t)lnt,t(1,)，(t)0,t(1,)，(t)在(1,)上单减，又(t)在(1,)上连续，t(1,)时(t)(1)0,(t)0,t(1,)，即

(t)在(0,)上单减，则得证 四、解：记

2I0dd2cos02cos2ddd2cos02cos02cos(0114dd)d42cos2cos4cos24cos200

令ttan2，则

2dt2t,sin1t21t212dt(1t2)dt

I484222t3(t1)10t21t03(0)1t22arctantd

11)dtd(t)2tt I881103(t203(t)242)102tt1令ut,t(0,)u(,)

t(13u)du8du44I8222243u43u30311(u)2

444dx42arctanx|023301x3d(五、证明：

若不然，设M0,s.t0f(x)Mf(x),x(a,b]，考虑区间，(a,a的f(x)，记Amax|f(x)|,x(a,b](a,a[a,b]1]上2M1] 2Mf(1)，其中a1x 2f(2)1同理|f(1)||f(1)f(a)||f(2)||2a|Mf(2) 2M2f(2)即|f(x)|，依上述操作重复进行n次，得 22f(n)|f(x)|，其中an1x

2n1Ax(a,a]，有|f(x)|n，令n得|f(x)|0，又|f(x)|0

2M21|f(x)|0,x(a,a](a,b]，即

2M1i1if(x)0,x(a,a](a,b]，由此易知x(a,a](a,b]

2M2M2M|f(x)||f(x)f(a)||f(1)||xa|Mf(1)(xa)上f(x)0，f(x)0,x(a,b]，这与f(x)0,x(a,b]矛盾 另证：f(x)0,x(a,b]知x0(a,b],s.tf(x0)0

记x1inf{x|(x,x0)上f(x)0}，由连续函数局部保号性，只能f(x1)0，从而

(x1,x0)同f(x)0，令g(x)lnf(x),x(x1,x0)，则 |g(x)|f(x)M f(x)故g(x)在有限区间(x1,x0)上有界，但

limf(x)f(x1)0

xx10从而limg(x)矛盾，故知不存在M，使得上述结论成立

xx10六、旋转后形成的V为球体：x2y2z21；锥体：x2y2z0

z1；及平面：2所围成（由于我们知道，以(0,0,0)为顶点的锥体为x2y2ztan，从而旋转后的锥体顶点在(0,0,1)处）记IV2zx2y2dv,arctan1 2用球坐标变换公式进行计算，将V看成两部分，如图所示（略）

IV222zxy122dv2212sincosd002rcos2drsindrrsin0122d02d002rcos2rsindr rsin75212sincos2(2)cosdrdr2(2)cosd002r2dr七、解：（Lagrange乘数法）

x2建立目标函数，设(x,y,z)为y2z21上的动点，它到3x4y12z226(3x4y12z228)2(3x4y12z228)2的距离之平方为d(x,y,z) 22223412132设

x21x2222L(x,y,z)d(x,y,z)(yz1)2(3x4y12z228)(y2z21)9613962则

22xL(3x4y12z228)3(1)x13296L2(3x4y12z228)42y(2)2y13L2(3x4y12z228)122z(3)z1322Lxy2z21(4)96,

,)(，令

(LLLL,xyz0,0(1)x(2)y(3)z得

2x2(3x4y12z228)(3x4y12z)2(y2z2)0 21396x2y2z21代入并化简为 96(3x4y12z228)(3x4y12z)1320(5)

x72y1313yy代入（4）并最终解出得(x,y,z)(9,,)or(9,,)

8888z3y1313将此代入目标函数求得d(x,y,z)d(9,,)13,d(x,y,z)d(9,,)20

8888比较易得dmax20,dmin13

1313故最远点为(9,,)，最近点为(9,,)

8888八、证明：

f(2x)f(x)f(2x)f(0)f(x)f(0)2(*)

x2x0x0f(x)f(0)f(2x)f(0)若f(0)存在，则必有lim存在，从而lim存在，均为f(0)，

x0x0x02x0在（*）式中令x0则A2f(0)f(0)f(0)A，故只须证明f(0)存在即可，如下，将已知式看作递推式，对每一个kN，有下式成立

xxf(k)f(k1)2lim2A，令k1,2,,n1，得

x0x2k1limk0x0n1f(xxx)f()f(x)f()n1nA1112k2k12，即limA() k1nx0x2x242k0x111)Ax()(x)，令n，得 nn2242故f(x)f(f(x)f(0)Ax(x)f(0)A

九、证明：（拟合法）

yyf(0)f(0)limf(0)2dxlimdx 222y0y0xyxy1111转化为证limy[f(x)f(0)]dx0，即： 22y0xy1y[f(x)f(0)]dx| 22xy1110,10，当|y0|1即0y1时，|取Mmax|f(x)|，对于充分小的h0，有|f(x)f(0)|[1,1]y[f(x)f(0)]y[f(x)f(0)]|dx||dx||2222xyxy11h11hh|hy[f(x)f(0)]dx||I1||I2||I3|22xyh，固定h 3y[f(x)f(0)]dx|x2y2

|I1|y|h1y[f(x)f(0)]，当时，有 0y|I|dx|yM11223M13M1xyh|I2||hy[f(x)f(0)]y[f(x)f(0)]dx|dx22x2y2xyhydx22xy3113ydx22xy3h1h

|I3|y|hf(x)f(0)|I|，当时，有 0ydx|yM32233M2x综上，0，取0ymax(1,13M13M2,)

|y[f(x)f(0)]dx||I||I||I| 12322xy3331yf(x)dxf(0)

y0x2y211lim