第七章  三  角  形

7.1.1三角形的边

教学目标： 1、能说出三角形的有关概念，认识三角形的基本要素(边、角、顶点) 2、会用数学符号表示三角形3、会从较为复杂的图中寻找不同的三角形4、掌握三角形三条边之间的关系5、会应用“三角形三边之间关系”解决一些实际问题

教学过程：

一、认识三角形

1、通过学生从生活中所观察到的三角形事物的回忆引入本课的课题

2、观察下面的屋顶框架图问题： ⑴、你能从图中找出3个不同的三角形吗？并把它们画下来 (设计思路：从具体事物中，抽象出数学图形，培养数学思想) ⑵、这些三角形有什么共同的特点? (设计思路：回顾已有知识：边、角、顶点，同时也为引入概念作铺垫)

3、三角形的概念：让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是三角形。

 (学生可以自由发言)在学生充分交流的基础上得：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形

4、三角形的表示：以学生在寻找屋顶框架图中的三角形时出现“所指三角形

不能明确区分”这一现象引入问题：有什么方法能明确区分三角形？(让学生思考、交流)可得：用三角形的三个顶点字母来表示在学生回忆角与平行线的表示方法的基础上得：“三角形”的符号表示“△”最终得：上图三角形可表示为：△ABC

5、练习：

⑴、你能表示刚才所找出的三角形吗？

⑵、图中以AB为边的三角形有哪些？(在学生回答的基础上让学生思考

有无好的寻找方法，培养学生正确的数学思维)

⑶、图中以A为顶点的三角形有哪些？ (在学生回答的基础上让学生

思考有无好的寻找方法，培养学生正确的数学思维)

6、想一想：小明在纸上画了四点，如果把这些点彼此用线段连结，连成一个图形，则图形中有几个三角形？并把它们一一表示出来。(先让学生试一试，并让学生把产生不同结果的图形在黑板画出、交流，引导学生思考有无其它情况，共有多少种情况，培养学生正确、科学的思考方法)

二、三角形三边的关系

1、活动：用长度分别为4cm、5cm、6cm、10cm的四根木棒，用其中三根首尾相连搭三角形，你能搭成几个三角形？(先让学生任意搭，并把产生能搭与不能搭情况写在黑板，让学生讨论：还有

其它情况吗，为什么？从而培养学生正确的分类思想。在讨论了所有情况的基础上，引出“为什么四种情况中，只有其中两种能搭而另两种不能搭，你有何发现？”这一问题。让学生观察、思考、讨论、交流。最终可得： “三根中的较短两根之和大于最长一根就能搭成三角形”这一结论。

2、判断下列每组数分别是三根木棒的长度，用它们首尾相连能搭成三角形吗，为什么？

 ⑴、3、4、5      ⑵、5、5、9         ⑶、8、7、15        ⑷、6、13、9

3、你的想法对吗?

⑴、小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形。小方想到了下列长度的游戏棒：2cm、 4cm、 8cm、13cm，他的想法对吗？

⑵、你能帮小方再想出一些与上面长度不同的第三根游戏棒吗？（长度为正整数）

⑶、问题：如果把上面“长度为正整数”这一条件拿掉，则第三条应在怎样的范围？(让学生思考，讨论，交流)最终可得：3㎝＜第三边＜13㎝，通过几何画板的演示可以验证这一正确结论。

4、想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？ (学生通过对上题的探索，不难得出：“两边之差小于第三边”；“两边之和大于第三边”；及“两边之差＜第三边＜两边之和”这三个重要结论。

5、你能行吗？    一个等腰三角形的两边分别为2.5和5，求这个三角形的周长

解：⑴.若2.5为腰，则2.5+2.5=5     出现了两边这和等于第三边，所以不能构成三角形。

⑵.若5为腰，则2.5+5=7.5＞5 ，出现了两边这和大于第三边，所以能构成三角形。所以三角形的周长为： 2.5+5+5=12.5

6、思考题：已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？

解：根据三角形构成的条件得：第三边的范围为： 3cm＜第三边＜11cm

三、回顾：通过你对本节课的学习，你尝到了哪些知识？

7.1.2三角形的高、中线与角平分线

教学目标1、经历折纸，画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线。2、会用工具准确画出三角形的高、中线和角平分线。

重点：了解三角形的高、中线和角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线和角平分线。

课堂教学过程设计

[关于三角形的一些概念 ]

