江苏省南京中考数学总复习锐角三角函数【范本模板】

【例1--特殊的锐角三角函数值】填写表格：

30° 45°

sinα

cosα

tanα 60° 【反馈】①已知∠A是锐角,且sinA=3,那么90°—∠A等于 ． 2②当锐角α〉30°时，则cosα的值是( ) A．大于

1 2 B．小于

1 2 C．大于3 2 D．小于3 2【例2--与三角形的有关计算】已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= A．6

B．

4，BC=8，则AC等于（ ) 3

D．12

32 3 C．10

o

【反馈】①如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90，AC=6,D是AC上一点，若tan∠DBA=

1，则5AD的长为 ．

②在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，AB=22，则AC= ． 【例3——锐角三角函数之间的关系】若sin28°=cosα，则α= ． 【反馈】①直角三角形两锐角的正切函数的积为 ．

②在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA是方程5x-14x+8=0的一个根，则sin A ,tan A ．

③tan2°·tan4°·tan6°…tan88°

【例4—-锐角三角函数的计算】sin30°+cos45°+

用心 爱心 专心

1

2

2

22sin60°·tan45°

【反馈】①2cos60°2009π9

02a2a()②先化简．再求代数式的值． 其中a＝tan60°－2sin30°．

2a1a1a1

【例5—-解直角三角形】在△ABC中,∠C＝90°，BC＝24cm，cosA＝长．

【反馈】已知：如图，在Rt△ABC中,C90，AC3．点D为BC边上一点，且

5,求这个三角形的周13（结果保留根号) BD2AD，ADC60．求△ABC周长．

ABDC

【例6——方位角】如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障．已知港口A处在B处的北偏西37°方向上，距B处20海里；C处在A处的北偏东65°方向上．求B、C之间的距离(结果精确到0.1海里）．

cos370.80，tan370.75，参考数据:sin370.60， sin650.91，cos650.42，tan652.14.

用心 爱心 专心 2

北 北 65° A 37° 北 北 C A 65° C D 37° B

B

【反馈】①为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60的方向有我军护航舰（如图所示)，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后,立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：2≈1.4，3≈1.7) 北

B 60° C

45°

A

②某地有一居民楼,窗户朝南，窗户的高度为hm，此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大．小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD．要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内．小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠和∠的相应数据：∠=24 °36′，∠=73°30′,小明又得窗户的高AB=1。65m． 若同时满足下面两个条件，(1）当太阳光与地面的夹角为时，要想使太阳光刚好全部射入室内：(2）当太阳光与地面的夹角为时,要想使太阳光刚好不射入室内，请你借助下面的图形，帮助小明算一算,遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？(精确到0.01m） 以下数据供计算中选用

sin24°36′=0。416 cos24°36′=0.909 tan24°36′=0。458

sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284

用心 爱心 专心

3

北

tan73°30′=3。376

【例7-—俯角、仰角】如图,热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60， 看这栋高楼底部的俯角为30,热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高? （结果精确到0.1 m，参考数据：31.73)

B

【反馈】①如图，线段AB、DC分别表示甲．乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，从B点测得D点的仰角为60°从A点测得D点的仰角为30°，已知甲建筑物高

A C AB36米．

(1）求乙建筑物的高DC；

（2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC（结果精确到0。01米）． (参考数据：2≈1.414，3≈1.732）

D A 

乙 甲



B C

②坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年)，为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午,他们去测量太子灵踪塔的高度,携带的测量工具有:测角仪．皮尺．小镜子.

用心 爱心 专心

4

（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高。 图1为小华测量塔高的示意图。她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角35，在A点和塔之间选择一点B,测出看塔顶(M)的仰角45,然后用皮尺量出A．B两点的距离为18.6m，自身的高度为1.6m。请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan350.7，结果保留整数）。 M N

M

DCB图1

A

N

图2

P（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高,而此时塔影NP的长为am（如图2)，你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题:

Ⅰ在你设计的测量方案中，选用的测量工具是： ； Ⅱ要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？

【例8——坡度】庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登,同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A?(将山路AB、AC看成线段，结果保留根号)

【反馈】①我市某区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD）的堤面加宽1。6m，背水坡度由原来的1：1改成1:2，已知原背水坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方,要求保留两个有效数字． (提供数据：21.41,31.73,52.24）

用心 爱心 专心 5

Ei=1:21.6mDCi=1:1BFA

②云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流,更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据:水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水面，点E在DC上,测得背水坡AB的长为18米,倾角∠B=30°，迎水坡CD上线段DE的长为8米，∠ADC=120°．

（1）请你帮技术员算出水的深度(精确到0.01米，参考数据31..732）;

（2)就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？(精确到0。01米）

AD120EF30B

图7C 【例9——几何综合型】如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,N是线段BC上一点(不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M, 交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交（1)求证：△ACO∽△NCF；

(2)若NC∶CF＝3∶2，求sinB 的值。

C

F E

EM于F.