1、观察和思考：图3.1-3中，用一根红色的橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A。再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG…）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？(说明：设计让学生在固定的背景（△ABC）中观察橡皮筋在运动情景中形成的多种不同位置的线段，由于前面已学习了角平分线、线段中点、垂线、因此学生很容易发现在固定的背景中运动着的对象中的特殊对象——三角形的角平分线、中线和高，并对它们都有长度这个本质特征也有了新的感知，为正确理解三角形的重要线段的定义奠定了基础)

操作：用纸任意剪三个锐角三角形。按下列要求用折纸的方法折出线段：（1）三角形的所有的角平分线；（2）三角形的所有的中线；（3）三角形的所有的高。 (说明和建议：1.折纸活动中有少数学生折三角形的中线和高有错误或困难，教学中教师作示范并及时纠错。)

2．三角形的三种重要线段都是用连结顶点——对边(或对边所在直线)上一个特殊点的方法来定义的，所以具体折纸的过程(先确定折痕的两个端点，再确定折痕)，为学生具体形象地叙述它们的定义增加了清晰的感性认识。问题3：请你借助折纸的方法来描述三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。问题4：从折纸中你发现锐角三角形有几条角平分线？几条中线？几条高？你还能得到什么结论？

看图（图3．l－3）填空：

（1）∵AE是的△ABC角平分线，

∴∠____=∠____=1/2∠____(             )。

∴∠____=∠____=1/2∠____(             )。              （3）∵AG△ABC的高，

∴∠____=∠____=90o(                )。

 [例题解析]

例：如图3.1-4，∠ACE=∠BCE，BD=CD，指出图中三角形的特殊线段。

解：CE是△ABC的角平分线， AD是△ABC的中线， ED是△EBC的中线， CF是△ACD的角平分线。

［小结]

1．学习三角形的有关概念，不仅要弄清它们的意义，而且要学会在复杂的图形中，从不同的角度认识同一个角（或边）的不同的“身份”。

2．三角形的角平分线、中线、高都是线段。三角形的角平分线、高与角的平分线、垂线既有联系也有区别，前者是线段，后者是射线和直线。

3．三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高交于一点。

［作业］课本习题3.1A组第二题。

7.2   与三角形有关的角

7.2.1三角形的内角

教学目标1、通过运用拼图的方法解决“三角形的内角和等于180°”这一重要定理。2、能运用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题3、培养学生思维的灵活性。

教学重点：三角形内角和定理。难点：三角形内角和定理的简单推理。

课堂教学过程设计

（一）教学情境

在小学里,我们曾用量角器量出三角形三个内角的具体度数后得到它们的和;也曾用折叠一张三角形硬纸片的方法,把三角形的三个内角拼在一起（教师出示课件上的图形（图一），并用两张硬纸片演示这一过程）

问题1:图1中的方法,相当于把三角形的三个内角剪下来拼在一起,你们有没有不同的拼合方法，老师这里有一种拼合方法（如图），你们有没有不同的拼合方法?

活动：学生剪下两张完全重合的三角形硬纸片的三个角剪开，试一试，你有多少中方法可以拼出∠A+∠B+∠C=180^○ 学生拼图后，教师可出示课件上的图形。(如课件)

从上述的拼图过程中，我们不但体验了图形的位置关系是变化的，而且更进一步的得出这一个确定的结论：三角形的内角和等于180°。

问题2:可以用我们已学过的那些知识来说明?

练一练：

（1）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：3。求出∠A、∠B、∠C的度数。

（2）在△ABC中，已知∠A+∠B+∠C=100^○，∠C=2∠A。求∠A、∠B、∠C的度数。

问题3：三角形的三个内角可以都是锐角吗？都是直角吗？都是钝角吗？你认为最多能有几个直角？几个锐角？几个钝角？

(二)活动：如图，个有一张三角形纸片，不知它们的形状，图中分别出示了三角形的一个内角，其余部分被另一张长方形纸片遮住，你能不能判断它们各是什么三角形？为什么？

北           北

(1)(2)

做一做：例，如图，C岛在A岛的北偏东50度方向，C岛在B岛的北

偏西40度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

解：∠CAB=∠BAC-∠CAD=80^○-50^○=30^○由AD∥BE：可得 ∠BAD+∠ABE=180^○

∴∠ABE=108^○-∠BAD=180^○-80^○=100^○    ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100^○-40^○=60^○

在△ABC中：∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180^○-60^○-30^○=90^○        C

答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是30^○。                           

(三)课堂练习：如图(∠CDA=90^○)：从A处观测C处时仰角

 ∠CAD=30^○，从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少？

            D          B       A

（四）小结：三角形的内角和等于180°，灵活应用三角形内角和定理。

（五）作业：课本P₈₂页   习题7.2   第3、4、5题。

7.3　多边形及其内角和

7.3.1多边形

一、教学目标] 理解多边形及正多边形的定义；

二、教学重点：多边形及正多边形的定义。教学难点：多边形及正多边形的定义。

三、教学设计与设计意图

7.3.2多边形的内角和

一、教学目标

1、知识与能力目标

（1）掌握多边形内角和公式及外角和；

（2）会用多边形内角和公式解决有关简单计算问题。

2、过程与方法目标：

通过分析、观察把多边形问题转化成三角形问题，从而得出多边形内角和公式，培养学生“分割”思想。

3、情感态度与价值观目标：

经历探索多边形内角和的过程，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

二、教学重点：多边形内角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算。教学难点：如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式过程中，通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的内角和公式。

三、教学方法：从整个教学过程来看，先从特殊的四边形入手，求其内角和，再分别求五边形、六边形、七边形的内角和，从中寻找求内角和规律。从研究的形式来看，主要是以问题的提出，由浅入深，由易到难，结合小组讨论 ，由学生归纳总结，最后得出内角和公式。教师本着“让每个学生都能参与，让每个学生的思维都得到训练，让每个学生的能力都得到培养和提高”这一教学理念来设置每个问题、每个教学环节。

四、教学设计与设计意图

7．4   镶  嵌

教学目标

（一）知识与能力目标：通过探索平面图形的密辅，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密辅，并能运用这几种图形进行简单的密辅设计。

（二）教法与过程目标：经历探索多边形密辅（镶嵌）条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力，合作交流意识和一定的审美情趣，进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用。

（三）情感与态度目标： 1．培养学生的意识与团结合作的精神； 2．让学生在拼图的过程中体验成功感，和树立自信心，及创造性、对图形的审美情趣。

重点：镶嵌的含义及它在实际生活中的广泛应用。难点：如何正确的理解镶嵌

教学流程设计

一、创设情景，直奔主题。

师：我们观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种形状相同或不同的地砖铺砌成封闭美丽的平面图案。回想你家客厅里的地砖、地板铺设情况，它们是用什么形状的地砖、地板铺成的？为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙的地板呢？这就是我们今天要探究的问题。

二、探求新知

问题1：我们常见的地砖为什么都是正方形的，你能用数学知识解释吗？（学生思考、讨论，各自表达自己的观点）

对于生活中的这种无缝隙又不重叠的全部覆盖我们称之为镶嵌。用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫平面镶嵌。

问题2：在日常生活中，我们难得看见用三角形形状的地砖来铺地板，那么用正三角形能否镶嵌成一个平面图案？（学生用正三角形的做拼合试验）

结论：用正三角形能镶嵌成一个平面图案

问题3：用正五边形、正六边形能否镶嵌成一个平面图案？（学生做拼合试验）

结论：用正五边形不能镶嵌成一个平面图案 ，用正六边形能镶嵌成一个平面图案 ， 用正八边形不能镶嵌成一个平面图案

问题4：从以上事实，大家再想一想，讨论一下镶嵌的基本原理是什么？（学生讨论，教师总结）

镶嵌的基本原理：在某个顶点处几个多边形能刚好进行无缝隙不重叠的密铺。换一说法：如果在一个拼接点周围有k个正n边形的角,那么这些角的和应为360°

问题5：设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则用一个等式如何表示？（学生讨论,教师提示或总结）

设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则用

     这个方程我们暂时还不会解，只要能理解就行了。

探究：(1)用几个形状、大小完全相同的一般三角形能否密铺？（学生试验、讨论,教师提示或总结）

探究：(2)用几个形状、大小完全相同的一般四边形是否可以密铺？（学生试验、讨论,教师提示或总结）

小结:学生小结,教师总结.镶嵌的含义是什么?能否镶嵌成平面图案的关键是什么?

作业：（1）阅读书本93面

     （2）在纸上画出常见的多边形的镶嵌图案

     （3）搜集一些生活中的镶嵌图案下节课相互交流