N

B A O M

【反馈】①已知：如图，在△ABC中，AB＝AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径． (1)求证：AE与⊙O相切；

用心 爱心 专心 6

（2)当BC＝4，cosC1时，求⊙O的半径． 3

②（请量力而行!）已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上,∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM． (1)如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；

(2）如图2,当∠ABC＝60°时,则线段AE、MD之间的数量关系为: ． （3）在(2）的条件下延长BM到P,使MP＝BM,连接CP，若AB＝7，AE＝27， 求tan∠ACP的值．

【例10——大综合型】（请量力而行！）如图,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E，连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P. （1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； (2）若CE=2,BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3)若tanBPD1,设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式. 3用心 爱心 专心

7

30° 45° 60° 【反馈】（请量力而行!）如图10，以点M（—1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y353与⊙M相切于点H，交x轴于点E，求y轴于点F。 x33（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;

（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；

（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合)，连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N。是否存在一个常数a，始终满足MN·MKa,如果存在，请求出a的值;如果不存在，请说明理由。

答 案

【例1】

用心 爱心 专心 8

sinα cosα tanα 12 22 3212 32322 1 3 3

【反馈】①30°

②D

【例2】A 【反馈】①2

②23

【例3】62° 【反馈】①1

②

45，43 ③1

（点拨：直角三角形两锐角的正切函数的积为1）

【例4】

34+62 【反馈】①3．

②3．

【例5】60

【反馈】2753

【例6】B，C之间的距离约为21.6海里．

【反馈】①我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C． ②BC的长约为0.26m，CD的长约为0.57m．

【例7】这栋楼高约为152.2 m． 【反馈】①（1）54m(2)31.18m

②（1）太子灵踪塔(MN)的高度为45m。

（2）Ⅰ测角仪．皮尺；Ⅱ站在P点看塔顶的仰角．自身的高度．

【例8】李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．

用心 爱心 专心 9

【反馈】①完成这工程约需土方2。4×10m。

②（1）2。07m；（2）0.10m

【例9】（1）略；（2）sinB=3/4 【反馈】①（1）略；（2）BO=3

②（1）如图1 连接AD

∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°

33

BDABcosABC即AB2BDBAEBDM∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM

AEAB2AE2MD DMDB(2）AE=2MD

（3）如图2 连接AD、EP ∵AB=AC ∠ABC=60°D ∴△ABC为等边三角形 又∵D为BC中点 ∴AD⊥BC ∠DAC=30 BD=DC=

1AB 2∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM BEAB2 BMDB

∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP ∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60° ∴△BEP为等边三角形

∴EM⊥BP ∴∠BMD=90° ∴∠AEB=90°

在RtAEB中,AE2722AB73

BEABAE21tanEAB2∵D为BC中点 M为PB中点 ∴DM//PC ∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB

tanPCB3 2732

77在RtNDC中NDDCtanNCD3NAADND344在RtABD中ADABsinABD过N作NH⊥AC，垂足为H 在RtANH中NH17AH328AHANcosNAH21 810

用心 爱心 专心

CHACAH1【例10】（1）CE=．

2353tanACP. 85（2)设BC=BD=x，∠ACB=90°，∴(x1)2x232,∴x=4 ，BC=BD=4， 过D作DH⊥BC交BC于H，如图2，∴DH∥AC,∴∴DH12， 52CPCEPC4,∵DH∥AC，∴，,∴CP=4， ∵∠ECP=90°, DHPH12CP45554DHBDDH，∴， 53BAAC同理可得CH1∴tanBPD=．

2CEPC1BDDH(3)如图3，当tanBPD时，设CE=x，∴CP=3x，由(2）， BAACDHPH3∴设BD=m,∴DHm(x1)3m(x1)3m3x，PH，CH，BC3m3x， m1m1m15x1, 4∴(m1)2(3m3x)2(x1)2，∴m1x(舍),m2∴y=m＋1＋x＋1＋3m－3x=3x＋3．

ADDECPB图2HADEPB图3HAEB图1CCP

【点拨】此题还有其它解法，过D作一垂线交线段AC，此法也较为容易 【反馈】（1）如图①，OE=5,r2，CH=2

（2）如图②，连接QC、QD，则CQD90，QHCQDC 易知CHPDQP，故

DPDQ, PHCH3DQ,DQ3，由于CD4， 22QD3cosQHCcosQDC;

CD4(3）如图③,连接AK，AM，延长AM，

与圆交于点G，连接TG，则GTA90 2490

34，2390

用心 爱心 专心

11

由于BKO390,故,BKO2； 而BKO1，故12

在AMK和NMA中，12;AMKNMA 故AMKNMA；

MNAMAMMK; 即：MNMKAM24

故存在常数a，始终满足MNMKa=4

yy BQB CMODxCEEPMODx HAHA F F 图① 图② y GB 4 KT3 E1 1CNMODx 2 HA F

图③ 用心 爱心 专心 12

【点拨】此题还有其它解法，连BM、BN、AH,易证B、M、H三点共线，且AH平行于x轴，证用心 爱心 专心 13

得△BMN相似△KMB。